Zajęcia z grupy symetrii wielościanów regularnych. Akcja grupowa na zbiorze Akcja grupowa w czwartym streszczeniu

Klikając przycisk „Pobierz archiwum”, pobierzesz bezpłatnie potrzebny plik.
Przed pobraniem tego pliku zapamiętaj te dobre streszczenia, testy, prace semestralne, tezy, artykuły i inne dokumenty, które nie zostały odebrane na Twoim komputerze. To twoja praca, musi uczestniczyć w rozwoju społeczeństwa i przynosić korzyści ludziom. Znajdź te prace i prześlij do bazy wiedzy.
My i wszyscy studenci, doktoranci, młodzi naukowcy, którzy korzystają z bazy wiedzy w swoich studiach i pracy, będziemy Wam bardzo wdzięczni.

Aby pobrać archiwum z dokumentem, w polu poniżej wprowadź pięciocyfrowy numer i kliknij przycisk „Pobierz archiwum”

Podobne dokumenty

Opracowanie nowoczesnej abstrakcyjnej koncepcji grup. Najprostsze własności skończonych grup zerowych. Podgrupa Frattiniego grupy skończonej jest zerowa. Znajdowanie iloczynu bezpośredniego grup zerowych. Binarna operacja algebraiczna na zbiorze.

praca semestralna dodano 21.09.2013


Zastosowanie lematu Burnside'a do rozwiązywania problemów kombinatorycznych. Orbity grupy permutacji. Długość orbity grupy permutacji. Lemat Burnside'a. Problemy kombinatoryczne. „Metoda przesiewania”. Formuła włączenia i wyłączenia.

praca dyplomowa, dodano 14.06.2007


Rozwiązalność grupy rozkładalnej z czynnikami rozkładalnymi. Właściwości grup skończonych, które są iloczynem dwóch grup, z których jedna jest grupą Schmidta, a druga jest rozkładalna na 2. Produkt grup dwupierwotnych i 2-rozkładalnych. Dowody twierdzeń i lematów.

praca semestralna, dodano 22.09.2009


Istota teorii grup. Rola tego pojęcia w matematyce. Multiplikatywna forma zapisu operacji, przykłady grup. Sformułowanie istoty podgrupy. Homomorfizmy grupowe. Kompletne i specjalne liniowe grupy macierzy. Klasyczne grupy o małych wymiarach.

praca semestralna, dodano 03.06.2014


Potęgowanie liczby zespolonej. Binarna operacja algebraiczna. Interpretacja geometryczna liczb zespolonych. Podstawy, rangi i kombinacje liniowe dla układu wektorów. Wiele pierwiastków wielomianu. Rozkład wielomianu na ułamki elementarne.

test, dodano 25.03.2014


Pierwsze wzmianki o regularnych wielościanach. Klasyfikacja wielościanów, ich rodzaje, własności, twierdzenia o rozkładaniu wielościanów wypukłych (Cauchy'ego i Aleksandrowa). Tworzenie modeli regularnych wielościanów metodą rozwijania i origami.

praca semestralna dodano 18.01.2011


Pojęcie odblaskowych i obrotowych symetrii osiowych w geometrii euklidesowej i naukach przyrodniczych. Przykładami symetrii osiowej są motyl, płatek śniegu, wieża Eiffla, pałace, liść pokrzywy. Odbicie zwierciadlane, symetria promieniowa, osiowa i promienista.

prezentacja dodana 17.12.2013

Grupa G działa (po lewej) na zbiorze X, jeśli element gx X jest zdefiniowany dla dowolnych elementów g i x X oraz g2 (g1x) \u003d (g2 g1) x i ex \u003d x dla wszystkich x X, g1, g2 G.

Gx \u003d (gx | g G)

nazywana jest orbitą elementu x. Orbity dowolnych dwóch elementów X są zbieżne lub nie przecinają się, tak że zbiór X jest podzielony na rozłączne orbity. Jeśli istnieje jedna orbita - cały zbiór X, to mówi się, że C działa przejściowo na X. Innymi słowy, grupa G działa przejściowo na zbiór X, jeśli dla dowolnych dwóch elementów x, x "z X istnieje element g z G taki, że gx \u003d x ”.

Stabilizator elementu x z X jest podgrupą

StG (x) \u003d (g G | gx \u003d x).

Zbiorem punktów stałych elementu g z G jest zbiór

Fix (g) \u003d (x X | gx \u003d x).

Kardynalność orbity jest równa indeksowi stabilizatora w grupie G.

Niech K będzie stałym sześcianem w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej, G będzie grupą wszystkich ruchów tej przestrzeni, które zachowują orientację i przenoszą K do K.Grupa G ma identyczny ruch, obraca się o 120 ° i 240 ° wokół czterech osi przechodzących przez przeciwległe wierzchołki sześcian, obrót o 180 ° wokół osi przechodzących przez punkty środkowe przeciwległych krawędzi oraz obrót o 90 °, 180 ° i 270 ° wokół osi przechodzących przez środki przeciwległych krawędzi. Znaleźliśmy więc 24 elementy w grupie G. Pokażmy, że nie ma innych elementów w G. Grupa G działa przejściowo na zbiorze K0 wierzchołków sześcianu K, ponieważ dowolne dwa wierzchołki z K można „połączyć łańcuchem sąsiadów”, a sąsiednie można przełożyć na siebie poprzez odpowiedni obrót. Stabilizator wierzchołka x musi również utrzymywać na miejscu wierzchołek x "najbardziej od niego oddalony. W związku z tym składa się z identycznego ruchu i obrotów wokół osi xx" o 120 ° i 240 °. Dlatego | G | \u003d | К ° | * || \u003d 8 * 3 \u003d 24, a zatem wszystkie powyższe obroty tworzą grupę G.

Grupa G nazywana jest grupą rotacyjną sześcianu. Udowodnijmy, że obroty z G transponują cztery najdłuższe przekątne sześcianu. Powstaje homomorfizm: q: G\u003e. Jądrem tego homomorfizmu jest (e), ponieważ tylko identyczny ruch pozostawia każdą przekątną sześcianu na miejscu. Dlatego G jest izomorficzna do podgrupy grupy. Porównując rzędy tych grup, widzimy, że G.

Grupy symetrii

Jednym z najczęściej używanych przykładów grup, aw szczególności grup permutacyjnych, są grupy, które „mierzą” symetrię figur geometrycznych, zarówno płaskich, jak i przestrzennych.

Grupa symetrii czworościanu.

Czworościan (ryc. 1) ma 4 osie symetrii l1, l2, l3, l4 trzeciego rzędu, przechodzące przez jego wierzchołki 1, 2, 3, 4 i środki przeciwległych ścian. Wokół każdej osi, oprócz identycznej, możliwe są jeszcze dwa obroty. Odpowiadają im następujące permutacje:

wokół osi l1

wokół osi L2

wokół osi L3

wokół osi l4

Ponadto istnieją 3 osie symetrii II rzędu przechodzące przez punkty środkowe A, B, C, D, E, F przecinających się krawędzi. Dlatego są jeszcze 3 (w zależności od liczby par przecinających się krawędzi) nieidentyczne przekształcenia, które odpowiadają permutacjom:

wokół osi AB,

wokół osi CD,

wokół osi EF.

Tak więc razem z transformacją tożsamości otrzymujemy 12 permutacji. W wyniku tych przekształceń czworościan samoczynnie wyrównuje się, obracając się w przestrzeni; w tym przypadku jego punkty nie zmieniają położenia względem siebie. Zapisany zbiór 12 permutacji jest zamknięty ze względu na mnożenie, ponieważ sekwencyjne wykonywanie obrotów czworościanu będzie ponownie obrotem. W ten sposób otrzymujemy grupę, która nazywa się grupą obrotów czworościanu.

W przypadku innych przekształceń przestrzeni, które są samoustawieniami czworościanu, wewnętrzne punkty czworościanu przesuwają się względem siebie. Mianowicie: czworościan ma 6 płaszczyzn symetrii, z których każda przechodzi przez jedną z jego krawędzi i środek przeciwległej krawędzi. Symetrie względem tych płaszczyzn odpowiadają następującym transpozycjom na zbiorze wierzchołków czworościanu:

Już na podstawie tych danych można argumentować, że grupa wszystkich możliwych symetrii czworościanu składa się z 24 przekształceń. Rzeczywiście, każda symetria, samoustawiająca czworościan jako całość, musi w jakiś sposób zmienić położenie wierzchołków, krawędzi i ścian. W szczególności w tym przypadku symetrie można scharakteryzować za pomocą permutacji wierzchołków czworościanu. Ponieważ czworościan ma 4 wierzchołki, jego grupa symetrii nie może składać się z więcej niż 24 transformacji. Innymi słowy, albo pokrywa się z symetryczną grupą S4, albo jest jej podgrupą. Symetrie czworościanu względem opisanych powyżej płaszczyzn determinują wszystkie możliwe transpozycje na zbiorze jego wierzchołków. Ponieważ te transpozycje generują symetryczną grupę S4, otrzymujemy to, co jest wymagane. Tak więc każda permutacja wierzchołków czworościanu jest określona przez część jego symetrii. Jednak tego samego nie można powiedzieć o dowolnej permutacji krawędzi czworościanu. Jeśli zgodzimy się oznaczyć każdą krawędź czworościanu tą samą literą, co jej środek, to powiedzmy permutacje na zbiorze krawędzi

odpowiadają, odpowiednio, dwóm obrotom wokół osi 11 i obrotowi wokół osi AB. Po wypisaniu permutacji na zbiorze (A, B. C, D, E, F) dla wszystkich przekształceń symetrii otrzymujemy pewną podgrupę grupy symetrycznej S6, składającą się z 24 permutacji. Grupa permutacji wierzchołków czworościanu i grupa permutacji jego krawędzi to różne grupy permutacji, ponieważ działają one na różnych zbiorach. Ale za nimi jedna i ta sama grupa jest „widoczna” - grupa przekształceń przestrzeni, które pozostawiają czworościan na miejscu.

Grupa symetrii sześcianu. Symetrie sześcianu, podobnie jak symetrie czworościanu, dzielą się na dwa typy - samoustawienie, w którym punkty sześcianu nie zmieniają swojego położenia względem siebie, oraz transformacje, które pozostawiają sześcian jako całość na miejscu, ale przesuwają jego punkty względem siebie. Transformacje pierwszego typu będziemy nazywać obrotami. Wszystkie obroty tworzą grupę zwaną grupą rotacji sześcianu.

Sześcian ma dokładnie 24 obroty wokół różnych osi symetrii.

W rzeczywistości, gdy sześcian jest obracany, dowolna z 6 ścianek sześcianu może zająć miejsce dolnej ściany (ryc. 2). Dla każdej z 6 możliwości - gdy jest wskazane, która ściana znajduje się na dole - istnieją 4 różne pozycje sześcianu, odpowiadające jego obrotom wokół osi przechodzącej przez środki powierzchni górnej i dolnej, pod kątem 0, p / 2, p, Zp / 2. W ten sposób otrzymujemy 6Х4 \u003d 24 obroty sześcianu. Wskażmy je wyraźnie.

Sześcian ma środek symetrii (punkt przecięcia jego przekątnych), 3 osie symetrii rzędu czwartego, 4 osie symetrii rzędu trzeciego i 6 osi symetrii rzędu drugiego. Wystarczy wziąć pod uwagę obroty wokół osi symetrii.

a) Osie symetrii czwartego rzędu to osie przechodzące przez środki przeciwległych ścian. Wokół każdej z tych osi występują trzy nieidentyczne obroty, a mianowicie obroty o kąty p / 2, p, 3p / 2. Obroty te odpowiadają 9 permutacjom wierzchołków sześcianu, w których wierzchołki przeciwległych ścian są permutowane cyklicznie i konsekwentnie. Na przykład permutacje

odpowiadają obrotom wokół osi

b) Osie symetrii trzeciego rzędu to przekątne sześcianu. Wokół każdej z czterech przekątnych ,,, są dwa nieidentyczne obroty pod kątami 2p / 3, 4p / 3. Na przykład obroty wokół przekątnej określają następujące permutacje wierzchołków sześcianu:

W sumie otrzymujemy 8 takich obrotów.

c) Osie symetrii drugiego rzędu będą liniami prostymi łączącymi punkty środkowe przeciwległych krawędzi sześcianu. Istnieje sześć par przeciwległych krawędzi (na przykład), każda para określa jedną oś symetrii, czyli otrzymujemy 6 osi symetrii drugiego rzędu. Wokół każdej z tych osi występuje jeden nieidentyczny obrót. Tylko 6 spinów. Wraz z transformacją tożsamości otrzymujemy 9 + 8 + 6 + 1 \u003d 24 różne obroty. Wszystkie obroty kostki są wskazane. Obroty sześcianu definiują permutacje na zestawach jego wierzchołków, krawędzi, ścian i przekątnych. Zastanów się, jak grupa rotacyjna sześcianu działa na zestaw jego przekątnych. Różne obroty sześcianu permutują przekątne sześcianu na różne sposoby, to znaczy odpowiadają różnym permutacjom na zbiorze przekątnych. Dlatego grupa rotacyjna sześcianu definiuje grupę permutacji na zbiorze przekątnych, składającą się z 24 permutacji. Ponieważ sześcian ma tylko 4 przekątne, grupa wszystkich takich permutacji pokrywa się z grupą symetryczną na zbiorze przekątnych. Zatem każda permutacja przekątnych sześcianu odpowiada części jego obrotu, a różne permutacje odpowiadają różnym obrotom.

Opiszmy teraz całą grupę symetrii sześcianu. Sześcian ma trzy płaszczyzny symetrii przechodzące przez jego środek. Symetrie wokół tych płaszczyzn, w połączeniu ze wszystkimi obrotami sześcianu, dają nam 24 dodatkowe transformacje, które są samoustawieniami sześcianu. Dlatego pełna grupa symetrii sześcianu składa się z 48 przekształceń.

Grupa symetrii ośmiościanu. Oktahedrodine z pięciu regularnych wielościanów. Można to uzyskać łącząc środki ścian sześcianu i biorąc pod uwagę ciało ograniczone płaszczyznami, które są wyznaczane przez łączenie linii prostych dla sąsiednich ścian (ryc. 3). Dlatego każda symetria sześcianu jest jednocześnie symetrią ośmiościanu i odwrotnie. Zatem grupa symetrii ośmiościanu jest taka sama jak grupa symetrii sześcianu i składa się z 48 przekształceń.

Grupa symetrii regularnego polytope'a składa się z 2l transformacji, gdzie l jest liczbą jego płaskich kątów. To stwierdzenie odnosi się do wszystkich regularnych wielościanów; można to udowodnić w ogólnej formie bez znalezienia wszystkich symetrii wielościanów.

Niech G będzie grupą, X jakimś zbiorem if: G × X → X

- wyświetlacz. Oznaczamy f (g, x) przez gx. Mówimy, że dane jest działanie G na X (lub G działa na X), jeśli (gh) x \u003d g (hx) i ex \u003d x dla wszystkich g, h G, x X. W tym przypadku zbiór X nazywa się zbiorem G.

Komentarz. Dokładniej, tak zdefiniowana akcja nosi nazwę lewej. Pod właściwym działaniem rozważane jest odwzorowanie f: X × G → X, wprowadzany jest zapis f (x, g) \u003d xg i wymagane są następujące warunki: x (gh) \u003d (xg) h i xe \u003d x. Oczywiste jest, że wszystko, co zostało powiedziane poniżej na temat lewej akcji, dotyczy również (z odpowiednimi zmianami) prawego działania. Co więcej, należy zauważyć, że wzór xg \u003d g - 1 x ustala relację jeden do jednego między lewymi i prawymi działaniami G na X (to znaczy, mówiąc z grubsza, lewe i prawe działania grup są „jedno i to samo”). Właściwe działanie pojawi się naturalnie w rozdziale 10.

Podzbiór Y X nazywany jest podzbiorem G, jeśli GY Y (to znaczy gy Y dla wszystkich g G, y Y).

Podzbiór zbioru G X w postaci O (x) \u003d (gx | g G) nazywany jest orbitą elementu x X. Orbity pokrywają się z minimalnymi podzbiorami G X. Relacja „leżą na jednej orbicie” jest relacją równoważności na X, dlatego orbity tworzą podział zestaw X.

Dla ustalonego x X elementy g G takie, że gx \u003d x tworzą podgrupę G, którą nazywa się stabilną

lizer (lub stacjonarna podgrupa ) elementu x i jest oznaczony przez St (x).

Orbity i stabilizatory są połączone w następujący sposób:

Twierdzenie 7.1 | O (x) | \u003d dla dowolnego x X.

Przykład. Niech X \u003d G i G działają na X przez koniugację, to znaczy (g, x) 7 → gxg - 1. Nazywa się orbita z tą akcją

klasa koniugatu , a stabilizator St (x) -centralizator element x (notacja - CG (x)). Oczywiście C G (x) \u003d (a G | ax \u003d xa). Co więcej, jeśli grupa G jest skończona, to

			CG (x)

gdzie, sumując x, przechodzi przez zbiór przedstawicieli klas sprzężonych (tj. pobierany jest jeden element z każdej klasy).

Za pomocą tego działania jest to udowodnione

Twierdzenie 7.2 (twierdzenie Cauchy'ego)Jeżeli porządek grupy G jest podzielny przez liczbę pierwszą p, to G zawiera element rzędu p.

7 .1. Ustal równoważność następujących dwóch definicji działania grupy G na zbiorze X:

1) Działanie G na X jest odwzorowaniem G × X → X, (g, x) 7 → gx takim, że (g1 g2) x \u003d g1 (g2 x) i ex \u003d x dla wszystkich g1, g2 G, x X.

2) Działanie G na X jest homomorfizmem G → S (X) (gdzie S (X)

– grupa wszystkich bijekcji X na siebie).

7 .2. Udowodnij, że jeśli O (x) \u003d O (y), to St (x) jest sprzężone ze St (y). Czy jest odwrotnie?

7 .3. Opisz orbity i stabilizatory dla następujących działań:

1) Działanie samego G przez przesunięcia w lewo (tj. (G, x) 7 → gx);

2) Działanie samego G na siebie poprzez przesunięcia w prawo (tj. (G, x) 7 → xg−1 );

3) Działanie H na G w lewo (odpowiednio w prawo) przesuwa się, gdzie H< G;

x X St (x).

4) Działanie G przez koniugacje na zbiorze jego podgrup (czyli (g, H) 7 → gHg−1 );

5) Działanie G na zbiorze prawych cosetów G / H, gdzie H< G (т.е. (g, xH) 7→gxH);

6) Naturalne działanie grupy G \u003d GL (V) niedegenerowanych operatorów liniowych w przestrzeni liniowej V na: a) V, b) V × V, c) zbiór wszystkich liniowych podprzestrzeni w V;

7) Naturalne działanie grupy G \u003d O (V) ortogonalnych operatorów liniowych w przestrzeni euklidesowej V na: a) V, b)

8) G \u003d hσi jest cykliczną podgrupą w Sn, X \u003d (1, 2, ..., n).

7 .4. * Izomorfizm działań grupy G na zbiorach X i Y to bijekcja f: X → Y taka, że \u200b\u200bf (gx) \u003d gf (x) dla wszystkich g G, x X. Akcję G na X nazywamy przechodnią, jeśli dla wszystkich x, y X jest g G takie, że y \u003d gx (czyli X

Jest jedyną orbitą tej akcji). Udowodnić, że każde przechodnie działanie G na X jest izomorficzne z działaniem na G / H dla odpowiedniej podgrupy H. Kiedy działania G na G / H1 i G / H2 są izomorficzne?

7 .5. Znajdź grupę automorfizmów naturalnego działania grupy G na zbiorze G / H.

7 .6. Udowodnij, że rzędy klas koniugacji skończonej grupy dzielą jej porządek.

7 .7. * Udowodnić, że centrum skończonej grupy p jest nietrywialne.

7 .8. * Udowodnij, że jeśli | G | \u003d p2, to G jest abelowe (to znaczy G jest izomorficzne do Z (p2) lub Z (p) × Z (p)).

7 .9. * Udowodnij, że jeśli G nie jest abelem i | G | \u003d p3, a następnie | C (G) | \u003d p.

7 .10. Jądrem działania G na X jest jądro odpowiedniego homomorfizmu G → S (X).

a) Sprawdź, czy jądro działania G na X jest równe b) Znajdź jądro działania G na G / H, gdzie H< G.

7 .11. * Niech H< G, причем = m < ∞. Докажите, что в G существует нормальный делитель N конечного индекса, содержащийся в H, причем делит m! и делится на m.

Grupy symetrii regularnych polytopów

Umieść O (3): \u003d (A GL (3, R) | Przy A \u003d E), SO (3): \u003d O (3) ∩

SL (3, R). Niech M R3. Grupa rotacyjna M to

Grot (M) \u003d (g SO (3) | gM \u003d M);

grupa symetrii M to

Gsym (M) \u003d (g O (3) | gM \u003d M)

(tj. Grot (M) \u003d Gsym (M) ∩ SO (3)).

7 .12. Udowodnij, że O (3) SO (3) × Z (2).

7, 13. * Znajdź | Grot (M) | i | Gsym (M) | dla każdego z regularnych wielościanów (czworościanu, sześcianu, ośmiościanu, dwunastościanu, dwudziestościanu). W dalszej części zakłada się, że M jest osadzone w R3, tak że jego środek pokrywa się z początkiem.

7 .16. * Niech M będzie sześcianem lub ośmiościanem. Udowodnij, że Grot (M) S4.

7 .17. * Niech M będzie dwudziestościanem lub dwunastościanem. Udowodnij to

Grot (M) A5.