Anumite rigidități de diametru și lungime. Decontare și lucrări grafice

Tema 4

Pentru arbore din oțel cu secțiune transversală constantă

1. Determinați valoarea momentelor M 1, M 2, M 3, M 4;

2. Construiți o diagramă a cuplurilor;

3. Determinați diametrul arborelui din calculele de rezistență și rigiditate, luând secțiunea transversală a arborelui - un cerc

P 1 \u003d 50 kW

P 3 \u003d 15 kW

P 4 \u003d 25 kW

w \u003d 18 rad / s

w \u003d n \u003d \u003d 30 * 18 / 3,14 \u003d 172 rpm

[c 0] \u003d 0,02 rad / m - unghi de răsucire

G \u003d 8 * 10 4 MPa

Determinăm momentele externe:

M 1 \u003d 9550 \u003d 9550 \u003d 2776 Nm \u003d 2,8 kNm;

M 3 \u003d 9550 \u003d 9550 \u003d 832,8 Nm \u003d 0,83 kNm;

M 4 \u003d 9550 \u003d 9550 \u003d 1388 Nm \u003d 1,4 kNm;

Să scriem ecuația staticii:

UM \u003d M 1 + M 3 - M 2 + M 4 \u003d 0

Și din aceasta găsim magnitudinea momentului M 2:

M 2 \u003d M 3 + M 1 + M 4 \u003d 832,8 +2776 +1388 \u003d 4996,8 Nm \u003d 5 kNm;

În primul rând, trasăm cuplurile. Valorile cuplului pentru secțiuni sunt după cum urmează:

T 1 \u003d -M 1 \u003d -2,8 kNm;

T 2 \u003d -M 1 - M 3 \u003d -2,8 - 0,83 \u003d - 3,63 kNm;

T 3 \u003d -M 1 - M 3 + M 2 \u003d -3,63 + 5 \u003d 1,37 kNm.

Construim diagrame:

Arborele este împărțit în trei secțiuni I, II, III.

Găsim momentul polar de rezistență al arborelui, necesar de condiția de rezistență:

W p \u003d \u003d \u003d 121 10 -6 m 3 \u003d 121 cm 3

Diametrul arborelui solid este determinat folosind formula:

W p 0.2d c 3 \u003d 121 cm 3,

d c 3 \u003d \u003d 8,46 cm 9 cm \u003d 90 mm.

Apoi, diametrele sunt calculate pentru secțiunile arborelui din starea de rigiditate, adică folosind formula

d rigid1 \u003d \u003d 0,1 m \u003d 100 mm

d rigid2 \u003d \u003d 0,1068 m \u003d 107 mm

d rigid1 \u003d \u003d 0,0837 m \u003d 84 mm

Cele mai mari valori ale diametrelor calculate din condiția de rigiditate ar trebui alese ca cele finale. Astfel, dimensiunea finală a diametrului arborelui este: d 1 \u003d 107 mm.

Din rândul standard: d 1 \u003d 120 mm

Tema 5

O fulie și o roată sunt montate rigid pe arbore,

Determinați forțele F 2 .F 2r \u003d 0,4 F 1 dacă este dată valoarea forței F 1

Imaginați-vă un sistem fizic:

Rezolvăm problema în următoarea succesiune:

1. prezentăm în figură un corp, al cărui echilibru este luat în considerare, cu forțe active și reactive care acționează asupra acestuia și alegem un sistem de axe de coordonate;

2. din condiția de echilibru a unui corp având o axă fixă, determinăm valorile forțelor F 2, F r2;

3. compune șase ecuații de echilibru;

4. rezolvăm ecuații și determinăm reacțiile suporturilor;

5. verificați corectitudinea soluției la problemă.

1. Reprezentăm arborele cu toate forțele care acționează asupra acestuia, precum și axele de coordonate

Luați în considerare sistemul de forțe care acționează în sistem

Determinați componentele sarcinii din partea scripetei

P 1 \u003d (2F 1 + F 1) \u003d 3 F 1 \u003d 3 * 280 \u003d 840 N \u003d 0,84 kN

2. Determinați F2 și Fr2. Din condiția de echilibru pentru un corp cu o axă fixă:

F 2 \u003d \u003d \u003d 507,5 H

F r2 \u003d 0,4 F 2 \u003d 0,4 * 507,5 \u003d 203 H

3. Compunem șase ecuații de echilibru:

УY \u003d -Р 1 - F 2 + A y + B y \u003d 0 (1)

YX \u003d -F 2r + A x + B x \u003d 0 (2)

YМ yС \u003d -Р 1 * 32 + А у * 20 - В у * 10 \u003d 0 (3)

UM yB \u003d - P 1 * 42 + A y * 30 - F 2 * 10 \u003d 0 (4)

UM xC \u003d A x * 20 - B x * 10 \u003d 0 (5)

UM xB \u003d A x * 30 + F 2r * 10 \u003d 0 (6)

Luați în considerare ecuațiile (3) și (4)

840 * 32 + A y * 20 - B y * 10 \u003d 0

840 * 42 + A y * 30 - 507,5 * 10 \u003d 0

Din ultima ecuație:

Și y \u003d 40355/30 \u003d 1345 N

Din prima ecuație:

26880 + 26900 \u003d 10 * V y? V y \u003d 20/10 \u003d 2 N

Luați în considerare ecuațiile (5) și (6)

A x * 20 - B x * 10 \u003d 0

A x * 30 + 203 * 10 \u003d 0

Din ultima ecuație A x \u003d 2030/30 \u003d 67,7 N

Din prima ecuație: 1353,3 \u003d 10 * V y? B y \u003d 1353/10 \u003d 135,3 N

Vom verifica prin ecuațiile (1) și (2):

AA \u003d -840 - 507,5 + 1345 + 2 \u003d 0

YX \u003d -203 + 67,7 + 135,3 \u003d 0

Calculele sunt corecte. În cele din urmă, reacțiile suporturilor A și B:

A \u003d \u003d \u003d 1346,7 N

B \u003d \u003d \u003d 135,3 N

Torsiunea unei bare de secțiune circulară - starea problemei

Patru momente de torsiune externe sunt aplicate unui arbore de oțel cu secțiune constantă (Fig. 3.8): kN · m; kN m; kN m; kN m. Lungimile secțiunilor tijei: m; m, m, m. Necesar: trasați cuplurile, determinați diametrul arborelui la kN / cm2 și trasați unghiurile de torsiune ale secțiunilor transversale ale barei.

Torsiunea unei bare cu secțiune circulară - model de proiectare

Figura: 3.8

Rezolvarea problemei torsiunii unei bare circulare

Determinați momentul reactiv care apare într-o terminație rigidă

Să desemnăm momentul din terminație și să-l orientăm, de exemplu, în sens invers acelor de ceasornic (când privim spre axa z).

Să scriem ecuația echilibrului arborelui. În acest caz, vom folosi următoarea regulă a semnelor: momentele de torsiune externe (momentele active, precum și momentul reactiv în terminație), rotirea arborelui în sens invers acelor de ceasornic (atunci când îl privim spre axa z), sunt considerate pozitive.

Semnul plus din expresia pe care am primit-o indică faptul că am ghicit direcția momentului reactiv care apare în încheiere.

Plotarea cuplurilor

Amintiți-vă că cuplul intern care apare într-o anumită secțiune transversală a barei este egal cu suma algebrică a momentelor de torsiune externă aplicate oricăreia dintre părțile considerate ale barei (adică acționând în stânga sau în dreapta secțiunii realizate). În acest caz, momentul de răsucire extern care rotește partea considerată a tijei în sens invers acelor de ceasornic (atunci când privim secțiunea transversală) intră în această sumă algebrică cu un semn plus și, pe parcurs - cu un semn minus.

În consecință, cuplul intern pozitiv care se opune momentelor de torsiune externe este direcționat în sensul acelor de ceasornic (atunci când privim secțiunea transversală) și negativ - în sens invers acelor de ceasornic.

Împărțim lungimea tijei în patru secțiuni (Fig. 3.8, a). Limitele secțiunilor sunt acele secțiuni în care se aplică momente externe.

Facem o secțiune într-un loc arbitrar în fiecare dintre cele patru secțiuni ale barei.

Secțiunea 1 - 1. Aruncați mental (sau acoperiți cu o bucată de hârtie) partea stângă a tijei. Pentru a echilibra momentul torsional kN · m, în secțiunea transversală a barei trebuie să apară un cuplu egal și orientat opus. Sub rezerva regulii de semn mai sus

kN m.

Secțiunile 2 - 2 și 3 - 3:

Secțiunea 4 - 4. Pentru a determina cuplul, în secțiunea 4 - 4 aruncăm partea dreaptă a barei. Apoi

kN m.

Este ușor să vă asigurați că rezultatul nu se va schimba dacă acum aruncăm nu partea dreaptă, ci partea stângă a barei. Primim

Pentru a reprezenta diagrama cuplului, trasați o axă cu o linie subțire paralelă cu axa barei z (Fig. 3.8, b). Valorile calculate ale cuplurilor în scara selectată și luând în considerare semnul lor sunt reprezentate grafic din această axă. În cadrul fiecărei secțiuni a tijei, cuplul este constant, așa că „umbrim” secțiunea corespunzătoare cu linii verticale. Să ne amintim că fiecare segment al „ecloziunii” (ordonată a diagramei) oferă, pe scara acceptată, valoarea cuplului în secțiunea transversală corespunzătoare a barei. Conturați graficul rezultat cu o linie îndrăzneață.

Rețineți că, în locurile în care momentele de torsiune externe sunt aplicate pe diagramă, am obținut o schimbare bruscă a cuplului intern prin valoarea momentului extern corespunzător.

Determinați diametrul arborelui din starea de rezistență

Condiția de rezistență la torsiune este

,

unde - moment polar de rezistență (moment de rezistență în timpul torsiunii).

Cel mai mare cuplu în valoare absolută apare în a doua secțiune a arborelui: kN cm.

Apoi, diametrul necesar al arborelui este determinat de formula

cm.

Rotunjind valoarea rezultată la standard, luăm diametrul arborelui egal cu mm.

Determinați unghiurile de torsiune ale secțiunilor transversale A, B, C, D și E și trasați unghiurile de torsiune

În primul rând, calculăm rigiditatea la torsiune a tijei, unde G este modulul de forfecare și Este momentul polar de inerție. Primim

Unghiurile de răsucire din secțiunile individuale ale tijei sunt egale:

bucuros;

bucuros;

bucuros;

bucuros.

Unghiul de răsucire din încastrare este zero, adică. Apoi

Diagrama unghiului de răsucire este prezentată în Fig. 3.8, c. Rețineți că, în limitele lungimii fiecărei secțiuni ale arborelui, unghiul de răsucire se schimbă liniar.

Un exemplu de problemă de torsiune pentru o bară „rotundă” pentru soluție independentă

Starea problemei pentru torsiunea unei bare "rotunde"

O bară de oțel strânsă rigid la un capăt (modul de forfecare kN / cm2) de secțiune circulară este răsucită cu patru momente (Fig. 3.7).

Necesar:

· Construiți o diagramă a cuplurilor;

· La o solicitare tangențială admisibilă kN / cm2 din condiția de rezistență, determinați diametrul arborelui, rotunjindu-l la cea mai apropiată dintre următoarele valori 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200 mm;

· Trasați unghiurile de torsiune ale secțiunilor transversale ale barei.

Variante de modele de proiectare pentru problema torsiunii unei bare circulare pentru soluție independentă

Un exemplu de problemă de torsiune pentru o bară rotundă - condiții inițiale pentru o soluție independentă

Număr schemă
			Înainte de a rezolva problema materialelor de rezistență, este necesar să rescrieți complet starea acesteia cu date numerice, să întocmiți o schiță pe o scală și să indicați pe ea în număr toate cantitățile necesare pentru un calcul ulterior Completați rezolvarea problemelor privind rezistența materialelor cu explicații și desene scurte, pe care sunt vizualizate valorile incluse în calcul, Înainte de a utiliza formula pentru determinarea stării tensiune-deformare, este necesar să se studieze tema corespunzătoare a prelegerilor despre rezistența materialelor pentru a înțelege semnificația fizică a tuturor cantităților incluse în aceasta, Când înlocuiți valorile forței, momentului sau lungimii în formula utilizată, este necesar să le traduceți într-un singur sistem de unități, La rezolvarea problemelor privind rezistența materialelor, precizia calculelor nu trebuie să depășească trei cifre semnificative (rezultatul rezolvării problemei nu poate fi mai precis decât condițiile prealabile incluse în formulele de calcul), Trebuie să finalizați calculele analizând rezultatele - au predat rezistența materialelor în acest mod, vă verifică munca. Analiza rezultatelor soluției va ajuta la evitarea greșelilor ridicole și eliminarea rapidă a acestora.

5.1 (Opțiunea 08)

Instrucțiuni: luați puterea pe roțile dințate P 2 \u003d 0,5 P 1, P 3 \u003d 0,3 P 1 și P 4 \u003d 0,2 P1. Valoarea calculată a diametrului (în mm) rezultată se rotunjește la cel mai apropiat număr mai mare care se termină cu 0, 2, 5, 8 sau ST SEV 208-75 [τ] \u003d 30 MPa.

Tabelul 20 - Date inițiale

Numărul sarcinii și diagrame din fig. 35	P, kW	ω, rad / s	Distanța dintre scripeți, m
			l 1	l 2	l 3
100, X	28	26	0,2	0,1	0,3

Răspuns: d 1 \u003d 45,2 mm, d 2 \u003d 53,0 mm, d 3 \u003d 57,0 mm, φ I \u003d 0,283º, φ II \u003d 0,080º, φ III \u003d 0,149º.

5.2

d) determinați diametrul arborelui, luând [σ] \u003d 60 N / mm² (în problema 117) și stabilind F r \u003d 0,4F t. În problema 117, calculul se efectuează pe ipoteza celor mai mari solicitări de forfecare.

Tabelul 22 - Date inițiale

Numărul sarcinii și diagrame din fig. 37	Opțiune	P, kW	ω 1, rad / s
117, VII	08	8	35

Răspuns: R Cu \u003d 7145 H, R Ay \u003d 3481 H, d \u003d 51 mm.

5.3 Pentru un arbore de oțel cu secțiune transversală constantă (Figura 7.17), puterea de transmisie P (kW) la o viteză unghiulară rad (rad / s) (valorile numerice ale acestor mărimi pentru versiunea dvs. sunt preluate din Tabelul 7.4):

a) determinați componentele verticale și orizontale ale răspunsului lagărului;

b) construiți o diagramă a cuplurilor;

c) construiți diagrame ale momentelor de încovoiere în planurile vertical și orizontal;

d) determinați diametrul arborelui, luând [σ] \u003d 70 MPa (în problemele 41, 43, 45, 47, 49) sau [σ] \u003d 60 MPa (în problemele 42, 44, 46, 48, 50). Pentru forțele care acționează asupra roții dințate, luați F r \u003d 0.36F t, pentru tensiunea curelei S 1 \u003d 2S 2. În sarcinile 42, 44, 46, 48, 50, calculul se efectuează pe ipoteza energiei potențiale a schimbării formei și în sarcinile 41, 43, 45, 47, 49 pe ipoteza celor mai mari solicitări de forfecare.

Tabelul 22 - Date inițiale

Numărul sarcinii și diagramele din Figura 7.17	Opțiune	P, kW	ω, rad / s
Problema 45, schema V	47	30	24

Răspuns: R Cu \u003d 4000 H, R Ay \u003d 14000 H, d \u003d 64 mm.

5.4 Pentru una dintre scheme (Fig. 35, Tabelul 20), construiți o diagramă a cuplurilor; determinați diametrul arborelui în fiecare secțiune și unghiul total de răsucire.

Instrucțiuni: luați puterea pe roțile dințate P 2 \u003d 0,5 P 1, P 3 \u003d 0,3 P 1 și P 4 \u003d 0,2 P 1. Valoarea calculată rezultată a diametrului (în mm) se rotunjește la cel mai apropiat număr mai mare care se termină cu 0, 2, 5, 8 sau ST SEV 208-75 [τ] \u003d 30 MPa.

Tabelul 20

Numărul problemei și diagrama din Fig. 35	Opțiune	P, kW	ω, rad / s	Distanța dintre scripeți, m
				l 1	l 2	l 3
91, eu	29	20	30	0,2	0,9	0,4

Răspuns: d 1 \u003d 28,5 mm, d 2 \u003d 43,2 mm, d 3 \u003d 48,5 mm, φ I \u003d 0,884º, φ II \u003d 0,783º, φ III \u003d 0,176º.

5.5 Pentru un arbore de oțel cu secțiune transversală constantă cu o roată dințată (Fig. 37), transmiterea puterii P (kW) la o viteză unghiulară ω 1 (rad / s) (valorile numerice ale acestor mărimi pentru versiunea dvs. sunt preluate din Tabelul 22):

a) determinați componentele verticale și orizontale ale răspunsului lagărului;

b) construiți o diagramă a cuplurilor;

c) construiți diagrame ale momentelor de încovoiere în planurile vertical și orizontal;

d) determinați diametrul arborelui, luând [σ] \u003d 70 N / mm² (în problema 112) și setați F r \u003d 0,4F t. În problema 112, calculul se efectuează pe ipoteza energiei potențiale a schimbării formei.

Tabelul 22

Numărul problemei și diagrama din Fig. 37	Opțiune	P, kW	ω 1, rad / s
112, II	29	20	50

Răspuns: R Cu \u003d 1143 H, R Ay \u003d 457 H, d \u003d 40,5 mm.

Selectați dimensiunile secțiunii transversale a arborelui (Fig. 1) conform starea de rezistență ... În secțiunile de la secțiunea 1 la secțiunea 3 și de la secțiunea 5 la secțiunea 6, diametrul exterior al arborelui, din motive de proiectare, trebuie să aibă aceeași dimensiune.

În secțiunea de la secțiunea 1 la secțiunea 2, arborele este de secțiune transversală inelară cu n \u003d d B / d \u003d 0,4. În secțiunile de la secțiunea 3 la secțiunea 5, arborele este selectat numai în condiții putere.

М \u003d 1 kN ∙ m, [τ] \u003d 80 MPa.

Decizie

Împărțim arborele în secțiuni de putere , construim o diagramă a cuplului (Fig. 1, b).

Determinați diametrele arborelui. În secțiunile I, II și V, diametrul exterior al arborelui este același. Pentru ei, nu este posibil să se indice în prealabil secțiunea cu cea mai mare valoare a efortului de forfecare, deoarece diferite secțiuni au diferite tipuri de secțiuni transversale: secțiunea I - inelară, II și V - rotundă solidă.

Este necesar să se determine separat, în funcție de condiția de rezistență, diametrele pentru fiecare tip de secțiune transversală pentru cea mai încărcată secțiune de putere (adică cea pe care acționează cuplul maxim în valoare absolută). În cele din urmă, luăm cel mai mare diametru obținut.

Pentru o secțiune inelară:

Pentru arbore cu secțiune transversală solidă

În sfârșit acceptăm cea mai mare valoare din diametrul obținut, rotunjit în sus la cea mai apropiată valoare întreagă:

d 1 \u003d d 2 \u003d d 5 \u003d 61 mm;

d B1 \u003d n ∙ d 1 \u003d 0,4 ∙ 61 \u003d 24,4 mm.

Cel mai mare stres care acționează în aceste domenii:

Diametrul arborelui în secțiunea III (M K3 \u003d 5M \u003d 5 kNm).