System jednokanałowy z ograniczoną kolejką. Wielokanałowy system kolejkowy z ograniczoną kolejką i ograniczonym czasem oczekiwania w kolejce
Systemy oczekujące z nieograniczonym ruchem przychodzącym
Odbiera N identycznych kanałów najprostszy przepływ żąda intensywności λ ... Jeżeli w momencie odebrania żądania wszystkie kanały są zajęte, to żądanie to zostaje umieszczone w kolejce i oczekuje na rozpoczęcie obsługi. Czas obsługi każdego klienta jest zmienną losową, która jest zgodna z prawem rozkładu wykładniczego z parametrem μ .Wzory obliczeniowe
Prawdopodobieństwo, że wszystkie kanały są bezpłatne
Prawdopodobieństwo zajętości kkanałów, pod warunkiem, że łączna liczba obsługiwanych klientów nie przekracza liczby kanałów,
Prawdopodobieństwo, że system jest k wniosków, w przypadku gdy ich liczba jest większa niż liczba kanałów,
Prawdopodobieństwo, że wszystkie kanały są zajęte
Średni czas oczekiwania na uruchomienie usługi w systemie przez aplikację
Średnia długość kolejki
Średnia liczba bezpłatnych kanałów
Stacja benzynowa z dwoma dystrybutorami obsługuje ruch Poissona z prędkością λ \u003d 0,8 samochodu na minutę. Czas serwisowania jednej maszyny jest zgodny z prawem wykładniczym o średniej wartości 2 minuty. W okolicy nie ma innej stacji benzynowej, więc kolejka przed stacją może rosnąć niemal w nieskończoność. Odnaleźć:
1) średnią liczbę zajętych kolumn;
2) prawdopodobieństwo braku kolejki na stacji benzynowej;
3) prawdopodobieństwo, że będziesz musiał czekać na rozpoczęcie usługi;
4) średnią liczbę samochodów w kolejce;
5) średni czas oczekiwania w kolejce;
6) średni czas spędzony przez samochód na stacji benzynowej;
7) średnią liczbę samochodów na stacji paliw.
Decyzja... Według stanu problemu n \u003d 2, λ \u003d 0,8; μ \u003d 1 / t obsl \u003d 0,5; ρ \u003d λ / μ \u003d 1,6
O ile ρ /n=0,8<1, то очередь не растет безгранично и имеет смысл говорить о предельном стационарном режиме работы системы kolejka.
Znajdujemy prawdopodobieństwa stanów QS:
Średnia liczba zajętych kolumn:
N zan \u003d n-N 0 \u003d 2- (2 p 0 + 1 p 1) \u003d 2-2 0,1111 - 0,1778 \u003d 1,6
Prawdopodobieństwo braku kolejki na stacji benzynowej:
Prawdopodobieństwo, że będziesz musiał czekać na rozpoczęcie usługi, jest równe prawdopodobieństwu, że wszystkie kolumny są zajęte:
p 0 + p 1 + p 2 \u003d 0,1111 + 0,1778 + 0,1422 \u003d 0,4311
Średnia liczba samochodów w kolejce:
Średni czas oczekiwania w kolejce:
Średni czas spędzony przez samochód na stacji benzynowej:
t preb \u003d t usługa + t czuwanie \u003d 2 + 3,5556 \u003d 5,5556 min.
Średnia liczba samochodów na stacji benzynowej:
N zan + L och \u003d 1,6 + 2,8444 \u003d 4,4444
Rozważmy jednokanałowy system kolejkowy z oczekiwaniami, w którym liczba kanałów jest równa jeden n \u003d 1, wskaźnik napływu roszczeń wynosi λ, wskaźnik obsługi jest równy μ. Zgłoszenie przychodzące w momencie, gdy kanał jest zajęty, wchodzi do kolejki i czeka na usługę. Liczba miejsc w kolejce jest ograniczona i równa m... Jeśli wszystkie miejsca w kolejce są zajęte, żądanie opuszcza kolejkę bez obsługi. Przeanalizujmy stan systemu:
- S 0 - kanał jest wolny;
- S 1 - kanał jest zajęty;
- S 2 - kanał jest zajęty, w kolejce jest jedno żądanie;
- S k - kanał jest zajęty, (k - 1) klienci w kolejce;
- S m + 1 - kanał zajęty, w kolejce m Aplikacje.
Postać: 25
Korzystając ze wzorów Erlanga, znajdujemy prawdopodobieństwa zdarzeń, w których QS jest w stanie S 1 , S 2 , …, S m + 1: 
(28)
Co więcej, prawdopodobieństwo, że klient dotrze do systemu, uzna go za wolny, wynosi 
. (29)
Stosunek wskaźnika nadejść λ roszczeń do wskaźnika obsługi roszczeń μ jest stawką obniżoną μ, tj.
ρ=λ/μ
Zastąpmy stosunek λ / µm do ρ we wzorach (28) i (29), a następnie wyrażenia przyjmą postać:
(30)
Prawdopodobieństwo R 0 zostanie obliczone przy użyciu następującego wzoru:
p 0 \u003d -1. (31)
Wyrażenie prawdopodobieństwa P. 0 to postęp geometryczny, którego suma będzie
.
W ten sposób wzory (30) i (31) pozwalają na określenie prawdopodobieństwa wystąpienia dowolnego zdarzenia w systemie, czyli określenie prawdopodobieństwa, że \u200b\u200bsystem znajdzie się w dowolnym stanie.
Formuła dla P. 0 obowiązuje dla przypadku, gdy ρ ≠ 1. W przypadku, gdy ρ \u003d 1, tj. Wskaźnik napływania roszczeń jest równy szybkości ich obsługi, stosuje się inny wzór do obliczenia prawdopodobieństwa, że \u200b\u200bsystem jest wolny:
,
gdzie m to liczba klientów w kolejce.
Definiujemy charakterystyka wydajnościowa jednokanałowego systemu QS:
- prawdopodobieństwo, że kolejny wniosek, który dotrze do systemu, zostanie odrzucony R otwarty;
- absolutna przepustowość I,
- względna przepustowość Q,
- liczba zajętych kanałów k,
- średnia liczba klientów w kolejce r,
- średnia liczba aplikacji związanych z QS, z.
Następny klient przybywający do systemu jest odrzucany, jeśli kanał jest zajęty, tj. Inny klient jest obsługiwany i tak dalej m miejsca w kolejce również są zajęte. to prawdopodobieństwo tego zdarzenia można obliczyć za pomocą następującego wzoru:
. (32)
Prawdopodobieństwo, że roszczenie dotrze do systemu i albo zostanie obsłużone natychmiast, albo pojawią się miejsca w kolejce, czyli względną przepustowość, można obliczyć za pomocą wzoru
. (33)
Średnia liczba żądań, które można obsłużyć w jednostce czasu, czyli bezwzględna przepustowość, jest obliczana w następujący sposób:
A \u003d Q λ (34)
Zatem korzystając ze wzorów (32), (33), (34) można obliczyć główne wskaźniki wydajności dla dowolnego systemu kolejkowego. teraz wyprowadzimy wyrażenia do obliczania charakterystyk właściwych tylko dla tego QS.
Średnia liczba klientów w kolejce r jest zdefiniowana jako matematyczne oczekiwanie dyskretnej zmiennej losowej, gdzie R - liczba wniosków w kolejce.
♦ R 2 to prawdopodobieństwo, że w kolejce usług jest jeden klient;
♦ R 3 - prawdopodobieństwo, że w kolejce są dwie aplikacje;
♦ R k - prawdopodobieństwo, że w kolejce jest (k - 1) klient;
♦ R m + 1 to prawdopodobieństwo, że w kolejce jest m klientów.
Następnie średnią liczbę wniosków w kolejce można obliczyć w następujący sposób:
r \u003d 1 P 2 + 2 P 3 + ... + (k-1) P k + ... + m P m + 1. (35)
Podstaw do wzoru (35) znalezione wcześniej wartości prawdopodobieństw obliczone we wzorze (30):
r \u003d 1 ρ 2 p 0 + 2 ρ 3 p 0 + ... + (k-1) ρ k p 0 + ... + m ρ m + 1 p 0. (35)
Usuńmy prawdopodobieństwo P. 0 i R 2, to otrzymujemy ostateczną formułę na obliczenie średniej liczby zgłoszeń w kolejce serwisowej:
r \u003d ρ 2 p 0 (1 + 2 ρ + ... + (k-1) ρ k-2 + ... + m ρ m-1)
Wyprowadźmy wzór na średnią liczbę żądań związanych z QS, z, czyli liczbę żądań w kolejce, które są obsługiwane. Rozważmy całkowitą liczbę żądań związanych z QS, z jako sumę dwóch wartości średniej liczby żądań w kolejce r i liczby zajętych kanałów k:
z \u003d r + k.
Ponieważ jest tylko jeden kanał, liczba zajętych kanałów k może przyjąć wartości 0 lub 1. Prawdopodobieństwo, że k \u003d 0, tj. układ jest dowolny, odpowiada prawdopodobieństwu P 0, którego wartość można znaleźć wzorem (31). Jeśli k \u003d 1, tj. kanał jest zajęty obsługując żądanie, ale w kolejce są jeszcze miejsca, wtedy prawdopodobieństwo tego zdarzenia można obliczyć ze wzoru
.
Dlatego z będzie równe:
. (37)
Jednokanałowy CMO z czekaniem
System kolejkowy ma jeden kanał. Napływ zgłoszeń serwisowych jest najprostszym przepływem o intensywności l. Natężenie przepływu usługi jest równe m (tj. Średnio, stale zajęty kanał wystawia m. Obsługiwane roszczenia). Czas trwania usługi jest zmienną losową podlegającą wykładniczemu prawu dystrybucji. Przepływ usług to najprostszy przepływ zdarzeń Poissona. Zgłoszenie przychodzące w momencie, gdy kanał jest zajęty, wchodzi do kolejki i oczekuje na obsługę.Załóżmy, że bez względu na to, ile żądań dotrze na wejście obsługującego systemu, dany system (kolejka + obsługiwani klienci) nie może przyjąć więcej niż N żądań (żądań), tj. Klienci, których nie oczekiwano, są zmuszeni do obsługi w innym miejscu ... Wreszcie źródło generujące zgłoszenia serwisowe ma nieograniczoną (nieskończenie dużą) pojemność.
Wykres stanu QS w tym przypadku ma postać pokazaną na ryc. 3.2.
Wykres stanu jednokanałowego QS z oczekiwaniem (schemat śmierci i reprodukcji)
Stany QS mają następującą interpretację:
S 0 - kanał jest wolny
S 1 - kanał jest zajęty (nie ma kolejki);
S 2 - kanał jest zajęty (w kolejce jest jedno żądanie);
………………………………
S n -kanał jest zajęty (w kolejce jest n - 1 żądań);
……………………………
S N - kanał jest zajęty (w kolejce jest N - 1 żądań).
Stacjonarny zwis w tym układzie zostanie opisany następującym układem równań algebraicznych:
p -numer statusu.
Rozwiązanie powyższego układu równań (3.10) dla naszego modelu QS ma postać
Należy zaznaczyć, że spełnienie warunku stacjonarności dla danego QS jest opcjonalne, gdyż kontrolowanie liczby wniosków przyjmowanych do systemu obsługującego polega na wprowadzeniu ograniczenia długości kolejki (która nie może przekroczyć N- 1), a nie stosunek między intensywnościami przepływu wejściowego, tj. Nie stosunek
l / m \u003d p
Definiujemy cechy jednokanałowej WORz niecierpliwością i ograniczona długość kolejka równa (N -1):
Rozważmy przykład jednokanałowego systemu kolejkowego z oczekiwaniem.
Przykład 3.2. Specjalistyczny punkt diagnostyczny to system jednokanałowy. Liczba parkingów oczekujących na diagnostykę jest ograniczona do 3 [(N- 1) \u003d 3]. Jeśli wszystkie parkingi są zajęte, czyli w kolejce stoją już trzy auta, to kolejny samochód przyjeżdżający na diagnostykę nie trafia do kolejki serwisowej. Przepływ samochodów przyjeżdżających do diagnostyki jest rozłożony zgodnie z prawem Poissona i ma intensywność l\u003d 0,85 (samochód na godzinę). Czas diagnostyki samochodowej rozkłada się zgodnie z prawem wykładniczym i wynosi średnio 1,05 godziny.
Konieczne jest zdefiniowanie probabilistyczna charakterystyka stacjonarnej stacji diagnostycznej.
Decyzja
1. Parametr przebiegu konserwacji samochodu:
2. Zmniejszone natężenie ruchu samochodów definiuje się jako stosunek natężeń l im m, tj.
3. Obliczmy ostateczne prawdopodobieństwa systemu:
P 1 \u003d ρ P 0 \u003d 0,893 0,248 \u003d 0,221
P 2 \u003d ρ 2 P 0 \u003d 0,893 2 0,248 \u003d 0,198
P 3 \u003d ρ 3 P 0 \u003d 0,893 3 0,248 \u003d 0,177
P 4 \u003d ρ 4 P 0 \u003d 0,893 2 0,248 \u003d 0,158
4. Prawdopodobieństwo odmowy obsługi samochodu:
P otwarte \u003d P 4 \u003d ρ 4 P 0 ≈ 0,158
5. Względna przepustowość stacji diagnostycznej:
q \u003d 1-P otwarte \u003d 1-0,158 \u003d 0,842
6. Bezwzględna przepustowość stacji diagnostycznej
A \u003d λ q \u003d 0,85 0,842 \u003d 0,716 (samochód na godzinę)
7. Średnia liczba samochodów serwisowanych i w kolejce (tj. W systemie kolejkowym):
8. Średni czas przebywania samochodu w systemie:
9. Średni czas oczekiwania aplikacji w kolejce do doręczenia:
W q \u003d W S -1 / μ \u003d 2,473-1 / 0,952 \u003d 1,423 godziny
10. Średnia liczba wniosków w kolejce (długość kolejki): L q\u003d A, (1 - P N) W q= 0,85
L q \u003d λ (1-P N) W q \u003d 0,85 (1-0,158) 1,423 \u003d 1,02
Pracę rozpatrywanego stanowiska diagnostycznego można uznać za zadowalającą, gdyż stanowisko diagnostyczne średnio nie obsługuje samochodów w 15,8% przypadków (P otwarte\u003d 0,158). Jako wskaźniki sprawności QS z oczekiwaniem, oprócz znanych już wskaźników - bezwzględnej przepustowości A i względnej Q, prawdopodobieństwo awarii P otk , średnią liczbę zajętych kanałów (dla systemu wielokanałowego) weźmiemy również pod uwagę: System L. - średnia liczba zapytań do systemu; T sist. - średni czas spędzony przez aplikację w systemie; L pkt. - średnia liczba wniosków w kolejce (długość kolejki); T och. - średni czas oczekiwania zapytania w kolejce; R zajęty .. - prawdopodobieństwo, że kanał jest zajęty (stopień obciążenia kanału).
System jednokanałowy z nieograniczoną kolejką
W praktyce często spotyka się jednokanałowych CMO z nieograniczoną kolejką (na przykład automat telefoniczny z jedną budką).Rozważmy problem.
Istnieje jednokanałowy QS z kolejką, na którą nie nakłada się żadnych ograniczeń (ani w długości kolejki, ani w czasie oczekiwania). Przepływ roszczeń docierających do QS ma intensywność λ, a przepływ usług ma natężenie μ. Konieczne jest znalezienie granicznych prawdopodobieństw stanów i wskaźników skuteczności QS.
System może znajdować się w jednym ze stanów S 0, S 1, S 2, ..., S k, zgodnie z liczbą żądań w QS: S 0 - kanał jest wolny; S 1 - kanał jest zajęty (obsługuje żądanie), nie ma kolejki, S 2 - kanał jest zajęty, jedno żądanie jest w kolejce; ... S k - kanał jest zajęty, (k-1) klienci są w kolejce itd.
Wykres stanu QS przedstawiono na rys. osiem.
Postać: osiem
Jest to proces śmierci i pomnażania, ale z nieskończoną liczbą stanów, w których natężenie przepływu roszczeń wynosi λ, a natężenie przepływu usług wynosi μ.
Przed zapisaniem wzorów na prawdopodobieństwa graniczne należy mieć pewność ich istnienia, ponieważ w przypadku, gdy czas t → ∞, kolejka może rosnąć w nieskończoność. Udowodniono, że jeśliρ<1, te. średnia liczba roszczeń przychodzących jest mniejsza niż średnia liczba reklamacji obsługiwanych (na jednostkę czasu), wówczas istnieją ograniczenia prawdopodobieństwa. Jeśliρ≥1, kolejka rośnie w nieskończoność.
Aby wyznaczyć graniczne prawdopodobieństwa stanów, posłużymy się wzorami (16), (17) dla procesu śmierci i reprodukcji (tutaj zakładamy pewną luźność, ponieważ wzory te otrzymano wcześniej dla przypadku skończonej liczby stanów układu). Otrzymujemy (32)
Ponieważ prawdopodobieństwa ograniczające istnieją tylko dla ρ< 1, то геометрический ряд со знаменателем
ρ < 1, записанный в скобках в формуле (32), сходится к сумме, равной . Поэтому
p 0 \u003d 1-ρ, (33)
i biorąc pod uwagę relacje (17)
p 1 \u003d ρ · p 0; p 2 \u003d ρ 2 · p 0; ...; p k \u003d ρ k p 0; ...
znaleźć ograniczenia prawdopodobieństwa innych stanów
p 1 \u003d ρ · (1-ρ); p 2 \u003d ρ 2 · (1-ρ); ...; p k \u003d ρk (1-ρ); ... (34)
Graniczne prawdopodobieństwa p 0, p 1, p 2,…, p k,… tworzą malejącą profesję geometryczną z mianownikiem p< 1, следовательно, вероятность р 0 - наибольшая. Это означает, что если СМО справляется с потоком заявок (при ρ < 1), то наиболее вероятным будет отсутствие заявок в системе.
Średnia liczba aplikacji w systemie L. zdeterminuje matematyczna formuła oczekiwania, która biorąc pod uwagę (34) przyjmuje postać 
(35)
(suma od 1 do ∞, ponieważ człon zerowy wynosi 0 · p 0 \u003d 0).
Można wykazać, że formuła (35) przekształca (dla ρ< 1) к виду
(36)
Znajdź średnią liczbę aplikacji w kolejce L och. To oczywiste
L och \u003d system L -L około (37)
gdzie L vol. to średnia liczba obsługiwanych aplikacji.
Średnią liczbę obsługiwanych szkód określa wzór matematycznego oczekiwania liczby obsługiwanych szkód, który przyjmuje wartości 0 (jeśli kanał jest wolny) lub 1 (jeśli kanał jest zajęty):
L och \u003d 0 p 0 + 1 (1-p 0)
te. średnia liczba obsługiwanych roszczeń jest równa prawdopodobieństwu zajętości kanału:
L och \u003d P zan \u003d 1-p 0, (38)
Na mocy (33)
L och \u003d P zan ρ, (39)
Teraz, zgodnie ze wzorem (37), biorąc pod uwagę (36) i (39)
(40)
Udowodniono, że dla dowolnego rodzaju przepływu szkód, dla dowolnego rozkładu czasu obsługi, dla dowolnej dyscypliny obsługi, średni czas reklamacji w systemie (kolejce) jest równy średniej liczbie szkód w systemie (w kolejce) podzielonej przez intensywność strumienia szkód,te. 
(41)
(42)
Nazywa się formuły (41) i (42) formuły Little'a.Wynikają z tego w trybie ograniczającym, stacjonarnym, średnia liczba szkód wpływających do systemu jest równa średniej liczbie szkód opuszczających system:oba strumienie żądań mają tę samą intensywność λ.
Na podstawie wzorów (41) i (42), biorąc pod uwagę (36) i (40), średni czas przebywania aplikacji w systemie określa wzór: 
(43)
i średni czas oczekiwania aplikacji w kolejce
(44)
Jednokanałowy CMO z oczekiwaniem bez ograniczeń pojemności jednostki oczekującej
Stacjonarny tryb pracy tego QS istnieje jako t → ∞ dla dowolnego n \u003d 0,1,2, ... i gdy l< m.Система алгебраических уравнений, описывающих работу СМО при t®¥ для любого n = 0, 1, 2...., имеет видRozwiązanie tego układu równań ma postać
P n \u003d (1-ρ) ρ n, n \u003d 0,1,2, ... (3,21)
gdzie ρ \u003d λ / μ< 1
Charakterystyka jednokanałowego QS z oczekiwaniem, bez ograniczeń co do długości kolejki, jest następująca:
średnia liczba klientów (zgłoszeń) w systemie do obsługi:
średni czas pobytu klienta w systemie:
Przykład 3.3.Przypomnijmy sytuację rozważaną w przykładzie 3.2, gdzie mówimy o funkcjonowaniu stanowiska diagnostycznego. Niech rozpatrywany punkt diagnostyczny będzie miał nieograniczoną liczbę miejsc parkingowych dla samochodów przyjeżdżających do serwisu, tj. Długość kolejki nie będzie ograniczona.
Wymagane jest określenie ostatecznych wartości następujących cech probabilistycznych:
- prawdopodobieństwa stanów systemu (post diagnostyczny);
- średnia liczba samochodów w systemie (w serwisie iw kolejce);
- średni czas przebywania samochodu w systemie (w serwisie iw kolejce);
- średnia liczba samochodów w kolejce do serwisu;
- średni czas, przez jaki samochód stoi w kolejce.
Decyzja
1. Parametr przepływu eksploatacyjnego m i zmniejszone natężenie przepływu pojazdu p zdefiniowano w przykładzie 3.2:
m \u003d 0,952; p \u003d 0,893.
2. Obliczmy graniczne prawdopodobieństwa układu za pomocą wzorów
P 0 \u003d 1-ρ \u003d 1-0,893 \u003d 0,107
P 1 \u003d (1-ρ) ρ \u003d (1-0,893) 0,893 \u003d 0,096
P2 \u003d (1-ρ) ρ 2 \u003d (1-0,893) 2 0,893 \u003d 0,085
P 3 \u003d (1-ρ) ρ 3 \u003d (1-0,893) 3 0,893 \u003d 0,076
P 4 \u003d (1-ρ) ρ 4 \u003d (1-0,893) 4 0,893 \u003d 0,068
P 5 \u003d (1-ρ) ρ 5 \u003d (1-0,893) 5 0,893 \u003d 0,061
itp.
Należy zauważyć, że P około określa odsetek czasu, w którym stanowisko diagnostyczne jest zmuszone do pozostawania w stanie bezczynności (bezczynności). W naszym przykładzie jest to 10,7%, ponieważ P około= 0,107.
3. Średnia liczba samochodów w systemie (w serwisie iw kolejce):
4. Średnia długość pobytu klienta w systemie:
6. Średni czas trwania kolejki samochodu
7. Względna pojemność systemu:
to znaczy, każde żądanie wchodzące do systemu zostanie obsłużone.
8. Bezwzględna przepustowość: I\u003d l q\u003d 0,85 1 \u003d 0,85
Należy zaznaczyć, że firmę wykonującą diagnostykę pojazdów interesuje przede wszystkim liczba klientów, którzy odwiedzą stanowisko diagnostyczne po zniesieniu limitu długości kolejki.
Załóżmy, że w pierwotnej wersji liczba miejsc parkingowych dla przyjeżdżających samochodów wynosiła trzy (patrz przykład 3.2). Częstotliwość m sytuacji, w których samochód podjeżdżający na stanowisko diagnostyczne nie może stanąć w kolejce:
t\u003d l P N
W naszym przykładzie, przy N \u003d 3 + 1 \u003d 4 ip \u003d 0,893,
m \u003d l P okołop 4 \u003d 0,85 0,248 0,8934 0,134 samochodu na godzinę.
Przy 12-godzinnym trybie pracy stanowiska diagnostycznego jest to równoznaczne z faktem, że stanowisko diagnostyczne średnio na zmianę (dzień) traci 12 · 0,134 \u003d 1,6 pojazdu.
Usunięcie ograniczenia długości kolejki pozwala w naszym przykładzie zwiększyć liczbę obsługiwanych klientów średnio o 1,6 samochodu na zmianę (12 godzin pracy) stanowiska diagnostycznego. Oczywiste jest, że decyzja o powiększeniu parkingu dla samochodów przyjeżdżających na stanowisko diagnostyczne powinna być oparta na ocenie szkód ekonomicznych, jakie powoduje utrata klientów posiadających tylko trzy miejsca postojowe dla tych samochodów.
Wielokanałowy CMO z nieograniczoną kolejką
Rozważmy problem. Istnieje n-kanałowy system QS z nieograniczoną kolejką. Przepływ roszczeń docierających do QS ma intensywność λ, a przepływ usług ma natężenie μ. Konieczne jest znalezienie granicznych prawdopodobieństw stanów QS i wskaźników jego skuteczności.System może znajdować się w jednym ze stanów S 0, S 1, S 2, ..., S k, ..., S n, ..., - ponumerowane według liczby żądań w QS: S 0 - w systemie nie ma żądań (wszystkie kanały są wolne) ; S 1 - jeden kanał jest zajęty, reszta jest wolna; S 2 - dwa kanały zajęte, pozostałe wolne; ..., S k - k kanałów zajętych, pozostałe wolne; ..., S n - wszystkie n kanałów są zajęte (nie ma kolejki); S n + 1 - wszystkie n kanałów są zajęte, w kolejce jest jeden klient; ..., S n + r - wszystkie nkanały, raplikacje są w kolejce, ....
Wykres stanu systemu przedstawiono na rys. 9. Zwróć uwagę, że w przeciwieństwie do poprzedniego QS, intensywność przepływu usług (przenoszenie systemu z jednego stanu do drugiego z prawej strony na lewą) nie pozostaje stała, a wraz ze wzrostem liczby żądań w QS od 0 do n wzrasta z m do nm , ponieważ liczba kanałów usług odpowiednio wzrasta. Gdy liczba żądań w QS jest większa niż n, natężenie przepływu usługi pozostaje równe nm.
średnia liczba wniosków w kolejce 
, (50)
średnia liczba zapytań w systemie
System L \u003d L och + ρ, (51)
Średni czas przebywania aplikacji w kolejce i średni czas przebywania aplikacji w systemie, podobnie jak poprzednio, wyznaczają wzory Little'a (42) i (41).
Komentarz. Dla QS z nieograniczoną kolejką na r< 1 любая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена, т.е. вероятность отказа P отк = 0, относительная пропускная способность Q\u003d 1, a przepustowość bezwzględna jest równa intensywności napływu żądań, tj. I\u003d l.
QS z ograniczoną kolejką
QS z ograniczoną kolejką. QS z ograniczoną kolejką różni się od problemów rozważanych powyżej tylko tym, że liczba żądań w kolejce jest ograniczona (nie może przekroczyć określonej t).Jeśli nowe zgłoszenie nadejdzie w momencie, gdy wszystkie miejsca w kolejce są zajęte, QS pozostawia niezaobsługiwany, tj. zostaje odrzucony.Oczywiście, aby obliczyć graniczne prawdopodobieństwa stanów i wskaźników sprawności takich QS, można zastosować to samo podejście, co powyżej, z tą różnicą, że nie jest konieczne podsumowanie nieskończonej progresji (jak na przykład zrobiliśmy wyprowadzając wzór (33)), ale skończony ...
Tak jak poprzednio, średni czas spędzony przez zapytanie w kolejce iw systemie wyznaczają wzory Little'a (44) i (43).
QS z ograniczonym czasem oczekiwania. W praktyce OZZ często spotyka się z tak zwanymi „niecierpliwymi” aplikacjami. Takie żądania mogą opuścić kolejkę, jeśli czas oczekiwania przekroczy określoną wartość. W szczególności takie żądania pojawiają się w różnych systemach technologicznych, w których opóźnienie w uruchomieniu usługi może prowadzić do utraty jakości produktu, w systemach kontroli operacyjnej, gdy pilne komunikaty tracą wartość (a nawet znaczenie), jeśli nie dotrą do obsługi w określonym czas.
W najprostszych modelach matematycznych takich systemów przyjmuje się, że klient może znajdować się w kolejce przez losowy czas rozłożony według prawa wykładniczego z pewnym parametrem υ, tj. możemy warunkowo założyć, że każdy klient w kolejce do serwisu może opuścić system z intensywnością υ.
Odpowiednie wskaźniki skuteczności QS w ograniczonym czasie uzyskuje się na podstawie wyników uzyskanych dla procesu śmierci i reprodukcji.
Podsumowując, zauważamy, że w praktyce często istnieją systemy usług w pętli zamkniętej, dla których przychodzący przepływ żądań zależy w znacznym stopniu od stanu samego QS. Jako przykład można przytoczyć sytuację, w której niektóre maszyny przyjeżdżają do bazy naprawczej z miejsc eksploatacji: jest oczywiste, że im więcej maszyn jest w stanie naprawy, tym mniej nadal pracują i tym mniejszy jest przepływ nowo dostarczonych maszyn do naprawy. Zamknięty system QS charakteryzuje się ograniczoną liczbą źródeł zastrzeżeń, a każde źródło jest „blokowane” na czas obsługi swojego zastrzeżenia (to znaczy nie zgłasza nowych zastrzeżeń). W takich systemach, przy skończonej liczbie stanów QS, graniczne prawdopodobieństwa będą istnieć dla dowolnych wartości intensywności przepływów żądań i usług. Można je obliczyć, zwracając się ponownie do procesu śmierci i reprodukcji.
działanie lub wydajność systemu kolejkowania są następujące.Dla CMO z odrzuceniami:
Dla CMO z nieograniczonym czekaniem zarówno bezwzględna, jak i względna przepustowość tracą znaczenie, ponieważ każda przychodząca reklamacja zostanie wcześniej czy później doręczona. W przypadku takiego QS ważnymi wskaźnikami są:
Dla Typ mieszany CMO używane są obie grupy wskaźników: jako względne i bezwzględna przepustowośći cechy oczekiwania.
W zależności od celu operacji kolejkowania jako kryterium wydajności można wybrać dowolny z powyższych wskaźników (lub zestaw wskaźników).
Model analityczny QS to zestaw równań lub formuł, które pozwalają określić prawdopodobieństwa stanów systemu w trakcie jego pracy oraz obliczyć wskaźniki wydajności na podstawie znanych charakterystyk strumienia przychodzącego i kanałów usługowych.
Nie ma ogólnego modelu analitycznego dla dowolnego systemu jakości... Opracowano modele analityczne dla ograniczonej liczby specjalnych przypadków QS. Modele analityczne, które mniej lub bardziej dokładnie przedstawiają rzeczywiste systemy, są zwykle złożone i trudne do wizualizacji.
Modelowanie analityczne QS jest znacznie ułatwione, jeśli procesy zachodzące w QS są procesami Markowa (przepływy aplikacji są najprostsze, czasy obsługi rozkładają się wykładniczo). W tym przypadku wszystkie procesy w QS można opisać zwykłymi równaniami różniczkowymi, aw przypadku granicznym dla stanów stacjonarnych - liniowymi równaniami algebraicznymi i po ich rozwiązaniu wyznaczyć wybrane wskaźniki wykonania.
Rozważmy przykłady niektórych QS.
2.5.1. Wielokanałowy system QS z awariami
Przykład 2.5... Trzech inspektorów ruchu sprawdza listy przewozowe kierowców ciężarówek. Jeśli przynajmniej jeden inspektor jest wolny, przejeżdżająca ciężarówka zostaje zatrzymana. Jeśli wszyscy inspektorzy są zajęci, ciężarówka jedzie bez zatrzymywania się. Przepływ ciężarówek jest najprostszy, czas sprawdzania jest losowy z rozkładem wykładniczym.
Sytuację tę można zasymulować trzykanałowym systemem QS z awariami (poza kolejnością). System jest układem otwartym, jednofazowymi aplikacjami, z absolutnie niezawodnymi kanałami.
Opis stanów:
Wszyscy inspektorzy są bezpłatni;
Jeden inspektor jest zajęty;
Dwóch inspektorów jest zajętych;
Trzej inspektorzy są zajęci.
Wykres stanu systemu przedstawiono na rys. 2.11.
Postać: 2.11.
Na wykresie: - natężenie przepływu samochodów ciężarowych; - intensywność kontroli dokumentów przez jednego kontrolera samochodowego.
Symulacje są przeprowadzane w celu zidentyfikowania części pojazdów, które nie będą testowane.
Decyzja
Poszukiwana część prawdopodobieństwa to prawdopodobieństwo, że wszyscy trzej inspektorzy zostaną zatrudnieni. Ponieważ wykres stanu przedstawia typowy schemat „śmierci i reprodukcji”, znajdziemy go za pomocą zależności (2.2).
Przepustowość tego stanowiska inspektorów ruchu można scharakteryzować za pomocą względna przepustowość:
Przykład 2.6... Grupa trzech oficerów została przydzielona do przyjmowania i przetwarzania raportów od grupy rozpoznawczej w wydziale wywiadu stowarzyszenia. Przewidywana intensywność przepływu raportów to 15 raportów na godzinę. Średni czas przetwarzania jednego raportu przez jednego funkcjonariusza -. Każdy oficer może otrzymywać meldunki z dowolnej grupy rozpoznawczej. Zwolniony funkcjonariusz przetwarza ostatnie z otrzymanych raportów. Przychodzące raporty muszą być przetwarzane z prawdopodobieństwem co najmniej 95%.
Sprawdź, czy przydzielony zespół trzech funkcjonariuszy wystarczy do wykonania przydzielonego zadania.
Decyzja
Grupa funkcjonariuszy działa jako system odmowy składający się z trzech kanałów.
Strumień raportów z intensywnością 
można uznać za najprostszą, gdyż jest to w sumie kilka grup rozpoznawczych. Intensywność obsługi 
... Prawo dystrybucji jest nieznane, ale nie ma to znaczenia, ponieważ wykazano, że w przypadku systemów z awariami może być arbitralne.
Opis stanów i wykres stanu QS będą podobne do tych podanych w przykładzie 2.5.
Ponieważ wykres stanu jest schematem „śmierci i reprodukcji”, istnieją gotowe wyrażenia określające dla niego graniczne prawdopodobieństwa stanów:
Postawa jest nazywana zmniejszona intensywność przepływu aplikacji... Jego fizyczne znaczenie jest następujące: wartość to średnia liczba szkód napływających do QS podczas średniego czasu obsługi jednej reklamacji.
W przykładzie 
.
W rozważanym QS awaria występuje, gdy wszystkie trzy kanały są zajęte, to znaczy. Następnie:
Dlatego prawdopodobieństwo niepowodzenia przy przetwarzaniu zgłoszeń przekracza 34% (), konieczne jest zwiększenie liczebności grupy. Podwojmy skład grupy, to znaczy CMO będzie miał teraz sześć kanałów i obliczymy:
Zatem tylko grupa sześciu funkcjonariuszy będzie w stanie przetworzyć napływające raporty z 95% prawdopodobieństwem.
2.5.2. Wielokanałowy CMO z czekaniem
Przykład 2.7... Na odcinku przeprawy przez rzekę znajduje się 15 przejść tego samego typu. Przepływ sprzętu docierającego na przejście wynosi średnio 1 jednostkę / min, średni czas przejazdu jednej jednostki wyposażenia to 10 minut (z uwzględnieniem powrotu środka przejazdu).
Oceń główne cechy charakterystyczne przejazdu, w tym prawdopodobieństwo natychmiastowego przekroczenia natychmiast po przybyciu pojazdu.
Decyzja
Bezwzględna przepustowość czyli wszystko, co zbliża się do promu, jest prawie natychmiast przewożone.
Średnia liczba działających skrzyżowań:
Wykorzystanie promów i stawki za przestoje:
Opracowano również program do rozwiązania tego przykładu. Przedziały czasowe przybycia sprzętu na przejście, czas przeprawy należy rozłożyć zgodnie z prawem wykładniczym.
Wskaźniki wykorzystania promu po 50 kursach są praktycznie takie same: 
.
Maksymalna długość kolejki to 15 jednostek, średni czas spędzony w kolejce to około 10 minut.
W działalności komercyjnej CMO z oczekiwaniem (kolejką) są bardziej powszechne.
Rozważmy prosty jednokanałowy QS z ograniczoną kolejką, w którym liczba miejsc w kolejce m jest wartością stałą. W konsekwencji reklamacja, która dotarła w momencie, gdy wszystkie miejsca w kolejce są zajęte, nie jest przyjmowana do obsługi, nie wchodzi do kolejki i opuszcza system.
Wykres tego QS pokazano na ryc. 3.4 i pokrywa się z wykresem na ryc. 2.1 opisujący proces „narodziny - śmierć”, z tą różnicą, że występuje tylko jeden kanał.
Na oznaczonym wykresie procesu „narodziny - śmierć” usługi, wszystkie intensywności przepływów usług są równe
Stany QS można przedstawić następująco:
S0 - kanał obsługi jest bezpłatny,
S, - kanał serwisowy jest zajęty, ale nie ma kolejki,
S2 - kanał obsługi zajęty, w kolejce jest jeden klient,
S3 - kanał serwisowy jest zajęty, w kolejce są dwa zapytania,
Sm + 1 - kanał serwisowy jest zajęty, wszystkie m miejsc w kolejce są zajęte, każdy kolejny klient jest odrzucany.
Aby opisać losowy proces QS, możesz skorzystać z reguł i wzorów przedstawionych wcześniej. Napiszmy wyrażenia określające graniczne prawdopodobieństwa stanów:
W tym przypadku wyrażenie na p0 można napisać prościej, wykorzystując fakt, że mianownik zawiera postęp geometryczny względem p, a następnie po odpowiednich przekształceniach otrzymujemy:
c \u003d (1- s)
Ta formuła jest ważna dla wszystkich p różnych od 1, ale jeśli p \u003d 1, to p0 \u003d 1 / (m + 2), a wszystkie inne prawdopodobieństwa są również równe 1 / (m + 2).
Jeśli przyjmiemy m \u003d 0, to przechodzimy od rozważania jednokanałowego QS z oczekiwaniem do już rozważanego jednokanałowego QS z odmową usługi.
Rzeczywiście, wyrażenie na prawdopodobieństwo graniczne p0 w przypadku m \u003d 0 ma postać:
po \u003d m / (l + m)
A w przypadku l \u003d m ma wartość p0 \u003d 1/2.
Zdefiniujmy główne cechy jednokanałowego systemu kolejkowego z oczekiwaniem: przepustowość względną i bezwzględną, prawdopodobieństwo niepowodzenia, a także średnią długość kolejki i średni czas oczekiwania na aplikację w kolejce.
Żądanie jest odrzucane, jeśli nadejdzie w momencie, gdy QS jest już w stanie Sm + 1, a zatem wszystkie miejsca w kolejce tak są zajęte i jeden kanał obsługuje
Dlatego prawdopodobieństwo awarii jest określane przez prawdopodobieństwo wystąpienia
Stany Sm + 1:
Potk \u003d pm + 1 \u003d сm + 1 * p0
Względna przepustowość lub ułamek obsługiwanych roszczeń przychodzących na jednostkę czasu jest określana przez wyrażenie
Q \u003d 1- potk \u003d 1- сm + 1 * p0
bezwzględna szerokość pasma to:
O średniej liczbie żądań L stojących w kolejce do obsługi decyduje matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej k - liczba żądań w kolejce
zmienna losowa k przyjmuje tylko następujące wartości całkowite:
- 1 - w kolejce jest jedna aplikacja,
- 2 - w kolejce są dwie aplikacje,
t-w kolejce wszystkie miejsca są zajęte
Prawdopodobieństwa tych wartości są określane przez odpowiednie prawdopodobieństwa stanów, począwszy od stanu S2. Prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej k jest przedstawione w następujący sposób:
Tabela 1. Prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej
Oczekiwanie matematyczne tej zmiennej losowej jest następujące:
Loch \u003d 1 * p2 + 2 * p3 + ... + m * pm + 1
W ogólnym przypadku, dla p ≥ 1, sumę tę można przekształcić za pomocą modeli postępu geometrycznego do wygodniejszej postaci:
Lp \u003d p2 * 13:00 * (m-m * p + 1)* p0
W szczególnym przypadku dla p \u003d 1, gdy wszystkie prawdopodobieństwa pk są równe, można użyć wyrażenia na sumę wyrazów szeregu liczbowego
1 + 2 + 3 + m \u003d m (m + 1)
Następnie otrzymujemy wzór
L "och \u003d m (m + 1)* p0 \u003d m (m + 1)(p \u003d 1).
Stosując podobne rozumowanie i przekształcenia możemy pokazać, że średni czas oczekiwania na obsługę reklamacji w kolejce wyznaczają formuły Little
Pt \u003d Lp / A (przy p? 1) i T1p \u003d L "pt / A (przy p \u003d 1).
Taki wynik, gdy okaże się, że Pt ~ 1 / l, może wydawać się dziwny: wraz ze wzrostem natężenia przepływu żądań wydaje się, że długość kolejki powinna się zwiększyć, a średni czas oczekiwania maleje. Należy jednak pamiętać, że po pierwsze wartość Loc jest funkcją l i m, a po drugie, rozpatrywany QS ma ograniczoną długość kolejki nie większą niż m żądań.
Wniosek odebrany przez QS w czasie, gdy wszystkie kanały są zajęte, otrzymuje odmowę, w związku z czym czas jej „oczekiwania” w QS wynosi zero. Prowadzi to w ogólnym przypadku (przy p ≥ 1) do spadku Tochrostomu l, ponieważ udział takich żądań rośnie wraz ze wzrostem l.
Jeśli zrezygnujemy z ograniczenia długości kolejki, tj. tend m - \u003e\u003e ?, to przypadki str< 1 и р?1 начинают существенно различаться. Записанные выше формулы для вероятностей состояний преобразуются в случае р < 1 к виду
Gdy k jest wystarczająco duże, prawdopodobieństwo pk dąży do zera. Dlatego przepustowość względna będzie wynosić Q \u003d 1, a przepustowość bezwzględna będzie równa A - l Q - l, dlatego wszystkie żądania przychodzące są obsługiwane, a średnia długość kolejki będzie równa:
Lp \u003d p21-p
oraz średni czas oczekiwania według formuły Little
Punkt \u003d Loch / A
W limicie p<< 1 получаем Точ = с / м т.е. среднее время ожидания быстро уменьшается с увеличением интенсивности потока обслуживания. В противном случае при р? 1 оказывается, что в СМО отсутствует установившийся режим. Обслуживание не успевает за потоком заявок, и очередь неограниченно растет со временем (при t > ?). Dlatego nie można wyznaczyć granicznych prawdopodobieństw stanów: dla Q \u003d 1 są one równe zero. W rzeczywistości WOR nie spełnia swoich funkcji, ponieważ nie jest w stanie obsłużyć wszystkich napływających wniosków.
Łatwo jest określić, że udział obsługiwanych aplikacji i bezwzględna przepustowość to odpowiednio średnio s i m, ale nieograniczony wzrost kolejki, a co za tym idzie czasu oczekiwania w niej, prowadzi do tego, że po chwili aplikacje zaczynają się gromadzić w kolejce przez nieskończenie długi czas.
Jedną z charakterystyk QS jest średni czas Tcmo pobytu roszczenia w QS, który obejmuje średni czas spędzony w kolejce i średni czas obsługi. Ta wartość jest obliczana za pomocą formuł Little'a: jeśli długość kolejki jest ograniczona, średnia liczba aplikacji w kolejce wynosi:
Lсmo \u003d m + 1;2
Tsmo \u003d Lсmo;dla p? 1
A następnie średni czas spędzony przez reklamację w systemie kolejkowym (zarówno w kolejce, jak iw trakcie obsługi) to:
Tsmo \u003d m + 1przy p? 1 2m
Rozważmy najprostszy system kolejkowy z oczekiwaniem - system jednokanałowy, który otrzymuje strumień żądań z intensywnością; intensywność usługi (tj. średnio, stale zajęty kanał będzie wystawiał obsługiwane żądania na jednostkę (czas). Zgłoszenie przychodzące w momencie, gdy kanał jest zajęty, wchodzi do kolejki i czeka na usługę.
System z ograniczoną długością kolejki. Najpierw załóżmy, że liczba miejsc w kolejce jest ograniczona liczbą, tj. Jeśli klient przyjedzie w momencie, gdy w kolejce są już aplikacje, pozostawia system niezarejestrowany. Ponadto, dążąc do nieskończoności, uzyskujemy cechy jednokanałowego QS bez ograniczeń dotyczących długości kolejki.
Stany QS ponumerujemy według liczby zgłoszeń w systemie (zarówno obsłużonych, jak i oczekujących):
Kanał jest bezpłatny;
Kanał jest zajęty, nie ma kolejki;
Kanał jest zajęty, jedna aplikacja jest w kolejce;
Kanał jest zajęty, aplikacje są w kolejce;
Kanał jest zajęty, mnóstwo aplikacji czeka w kolejce.
GSP pokazano na ryc. 5.8. Wszystkie intensywności strumieni zdarzeń, które przenoszą się do systemu wzdłuż strzałek od lewej do prawej, są równe, a od prawej do lewej -. Rzeczywiście, wzdłuż strzałek od lewej do prawej system przenosi przepływ klientów (gdy tylko klient przybywa, system przechodzi do następnego stanu), a od prawej do lewej przepływ „zwolnień” zajętego kanału, który zmienia swoją intensywność (gdy tylko zostanie obsłużony kolejny klient, kanał będzie wolny lub zmniejszy się liczba wniosków w kolejce).
Postać: 5.8. Jednokanałowy CMO z czekaniem
Pokazano na rys. 5.8 Schemat to reprodukcja i śmierć. Korzystając z rozwiązania ogólnego (5.32) - (5.34), piszemy wyrażenia określające graniczne prawdopodobieństwa stanów (patrz także (5.40)):
lub używając:
Ostatni wiersz w (5.45) zawiera postęp geometryczny z pierwszym członem 1 i mianownikiem p; skąd otrzymujemy:
w związku z tym ograniczenia prawdopodobieństwa przybierają postać:
Wyrażenie (5,46) jest ważne tylko wtedy, gdy (gdy podaje niepewność formy). Suma postępu geometrycznego z mianownikiem wynosi iw tym przypadku
Określmy cechy QS: prawdopodobieństwo odmowy, przepustowość względną, przepustowość bezwzględną, średnią długość kolejki, średnią liczbę aplikacji związanych z systemem, średni czas oczekiwania w kolejce, średni czas spędzony przez aplikację w QS
Prawdopodobieństwo niepowodzenia. Oczywiście wniosek jest odrzucany tylko wtedy, gdy kanał jest zajęty, a wszystkie m miejsca w kolejce to również:
Względna przepustowość:
Bezwzględna przepustowość:
Średnia długość kolejki. Wyznaczmy średnią liczbę wniosków w kolejce jako matematyczne oczekiwanie dyskretnej zmiennej losowej - liczby wniosków w kolejce:
Z prawdopodobieństwem w kolejce jest jedna aplikacja, z prawdopodobieństwem - dwie aplikacje, ogólnie w kolejce są aplikacje itp.
Ponieważ sumę w (5,50) można interpretować jako pochodną w odniesieniu do sumy postępu geometrycznego:
Podstawiając to wyrażenie do (5.50) i używając z (5.47), ostatecznie otrzymujemy:
Średnia liczba zleceń w systemie. Następnie otrzymujemy wzór na średnią liczbę żądań skojarzonych z systemem (zarówno w kolejce, jak i obsługiwanych). Ponieważ gdzie jest średnia liczba obsługiwanych szkód i jest znana, pozostaje do ustalenia Ponieważ jest tylko jeden kanał, liczba obsługiwanych roszczeń może być równa (z prawdopodobieństwem) lub 1 (z prawdopodobieństwem), skąd:
a średnia liczba aplikacji związanych z systemem jakości wynosi
Średni czas oczekiwania na zapytanie w kolejce. Wyznaczmy to; jeśli klient w pewnym momencie dotrze do systemu, to z prawdopodobieństwem kanał obsługi nie będzie zajęty i nie będzie musiał stać w kolejce (czas oczekiwania wynosi zero). Najprawdopodobniej przyjdzie do systemu w trakcie obsługi jakiegoś żądania, ale nie będzie przed nim kolejki, a żądanie będzie czekało na rozpoczęcie obsługi przez pewien czas (średni czas obsługi jednego żądania). Z prawdopodobieństwem w kolejce przed rozpatrywanym zgłoszeniem pojawi się kolejny, a średni czas oczekiwania będzie równy itp.
Jeśli np. Gdy nowo przybyły klient stwierdzi, że kanał obsługi jest zajęty, a klienci są w kolejce (prawdopodobieństwo tego), to w takim przypadku klient nie jest w kolejce (i nie jest obsługiwany), więc czas oczekiwania wynosi zero. Średni czas oczekiwania wyniesie:
jeśli podstawimy tutaj wyrażenia na prawdopodobieństwa (5.47), otrzymamy:
Tutaj użyliśmy relacji (5,50), (5,51) (pochodna postępu geometrycznego), a także z (5,47). Porównując to wyrażenie z (5,51), zauważamy, że innymi słowy średni czas oczekiwania jest równy średniej liczbie klientów w kolejce podzielonej przez intensywność przepływu wniosków.
Średni czas spędzony przez żądanie w systemie. Oznaczmy oczekiwanie zmiennej losowej jako czas spędzony przez zapytanie w QS, będący sumą średniego czasu oczekiwania w kolejce i średniego czasu obsługi. Oczywiście jeśli obciążenie systemu wynosi 100%, inaczej
Przykład 5.6. Stacja paliw (AZS) to SMO z jednym kanałem obsługi (jedna kolumna).
Na terenie stacji można jednocześnie ustawić nie więcej niż trzy samochody w kolejce do tankowania. Jeśli w kolejce są już trzy samochody, następny samochód przyjeżdżający na stację nie wpada do kolejki. Przepływ samochodów przyjeżdżających do tankowania ma intensywność (liczba maszyn na minutę). Proces napełniania trwa średnio 1,25 minuty.
Definiować:
prawdopodobieństwo niepowodzenia;
względna i bezwzględna przepustowość stacji benzynowej;
średnia liczba samochodów czekających na zatankowanie;
średnia liczba samochodów na stacji (łącznie z serwisowanymi samochodami);
średni czas oczekiwania na samochód w kolejce;
średni czas spędzony przez samochód na stacji benzynowej (łącznie z serwisem).
innymi słowy, średni czas oczekiwania jest równy średniej liczbie szkód w kolejce podzielonej przez intensywność strumienia szkód.
Najpierw znajdujemy zmniejszoną intensywność przepływu aplikacji:
Według wzorów (5,47):
Prawdopodobieństwo niepowodzenia.
Względna przepustowość CMO
Bezwzględna przepustowość CMO
Samochody na min.
Średnią liczbę samochodów w kolejce znajdujemy według wzoru (5,51)
czyli średnia liczba samochodów czekających w kolejce na tankowanie to 1,56.
Dodając do tej wartości średnią liczbę samochodów w eksploatacji
otrzymujemy średnią liczbę samochodów związanych ze stacją benzynową.
Średni czas oczekiwania na samochód w kolejce według wzoru (5,54)
Dodając do tej wartości otrzymujemy średni czas, jaki samochód spędza na stacji benzynowej:
Nieograniczone systemy oczekiwania... W takich systemach wartość m nie jest ograniczona, dlatego główne cechy można uzyskać, przechodząc do granicy we wcześniej uzyskanych wyrażeniach (5,44), (5,45) itp.
Zauważ, że mianownik w ostatnim wzorze (5.45) jest sumą nieskończonej liczby wyrazów postępu geometrycznego. Suma ta jest zbieżna, gdy progresja jest nieskończenie malejąca, czyli kiedy.
Można udowodnić, że istnieje warunek, w którym w systemie kolejkowym z oczekiwaniem istnieje ograniczający reżim stanu ustalonego, w przeciwnym razie taki reżim nie istnieje, a kolejka będzie rosła w nieskończoność. Dlatego poniżej zakłada się, że.
Jeśli, to relacje (5.47) przyjmują postać:
Jeśli nie ma ograniczeń co do długości kolejki, każde żądanie wchodzące do systemu zostanie obsłużone, dlatego
Średnią liczbę zapytań w kolejce uzyskujemy z (5,51) dla:
Średnia liczba zapytań w systemie według formuły (5,52) o godz
Średni czas oczekiwania uzyskujemy z formuły
(5,53) dla:
Wreszcie średni czas przebywania aplikacji w systemie jakości wynosi
Wielokanałowy CMO z czekaniem
Ograniczony system kolejki... Rozważmy system kolejkowania kanałów z oczekiwaniem, który otrzymuje strumień żądań z intensywnością; intensywność usług (dla jednego kanału); liczba miejsc w kolejce.
Stany systemu są numerowane zgodnie z liczbą żądań połączonych przez system:
bez kolejki:
Wszystkie kanały są bezpłatne;
Jeden kanał jest zajęty, reszta jest wolna;
Kanały są zajęte, reszta nie;
Wszystkie kanały są zajęte, brak bezpłatnych kanałów;
jest kolejka:
Wszystkie n kanałów jest zajętych; w kolejce jest jedna aplikacja;
Wszystkie n kanałów jest zajętych, r klientów w kolejce;
Wszystkie n kanałów jest zajętych, r klientów w kolejce.
GSP pokazano na ryc. 5.9. Każda strzałka ma odpowiednią intensywność strumieni zdarzeń. Wzdłuż strzałek od lewej do prawej system jest zawsze przenoszony tym samym przepływem żądań z intensywnością, wzdłuż strzałek od prawej do lewej system jest przenoszony do przepływu usług, których intensywność jest mnożona przez liczbę zajętych kanałów.
Postać: 5.9. Wielokanałowy CMO z czekaniem
Wykres jest typowy dla procesów reprodukcji i śmierci, dla których uzyskano rozwiązanie wcześniej (5.29) - (5.33). Napiszmy wyrażenia dla granicznych prawdopodobieństw stanów używając notacji: (tutaj wyrażenie jest używane dla sumy postępu geometrycznego z mianownikiem).
W ten sposób znajdują się wszystkie prawdopodobieństwa stanu.
Zdefiniujmy cechy wydajności systemu.
Prawdopodobieństwo niepowodzenia. Otrzymane zgłoszenie jest odrzucane, jeśli wszystkie kanały i wszystkie miejsca w kolejce są zajęte:
Względna przepustowość uzupełnia prawdopodobieństwo niepowodzenia do jednego:
Bezwzględna przepustowość CMO:
Średnia liczba zajętych kanałów. W przypadku QS z odmową zbiegło się to ze średnią liczbą wniosków w systemie. Dla QS z kolejką średnia liczba zajętych kanałów nie pokrywa się ze średnią liczbą aplikacji w systemie: ostatnia wartość różni się od pierwszej o średnią liczbę aplikacji w kolejce.
Oznaczmy średnią liczbę zajętych kanałów. Każdy zajęty kanał obsługuje średnio roszczenia na jednostkę czasu, a QS jako całość obsługuje średnio roszczenia na jednostkę czasu. Dzieląc jednego przez drugiego, otrzymujemy:
Średnią liczbę żądań w kolejce można obliczyć bezpośrednio jako matematyczne oczekiwanie dyskretnej zmiennej losowej:
Tutaj znowu (wyrażenie w nawiasach) występuje pochodna sumy postępu geometrycznego (patrz wyżej (5.50), (5.51) - (5.53)), używając do tego zależności otrzymujemy:
Średnia liczba aplikacji w systemie:
Średni czas oczekiwania na zapytanie w kolejce. Rozważmy szereg sytuacji różniących się stanem, w jakim nowo przybyła reklamacja znajdzie system i jak długo będzie musiała czekać na obsługę.
Jeśli aplikacja stwierdzi, że nie wszystkie kanały są zajęte, nie będzie musiała w ogóle czekać (odpowiednie terminy w oczekiwaniu matematycznym są równe zero). Jeśli żądanie nadejdzie w czasie, gdy wszystkie kanały są zajęte, ale nie ma kolejki, będzie musiało czekać średni czas równy (ponieważ „przepływ wydań” kanałów ma intensywność). Jeśli aplikacja stwierdzi, że wszystkie kanały są zajęte, a jedna aplikacja znajduje się przed sobą w kolejce, będzie musiała średnio czekać przez pewien czas (na każdą aplikację znajdującą się przed nią) itp. Jeśli aplikacja znajdzie się w kolejce aplikacji, będzie musiała średnio chwilę poczekać ... Jeśli nowo przybyła aplikacja znajdzie się w kolejce aplikacji, to w ogóle nie będzie czekać (ale też nie będzie obsługiwana). Średni czas oczekiwania znajdujemy, mnożąc każdą z tych wartości przez odpowiednie prawdopodobieństwa:
Podobnie jak w przypadku jednokanałowego systemu kolejkowego z oczekiwaniem, zauważamy, że wyrażenie to różni się od wyrażenia na średnią długość kolejki (5,59) tylko o czynnik, tj.
Średni czas przebywania aplikacji w systemie, podobnie jak w przypadku jednokanałowego QS, różni się od średniego czasu oczekiwania o średni czas obsługi pomnożony przez względną przepustowość:
Systemy z nieograniczoną długością kolejki... Rozważaliśmy system kolejkowania kanałów z oczekiwaniem, kiedy w kolejce nie może znajdować się więcej żądań w tym samym czasie.
Podobnie jak poprzednio, analizując systemy bez ograniczeń, należy wziąć pod uwagę zależności otrzymane w.
Prawdopodobieństwa stanów uzyskujemy ze wzorów (5,56), przechodząc do granicy (at). Zauważ, że suma odpowiedniego postępu geometrycznego zbiega się i rozbiega na. Zakładając to i kierując wartość m do nieskończoności we wzorach (5.56), otrzymujemy wyrażenia dla granicznych prawdopodobieństw stanów:
Prawdopodobieństwo awarii, względna i bezwzględna przepustowość. Ponieważ każda aplikacja będzie wcześniej czy później obsługiwana, charakterystyka przepustowości QS będzie następująca:
Średnią liczbę klientów w kolejce otrzymujemy za (5,59):
a średni czas oczekiwania wynosi od (5,60):
Średnia liczba zajętych kanałów, jak poprzednio, jest określana na podstawie bezwzględnej przepustowości:
Średnia liczba aplikacji związanych z QS jest określana jako średnia liczba aplikacji w kolejce powiększona o średnią liczbę obsługiwanych aplikacji (średnia liczba zajętych kanałów):
Przykład 5.7. Stacja benzynowa z dwoma dystrybutorami () obsługuje przepływ samochodów z intensywnością (samochody na minutę). Średni czas obsługi na maszynę
W okolicy nie ma drugiej stacji benzynowej, więc kolejka samochodów przed stacją może rosnąć niemal w nieskończoność. Znajdź cechy CMO.
Ponieważ kolejka nie rośnie w nieskończoność i warto mówić o ograniczającym stacjonarnym trybie pracy QS. Korzystając ze wzorów (5.61), znajdujemy prawdopodobieństwa stanów:
Średnią liczbę zajętych kanałów znajdujemy, dzieląc bezwzględną przepustowość QS przez stawkę usługi:
Prawdopodobieństwo, że nie staniesz w kolejce na stacji benzynowej, będzie wynosić:
Średnia liczba samochodów w kolejce:
Średnia liczba samochodów na stacji benzynowej:
Średni czas oczekiwania w kolejce:
Średni czas spędzony przez samochód na stacji benzynowej:
QS z ograniczonym czasem oczekiwania. Wcześniej rozważaliśmy systemy z oczekiwaniem ograniczonym jedynie długością kolejki (liczbą wniosków jednocześnie w kolejce). W takiej kolejce aplikacja, która raz weszła do kolejki, nie opuszcza jej, dopóki nie zaczeka na obsługę. W praktyce istnieją QS innego typu, w których aplikacja po chwili odczekania może opuścić kolejkę (tzw. Aplikacje „niecierpliwe”).
Rozważmy QS tego typu, zakładając, że limit czasu oczekiwania jest zmienną losową.
Załóżmy, że istnieje kanał QS z oczekiwaniem, w którym liczba miejsc w kolejce nie jest ograniczona, ale czas przebywania aplikacji w kolejce jest jakąś zmienną losową o średniej wartości, a więc dla każdego klienta w kolejce jest to rodzaj przepływu wyjściowego Poissona »Z intensywnością zgłoszeń są w kolejce itp.
Wykres stanów i przejść systemu przedstawiono na rys. 5.10.
Postać: 5.10. QS z ograniczonym czasem oczekiwania
Zaznaczamy ten wykres jak poprzednio; wszystkie strzałki prowadzące od lewej do prawej będą miały intensywność przepływu aplikacji. W przypadku stanów niesprawnych strzałki prowadzące od nich od prawej do lewej będą, tak jak poprzednio, miały całkowite natężenie przepływu do obsługi wszystkich zajętych kanałów. Jeśli chodzi o stany z kolejką, strzałki prowadzące od nich od prawej do lewej będą miały łączne natężenie przepływu obsługi wszystkich kanałów plus odpowiednie natężenie przepływu przy opuszczaniu kolejki. Jeśli w kolejce znajdują się aplikacje, całkowita intensywność przepływu wyjściowego będzie równa.
Jak widać na wykresie, istnieje wzór reprodukcji i śmierci; stosując ogólne wyrażenia dla granicznych prawdopodobieństw stanów w tym schemacie (używając notacji skróconej) piszemy:
Zwróćmy uwagę na niektóre cechy QS z ograniczonym oczekiwaniem w porównaniu z wcześniej rozważanym QS z żądaniami „pacjentów”.
Jeśli długość kolejki nie jest ograniczona, a klienci są „cierpliwi” (nie wychodźcie z kolejki), wówczas stacjonarny reżim ograniczający istnieje tylko w przypadku (ponieważ odpowiedni nieskończony postęp geometryczny rozbiega się, co fizycznie odpowiada nieograniczonemu wzrostowi kolejki).
Wręcz przeciwnie, w QS z „niecierpliwymi” klientami wychodzącymi z kolejki wcześniej czy później ustalony tryb obsługi jest zawsze osiągany, niezależnie od zmniejszonego natężenia przepływu klientów, bez sumowania nieskończonego szeregu (5,63). Z (5,64) otrzymujemy:
a średnią liczbę zajętych kanałów ujętych w tym wzorze można znaleźć jako matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej przyjmującej wartości z prawdopodobieństwami:
Podsumowując, zauważamy, że jeśli we wzorach (5.62) przejdziemy do granicy w (lub, co jest tym samym, w), to we wzorach (5.61) otrzymamy wynik, czyli „niecierpliwe” prośby staną się „cierpliwe”.
Rozważmy wielokanałowy system QS, do którego wejścia dociera strumień roszczeń Poissona z intensywnością, a intensywność usług każdego kanału wynosi, maksymalna możliwa liczba miejsc w kolejce jest ograniczona przez m. Dyskretne stany QS są określane przez liczbę wniosków otrzymanych w systemie, które można zarejestrować.
Wszystkie kanały są bezpłatne;
Tylko jeden kanał jest zajęty (dowolny) ,;
- - tylko dwa kanały są zajęte (dowolne) ,;
- - wszystkie kanały są zajęte.
Kiedy QS znajduje się w którymkolwiek z tych stanów, nie ma kolejki. Po zajętości wszystkich kanałów serwisowych kolejne zapytania tworzą kolejkę, określając tym samym dalszy stan systemu:
Wszystkie kanały są zajęte i jedno żądanie jest w kolejce,
Wszystkie kanały są zajęte, a dwa żądania są w kolejce,
Wszystkie kanały i wszystkie miejsca w kolejce są zajęte,
Przejście QS do stanu z dużymi liczbami jest określane przez przepływ przychodzących oświadczeń z intensywnością, podczas gdy, pod warunkiem, obsługa tych zastrzeżeń obejmuje te same kanały o tym samym natężeniu przepływu usługi dla każdego kanału. W tym przypadku całkowita intensywność przepływu usługi wzrasta wraz z podłączaniem nowych kanałów do takiego stanu, w którym wszystkie n kanałów są zajęte. Wraz z pojawieniem się kolejki intensywność usługi rośnie bardziej, ponieważ osiągnęła już swoją maksymalną wartość równą.
Napiszmy wyrażenia na graniczne prawdopodobieństwa stanów:
Wyrażenie for można przekształcić za pomocą wykładniczego wzoru na sumę wyrazów z mianownikiem:
Utworzenie kolejki jest możliwe, gdy nowo przybyła aplikacja znajdzie w systemie nie mniej niż wymagania, tj. gdy są wymagania w systemie.
Te zdarzenia są niezależne, więc prawdopodobieństwo, że wszystkie kanały są zajęte, jest sumą odpowiadających im prawdopodobieństw
Dlatego prawdopodobieństwo kolejkowania wynosi:
Prawdopodobieństwo odmowy usługi występuje, gdy wszystkie kanały i wszystkie miejsca w kolejce są zajęte:
Względna przepustowość będzie wynosić:
Bezwzględna przepustowość -
Średnia liczba zajętych kanałów -
Średnia liczba nieaktywnych kanałów -
Wskaźnik zajętości (wykorzystania) kanałów -
Współczynnik przestojów kanału -
Średnia liczba wniosków w kolejkach -
Jeśli ta formuła przyjmuje inną postać -
Średni czas oczekiwania w kolejce określają formuły Little -
