Zobacz artykuły z ograniczoną kolejką. Systemy kolejkowe z nieograniczoną kolejką

W działalności komercyjne częściej zdarzają się CMO z czekaniem (kolejką).

Rozważmy prosty jednokanałowy QS z ograniczona kolejka, w którym liczba miejsc w kolejce m jest wartością stałą. W konsekwencji reklamacja, która dotarła w momencie, gdy wszystkie miejsca w kolejce są zajęte, nie jest przyjmowana do obsługi, nie wchodzi do kolejki i opuszcza system.

Wykres tego QS pokazano na ryc. 3.4 i pokrywa się z wykresem na ryc. 2.1 opisujący proces „narodziny - śmierć”, z tą różnicą, że występuje tylko jeden kanał.

Na oznaczonym wykresie procesu „narodziny - śmierć” usługi, wszystkie intensywności przepływów usług są równe

Stany QS można przedstawić następująco:

S0 - kanał obsługi jest bezpłatny,

S, - kanał serwisowy jest zajęty, ale nie ma kolejki,

S2 - kanał obsługi zajęty, w kolejce jest jeden klient,

S3 - kanał serwisowy jest zajęty, w kolejce są dwa zapytania,

Sm + 1 - kanał serwisowy jest zajęty, wszystkie m miejsc w kolejce są zajęte, każdy kolejny klient jest odrzucany.

Aby opisać losowy proces QS, możesz skorzystać z reguł i wzorów przedstawionych wcześniej. Napiszmy wyrażenia określające graniczne prawdopodobieństwa stanów:

W tym przypadku wyrażenie na p0 można napisać prościej, korzystając z faktu, że mianownik zawiera postęp geometryczny względem p, a następnie po odpowiednich przekształceniach otrzymujemy:

c \u003d (1- s)

Ta formuła jest ważna dla wszystkich p różnych od 1, ale jeśli p \u003d 1, to p0 \u003d 1 / (m + 2), a wszystkie inne prawdopodobieństwa są również równe 1 / (m + 2).

Jeśli przyjmiemy m \u003d 0, to przechodzimy od rozważania jednokanałowego QS z oczekiwaniem do już rozważanego jednokanałowego QS z odmową usługi.

Rzeczywiście, wyrażenie na prawdopodobieństwo graniczne p0 w przypadku m \u003d 0 ma postać:

po \u003d m / (l + m)

A w przypadku l \u003d m ma wartość p0 \u003d 1/2.

Zdefiniujmy główne cechy jednokanałowego systemu kolejkowego z oczekiwaniem: przepustowość względną i bezwzględną, prawdopodobieństwo niepowodzenia, a także średnią długość kolejki i średni czas oczekiwania na aplikację w kolejce.

Żądanie jest odrzucane, jeśli nadejdzie w momencie, gdy QS jest już w stanie Sm + 1, a zatem wszystkie miejsca w kolejce tak są zajęte i jeden kanał obsługuje

Dlatego prawdopodobieństwo awarii jest określane przez prawdopodobieństwo wystąpienia

Stany Sm + 1:

Potk \u003d pm + 1 \u003d сm + 1 * p0

Względna przepustowość lub odsetek obsługiwanych roszczeń przychodzących na jednostkę czasu jest określana przez wyrażenie

Q \u003d 1- potk \u003d 1- сm + 1 * p0

bezwzględna szerokość pasma to:

O średniej liczbie żądań L stojących w kolejce do obsługi decyduje matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej k - liczba żądań w kolejce

zmienna losowa k przyjmuje tylko następujące wartości całkowite:

• 1 - w kolejce jest jedna aplikacja,
• 2 - w kolejce są dwie aplikacje,

t-w kolejce wszystkie miejsca są zajęte

Prawdopodobieństwa tych wartości są określane przez odpowiednie prawdopodobieństwa stanów, począwszy od stanu S2. Prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej k jest przedstawione w następujący sposób:

Tabela 1. Prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej

Oczekiwanie matematyczne tej zmiennej losowej jest następujące:

Loch \u003d 1 * p2 + 2 * p3 + ... + m * pm + 1

W ogólnym przypadku, dla p ≥ 1, sumę tę można przekształcić za pomocą modeli postępu geometrycznego do wygodniejszej postaci:

Lp \u003d p2 * 13:00 * (m-m * p + 1)* p0

W szczególnym przypadku dla p \u003d 1, gdy wszystkie prawdopodobieństwa pk są równe, można użyć wyrażenia na sumę wyrazów szeregu liczbowego

1 + 2 + 3 + m \u003d m (m + 1)

Następnie otrzymujemy wzór

L "och \u003d m (m + 1)* p0 \u003d m (m + 1)(p \u003d 1).

Stosując podobne rozumowanie i przekształcenia możemy pokazać, że średni czas oczekiwania na obsługę reklamacji w kolejce wyznaczają formuły Little

Pt \u003d Lp / A (przy p? 1) i T1p \u003d L "pt / A (przy p \u003d 1).

Taki wynik, gdy okaże się, że Pt ~ 1 / l, może wydawać się dziwny: wraz ze wzrostem intensywności przepływu wniosków to tak, jakby długość kolejki się wydłużała, a średni czas oczekiwania maleje. Należy jednak pamiętać, że po pierwsze wartość Loc jest funkcją l i m, a po drugie, rozpatrywany QS ma ograniczoną długość kolejki nie większą niż m żądań.

Aplikacja odebrana przez QS w czasie, gdy wszystkie kanały są zajęte, otrzymuje odmowę, w związku z czym czas jej „oczekiwania” w QS jest równy zeru. Prowadzi to w ogólnym przypadku (przy p ≥ 1) do spadku Tochrostomu l, ponieważ udział takich żądań rośnie wraz ze wzrostem l.

Jeśli zrezygnujemy z ograniczenia długości kolejki, tj. tend m - \u003e\u003e ?, to przypadki str< 1 и р?1 начинают существенно различаться. Записанные выше формулы для вероятностей состояний преобразуются в случае р < 1 к виду

Gdy k jest wystarczająco duże, prawdopodobieństwo pk dąży do zera. Dlatego przepustowość względna będzie wynosić Q \u003d 1, a przepustowość bezwzględna będzie równa A - l Q - l, w związku z czym wszystkie żądania przychodzące są obsługiwane, a średnia długość kolejki będzie równa:

Lp \u003d p21-p

oraz średni czas oczekiwania według formuły Little

Punkt \u003d Loch / A

W limicie p<< 1 получаем Точ = с / м т.е. среднее время ожидания быстро уменьшается с увеличением интенсивности потока обслуживания. В противном случае при р? 1 оказывается, что в СМО отсутствует установившийся режим. Обслуживание не успевает за потоком заявок, и очередь неограниченно растет со временем (при t > ?). Nie można zatem wyznaczyć granicznych prawdopodobieństw stanów: dla Q \u003d 1 są one równe zeru. W rzeczywistości WOR nie spełnia swoich funkcji, ponieważ nie jest w stanie obsłużyć wszystkich napływających wniosków.

Łatwo jest określić, że udział obsługiwanych aplikacji i bezwzględna przepustowość to odpowiednio średnio s i m, jednak nieograniczone wydłużanie się kolejki, a co za tym idzie, czas oczekiwania w niej, prowadzi do tego, że po pewnym czasie aplikacje zaczynają gromadzić się w kolejce przez nieograniczony czas.

Jedną z charakterystyk QS jest średni czas Tcmo żądania przebywania w QS, który obejmuje średni czas spędzony w kolejce i średni czas obsługi. Wartość ta jest obliczana według formuł Little'a: jeśli długość kolejki jest ograniczona, średnia liczba wniosków w kolejce wynosi:

Lсmo \u003d m + 1;2

Tsmo \u003d Lсmo;dla p? 1

A następnie średni czas przebywania aplikacji w systemie kolejka (zarówno w kolejce, jak i w serwisie) wynosi:

Tsmo \u003d m + 1przy p? 1 2m

działanie lub wydajność systemu kolejkowania są następujące.

Dla Dyrektor ds. Marketingu z odrzuceniami:

Dla CMO z nieograniczonym czekaniem zarówno bezwzględna, jak i względna przepustowość tracą znaczenie, ponieważ każda przychodząca reklamacja zostanie wcześniej czy później doręczona. W przypadku takiego QS ważnymi wskaźnikami są:

Dla Typ mieszany używane są obie grupy wskaźników: jako względne i bezwzględna przepustowośći cechy oczekiwania.

W zależności od celu operacji kolejkowania jako kryterium wydajności można wybrać dowolny z powyższych wskaźników (lub zestaw wskaźników).

Model analityczny QS to zestaw równań lub formuł, które pozwalają określić prawdopodobieństwa stanów systemu w trakcie jego działania oraz obliczyć wskaźniki wydajności na podstawie znanych charakterystyk kanałów przepływu i usług.

Nie ma ogólnego modelu analitycznego dla dowolnego QS... Opracowano modele analityczne dla ograniczonej liczby specjalnych przypadków QS. Modele analityczne, które mniej lub bardziej dokładnie odzwierciedlają rzeczywiste systemysą zwykle złożone i trudne do zauważenia.

Modelowanie analityczne QS jest znacznie ułatwione, jeśli procesy zachodzące w QS są Markovem (przepływy aplikacji są najprostsze, czasy obsługi rozkładają się wykładniczo). W tym przypadku wszystkie procesy w QS można opisać zwykłymi równaniami różniczkowymi, aw przypadku granicznym dla stanów stacjonarnych - liniowymi równaniami algebraicznymi i po ich rozwiązaniu wyznaczyć wybrane wskaźniki wykonania.

Rozważmy przykłady niektórych QS.

2.5.1. Wielokanałowy system QS z awariami

Przykład 2.5... Trzech inspektorów ruchu sprawdza listy przewozowe kierowców samochody ciężarowe... Jeśli przynajmniej jeden inspektor jest wolny, przejeżdżająca ciężarówka zostaje zatrzymana. Jeśli wszyscy inspektorzy są zajęci, ciężarówka jedzie bez zatrzymywania się. Przepływ ciężarówek jest najprostszy, czas sprawdzania jest losowy z rozkładem wykładniczym.

Sytuację tę można zasymulować za pomocą trzykanałowego QS z awariami (poza kolejnością). System jest układem otwartym, jednofazowymi aplikacjami, z absolutnie niezawodnymi kanałami.

Opis stanów:

Wszyscy inspektorzy są bezpłatni;

Jeden inspektor jest zajęty;

Dwóch inspektorów jest zajętych;

Trzej inspektorzy są zajęci.

Wykres stanu systemu przedstawiono na rys. 2.11.

Postać: 2.11.

Na wykresie: - natężenie przepływu samochodów ciężarowych; - intensywność kontroli dokumentów przez jednego kontrolera samochodowego.

Symulacje są przeprowadzane w celu zidentyfikowania części pojazdów, które nie będą testowane.

Decyzja

Poszukiwana część prawdopodobieństwa to prawdopodobieństwo zatrudnienia wszystkich trzech inspektorów. Ponieważ wykres stanu przedstawia typowy schemat „śmierci i reprodukcji”, znajdziemy go za pomocą zależności (2.2).

Przepustowość tego stanowiska inspektorów ruchu można scharakteryzować za pomocą względna przepustowość:

Przykład 2.6... Grupa trzech oficerów została przydzielona do przyjmowania i przetwarzania raportów od grupy rozpoznawczej w wydziale wywiadu stowarzyszenia. Przewidywana intensywność przepływu raportów to 15 raportów na godzinę. Średni czas przetwarzania jednego raportu przez jednego funkcjonariusza -. Każdy oficer może otrzymywać meldunki z dowolnej grupy rozpoznawczej. Zwolniony funkcjonariusz przetwarza ostatnie z otrzymanych raportów. Przychodzące raporty muszą być przetwarzane z prawdopodobieństwem co najmniej 95%.

Sprawdź, czy przydzielony zespół trzech funkcjonariuszy wystarczy do wykonania przydzielonego zadania.

Decyzja

Grupa funkcjonariuszy działa jako system odmowy składający się z trzech kanałów.

Strumień raportów z intensywnością można uznać za najprostszą, gdyż jest to w sumie kilka grup rozpoznawczych. Intensywność obsługi ... Prawo dystrybucji jest nieznane, ale nie ma to znaczenia, ponieważ wykazano, że w przypadku systemów z awariami może być arbitralne.

Opis stanów i wykres stanu QS będą podobne do tych podanych w przykładzie 2.5.

Ponieważ wykres stanu jest schematem „śmierci i reprodukcji”, istnieją dla niego gotowe wyrażenia dla prawdopodobieństw stanu granicznego:

Postawa jest nazywana zmniejszona intensywność przepływu aplikacji... Jego fizyczne znaczenie jest następujące: wartość to średnia liczba szkód napływających do QS podczas średniego czasu obsługi jednej reklamacji.

W przykładzie .

W rozważanym QS awaria występuje, gdy wszystkie trzy kanały są zajęte, to znaczy. Następnie:

Tak jak prawdopodobieństwo niepowodzenia przy przetwarzaniu zgłoszeń jest ponad 34% (), konieczne jest zwiększenie liczebności grupy. Podwojmy skład grupy, to znaczy CMO będzie miał teraz sześć kanałów i obliczymy:

Zatem tylko grupa sześciu funkcjonariuszy będzie w stanie przetwarzać przychodzące raporty z 95% prawdopodobieństwem.

2.5.2. Wielokanałowy CMO z czekaniem

Przykład 2.7... Na odcinku przeprawy przez rzekę znajduje się 15 przejść tego samego typu. Przepływ pojazdów przyjeżdżających na przeprawę wynosi średnio 1 jednostkę / min, średni czas przejazdu jednej jednostki wyposażenia to 10 minut (z uwzględnieniem zwrotu promu).

Oceń główne cechy charakterystyczne przejazdu, w tym prawdopodobieństwo natychmiastowego przekroczenia natychmiast po przyjeździe pojazdu.

Decyzja

Bezwzględna przepustowość czyli wszystko, co zbliża się do promu, jest prawie natychmiast przewożone.

Średnia liczba działających skrzyżowań:

Wykorzystanie promów i stawki za przestoje:

Opracowano również program do rozwiązania tego przykładu. Przedziały czasowe przybycia sprzętu na przejście, czas przeprawy należy rozłożyć zgodnie z prawem wykładniczym.

Wskaźniki wykorzystania promu po 50 kursach są praktycznie takie same: .

Maksymalna długość kolejki to 15 jednostek, średni czas w kolejce to około 10 minut.

Rozważ wielokanałowy system QS (Str \u003e 1), na wejście którego dociera strumień roszczeń Poissona z szybkością i szybkością obsługi każdego kanału wynosi p, maksymalna możliwa liczba miejsc w kolejce jest ograniczona wartością t. O stanach dyskretnych QS decyduje liczba wniosków otrzymanych w systemie, które można zapisać:

Sq - wszystkie kanały są bezpłatne, k = 0;

S - tylko jeden kanał jest zajęty (dowolny), k = 1;

* 5 * 2 - zajęte tylko dwa kanały (dowolne), k = 2;

S n - wszyscy są zajęci p. kanały, k \u003d p.

Kiedy QS znajduje się w którymkolwiek z tych stanów, nie ma kolejki. Po zajętości wszystkich kanałów serwisowych kolejne zapytania tworzą kolejkę, określając tym samym dalszy stan systemu:

S n + - wszyscy są zajęci p. kanały i jedna aplikacja jest w kolejce, k = p. + 1;

S n +2 - wszyscy są zajęci p. kanały i dwie aplikacje są w kolejce, k = p. + 2;

S n + m - wszyscy są zajęci p. liny i wszystko t miejsca w kolejce, k \u003d n + m.

Wykres stanu I kanału CMOod kolejka,ograniczony t w niektórych miejscach pokazano na ryc. 5.18.

Przejście QS do stanu o dużej liczbie jest zdeterminowane przepływem żądań przychodzących z intensywnością

Postać: 5.18

podczas gdy warunkowo te aplikacje są obsługiwane przez p. identyczne kanały o natężeniu przepływu usługi równym p dla każdego kanału. W tym przypadku całkowita intensywność przepływu usługi wzrasta wraz z podłączaniem nowych kanałów do takiego stanu S n, gdy wszystko p. kanały będą zajęte. Wraz z pojawieniem się kolejki intensywność usługi już nie wzrasta, ponieważ osiągnęła już maksymalną wartość równą nx.

Napiszmy wyrażenia określające graniczne prawdopodobieństwa stanów

Wyrażenie na po można przekształcić za pomocą wykładniczego wzoru na sumę wyrazów z mianownikiem p / P:

Utworzenie kolejki jest możliwe, gdy w systemie znajdzie się przynajmniej nowo otrzymana aplikacja p. wymagania, tj. kiedy system będzie zawierał n, n + 1, p. + 2, (Str + t - 1) wymagania. Zdarzenia te są niezależne, więc prawdopodobieństwo, że wszystkie kanały są zajęte, jest sumą odpowiadających im prawdopodobieństw p u Rn + lRn +2 \u003e -\u003e Pn + t-1 - Dlatego prawdopodobieństwo kolejkowania wynosi

Prawdopodobieństwo odmowy usługi występuje, gdy wszystko p. kanały i wszystko t miejsca w kolejce są zajęte

Względna przepustowość będzie wynosić

Bezwzględna przepustowość

Średnie zajęte kanały

Średnia liczba nieaktywnych kanałów

Współczynnik zajętości (wykorzystania) kanałów

Współczynnik przestojów kanału

Średnia liczba aplikacji w kolejce

gdyby p / n \u003d 1, ta formuła przyjmuje inną postać:

Średni czas oczekiwania w kolejce określają formuły Little

Średni czas przebywania aplikacji w QS, podobnie jak w przypadku jednokanałowego QS, jest większy od średniego czasu oczekiwania w kolejce o średni czas obsługi równy 1 / p, ponieważ aplikacja jest zawsze obsługiwana tylko przez jeden kanał:

Przykład 5.21. Minimarket przyjmuje napływ klientów o intensywności sześciu klientów na minutę, obsługiwanych przez trzech kasjerów z intensywnością dwóch klientów na minutę. Długość linii jest ograniczona do pięciu klientów. Określić cechy WOR i ocenić jej pracę.

Decyzja

n \u003d 3; t = 5; X \u003d 6; p \u003d 2; p \u003dX / x \u003d 3; p / n \u003d 1.

Znajdujemy graniczne prawdopodobieństwa stanów QS:

Procent przestojów kontrolerów-kasjerów

Prawdopodobieństwo, że tylko jeden kanał jest zajęty obsługą,

Prawdopodobieństwo, że dwa kanały są zajęte obsługą,

Prawdopodobieństwo, że wszystkie trzy kanały są zajęte

Prawdopodobieństwo zajętości wszystkich trzech kanałów i pięciu miejsc w kolejce,

Prawdopodobieństwo odmowy usługi występuje, gdy k \u003d m + n \u003d \u003d 5 + 3 \u003d 8 i jest p $ \u003d p OTK = 0,127.

Względna i bezwzględna przepustowość systemu QS są odpowiednio równe Q = 1 - r otwarty \u003d 0,873 i L \u003d 0,873A. \u003d 5,24 (klient / min).

Średnia liczba zajętych kanałów i średnia długość kolejki to:

Średni czas oczekiwania w kolejce i przebywania w HMO wynosi odpowiednio:

System obsługi minimarketu zasługuje na wysokie oceny, gdyż średnia długość kolejki i średni czas przebywania klienta w kolejce są niewielkie.

Przykład 5.22. Średnio w ciągu 30 minut do bazy owocowo-warzywnej podjeżdżają samochody z produktami owocowo-warzywnymi. Średni czas rozładunku jednej maszyny to 1,5 h. Rozładunek realizują dwie ekipy ładowaczy. Na terenie bazy na lądowisku nie więcej niż cztery pojazdy mogą stać w kolejce w oczekiwaniu na rozładunek. Określimy wskaźniki i dokonamy oceny pracy WOR.

Decyzja

Dwukanałowy SMO, p. \u003d 2 z ograniczoną liczbą miejsc w kolejce m \u003d 4, intensywność dopływu l. \u003d 2 auto / h, intensywność pracy c \u003d 2/3 auto / h, intensywność obciążenia p \u003d A. / p \u003d 3, p / n \u003d 3/2 = 1,5.

Określamy cechy CMO:

Prawdopodobieństwo, że wszystkie brygady nie zostaną załadowane, gdy nie ma samochodów,

Prawdopodobieństwo niepowodzenia przy rozładunku dwóch samochodów i czterech w kolejce,

Średnia liczba samochodów w kolejce

Udział przestojów ładowarek jest bardzo mały i wynosi zaledwie 1,58% czasu pracy, a prawdopodobieństwo odmowy jest wysokie - 36% otrzymanych wniosków jest odmawianych rozładunku, oba zespoły są prawie w całości zajęte, wskaźnik zatrudnienia bliski jeden i wynosi 0,96, względne przepustowość jest niewielka - obsłużonych zostanie tylko 64% otrzymanych zgłoszeń, średnia długość kolejki to 2,6 auta, dlatego SM O ns radzi sobie z realizacją zgłoszeń serwisowych i konieczne jest zwiększenie liczby załóg ładowniczych i szersze wykorzystanie lądowiska.

Przykład 5.23. Firma handlowa otrzymuje w przypadkowych momentach wczesne warzywa ze szklarni podmiejskiego gospodarstwa rolnego z intensywnością 6 jednostek. w dzień. Pomieszczenia gospodarcze, sprzęt i zasoby pracy pozwalają na przetwarzanie i przechowywanie produktów w ilości 2 sztuk. Firma zatrudnia cztery osoby, z których każda średnio jest w stanie przetworzyć produkty z jednej dostawy w ciągu 4 h. Długość dnia roboczego przy pracy zmianowej wynosi 12 h. Jaka powinna być wydajność magazyntak, aby pełne przetworzenie produktów stanowiło co najmniej 97% liczby dostaw?

Decyzja

Rozwiążemy problem poprzez sekwencyjne wyznaczanie wskaźników WOR dla różnych wartości pojemności magazynowej t \u003d 2, 3, 4, 5 itd. oraz porównanie na każdym etapie obliczeń prawdopodobieństwa wykonania usługi z zadaną wartością p 0 () C \u003d 0,97.

Określ intensywność obciążenia:

Znajdź prawdopodobieństwo lub ułamek czasu przestoju dla t \u003d 2:

Prawdopodobieństwo odmowy usługi lub procent utraconych żądań,

Prawdopodobieństwo obsługi, czyli odsetek obsłużonych żądań z liczby otrzymanych, wynosi

Ponieważ uzyskana wartość jest mniejsza niż podana wartość 0,97, kontynuujemy obliczenia dla t \u003d 3. Dla tej wartości wskaźniki stanów QS mają

W tym przypadku prawdopodobieństwo wykonania usługi jest również mniejsze od podanej wartości, więc kontynuujemy obliczenia na następną t \u003d 4, dla których wskaźniki stanu mają następujące wartości: p $ \u003d 0,12; Rotk \u003d 0,028; Pofc \u003d 0.972. Teraz otrzymana wartość prawdopodobieństwa obsługi spełnia warunek problemu, ponieważ 0,972\u003e 0,97, zatem pojemność pamięci należy zwiększyć do 4 jednostek.

Aby uzyskać dane prawdopodobieństwo wykonania usługi, możesz w ten sam sposób wybrać optymalną liczbę osób do przetwarzania warzyw, licząc kolejno wskaźniki QS n \u003d 3, 4, 5 itd. Kompromisowe rozwiązanie można znaleźć, porównując i kontrastując różne opcje organizacje kosztów CMO związane zarówno ze wzrostem liczby pracowników, jak i stworzeniem specjalnego wyposażenia technologicznego do przetwarzania warzyw w przedsiębiorstwie handlowym.

Tak więc modele kolejkowania w połączeniu z ekonomicznymi metodami stawiania zadań pozwalają na analizę istniejącego QS, wypracowanie rekomendacji ich reorganizacji w celu poprawy efektywności pracy, a także określenie optymalnych wskaźników nowo powstałego QS.

Przykład 5.24. Średnio do myjni samochodowej przyjeżdża dziewięć aut na godzinę, ale jeśli w kolejce są już cztery auta, nowoprzybyli klienci z reguły nie wchodzą w kolejkę, tylko przejeżdżają. Średni czas mycia auta to 20 minut, a do mycia są tylko dwa miejsca. Średni koszt mycia samochodu to 70 rubli. Określ średnią kwotę przychodów z myjni utraconych w ciągu dnia.

Decyzja

X \u003d 9 auto / h; \u003d 20 minut; n \u003d 2; t \u003d 4.

Znajdź intensywność obciążenia Określ odsetek przestojów myjni

Prawdopodobieństwo niepowodzenia

Względna przepustowość jest równa Bezwzględnej przepustowości Średnia liczba samochodów w kolejce

Średnia liczba zgłoszeń w obsłudze,

Średni czas oczekiwania w kolejce

Średni czas spędzony na myjni samochodowej

Tym samym 34% wniosków nie zostanie obsłużonych, strata za 12 godzin pracy jednego dnia wyniesie średnio 2570 rubli. (12 * 9 * 0,34 70), tj. 52% wszystkich przychodów, bo p otwarte \u003d 0,52 p 0 ^ c.

• względna przepustowość lub prawdopodobieństwo wykonania usługi, bezwzględna przepustowość, średnia liczba zatrudnionych załóg, wskaźnik zatrudnienia załóg ładowniczych

Wielokanałowy CMO z nieograniczoną kolejką

Rozważmy problem. Jestn-kanałowy QS z nieograniczoną kolejką. Przepływ aplikacji przychodzących do QS ma intensywność l., A przepływ usług ma intensywność m. Konieczne jest znalezienie granicznych prawdopodobieństw stanów QS i wskaźników jego sprawności.

System może znajdować się w jednym ze stanów S0, S1, S2, ..., Sk .., Sn, ..., ponumerowanych według liczby klientów w QS: S0 - w systemie nie ma klientów (wszystkie kanały są wolne); S - jeden kanał jest zajęty, reszta jest wolna; S2 - dwa kanały zajęte, pozostałe wolne; Kanały Sk - k są zajęte, reszta jest wolna; Sn - wszystkie n kanałów jest zajętych (brak kolejki); Sn + 1 - wszystkie n kanałów jest zajętych, w kolejce jest jeden klient; Sn + r - wszystkie n kanałów jest zajętych, r aplikacji jest w kolejce.

Wykres stanu systemu przedstawiono na rysunku 7. Należy zauważyć, że w przeciwieństwie do poprzedniego QS, intensywność przepływu usługi (przenoszenie systemu z jednego stanu do drugiego z prawej strony na lewą) nie pozostaje stała, a wraz ze wzrostem liczby żądań w QS od 0 do n rośnie od wartości m do n ??, ponieważ liczba kanałów usług odpowiednio wzrasta. Gdy liczba żądań w QS jest większa niż n, natężenie przepływu usługi pozostaje równe nm.

Rysunek 7 - Wykres stanu wielokanałowego systemu QS

Można wykazać, że dla c / n< 1 предельные вероятности существуют. Если с/n ? 1, очередь растет до бесконечности. Используя формулы (20) и (21) для процесса гибели и размножения, можно получить следующие формулы для предельных вероятностей состояний n-канальной СМО с неограниченной очередью

Prawdopodobieństwo, że aplikacja będzie w kolejce,

W przypadku n-kanałowego systemu QS z nieograniczoną kolejką, korzystając z poprzednich technik, można znaleźć:

średnia liczba zajętych kanałów

średnia liczba zapytań w systemie

Średni czas przebywania aplikacji w kolejce i średni czas przebywania aplikacji w systemie, podobnie jak poprzednio, wynikają ze wzorów Little'a (48) i (49).

Komentarz. Dla QS z nieograniczoną kolejką z< 1 любая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена, т.е. вероятность отказа Ротк = 0, Q=1, а равна интенсивности входящего потока заявок, т.е. А = л.

QS z ograniczoną kolejką

QS z ograniczoną kolejką różni się tylko tym, że liczba klientów w kolejce jest ograniczona (nie może przekroczyć określonej liczby m). Jeśli nowe żądanie nadejdzie w momencie, gdy wszystkie miejsca w kolejce są zajęte, QS pozostawia niezasłużony, tj. zostaje odrzucony.

Jednokanałowy QS z ograniczoną długością kolejki

Ograniczające prawdopodobieństwa:

Prawdopodobieństwo niepowodzenia:

Bezwzględna przepustowość

Względna przepustowość

Średnia liczba wniosków w kolejce

Średnia liczba obsługiwanych żądań (średnia liczba zajętych kanałów)

Średnia liczba żądań w systemie

Wielokanałowy system QS z ograniczoną kolejką

Ograniczające prawdopodobieństwa:

Prawdopodobieństwo niepowodzenia:

Bezwzględna przepustowość

Względna przepustowość

Średnia liczba wniosków w kolejce

Średnia liczba obsługiwanych żądań (średnia liczba zajętych kanałów)

Wielokanałowy system kolejkowy z ograniczoną kolejką

Niech dane wejściowe systemu QS z kanałami usług otrzymają strumień roszczeń Poissona z intensywnością. Intensywność obsługi żądania przez każdy kanał jest równa, a maksymalna liczba miejsc w kolejce równa.

Wykres takiego systemu przedstawiono na rysunku 7.

Rysunek 7 - Wykres stanu wielokanałowego systemu QS z ograniczoną kolejką

Wszystkie kanały są darmowe, nie ma kolejki;

Zajęty l kanały ( l \u003d 1, n), nie ma kolejki;

Wszystkie n kanałów są zajęte, jest ja Aplikacje ( ja \u003d 1, m).

Porównanie wykresów na rys. 2 i rys. 7 pokazuje, że ten drugi układ jest szczególnym przypadkiem systemu narodzin i śmierci, jeśli dokonane zostaną w nim następujące zmiany (zapis po lewej stronie odnosi się do systemu narodzin i śmierci):

Wyrażenia dla ostatecznych prawdopodobieństw można łatwo znaleźć we wzorach (4) i (5). W efekcie otrzymujemy:

Utworzenie kolejki następuje, gdy w momencie nadejścia kolejnego żądania do QS wszystkie kanały są zajęte, tj. system zawiera n lub (n + 1),… lub (n + m - 1) klientów. Dlatego te zdarzenia są niespójne, wówczas prawdopodobieństwo utworzenia kolejki p och jest równe sumie odpowiednich prawdopodobieństw:

Żądanie zostaje odrzucone, gdy wszystkie m miejsca w kolejce są zajęte, tj .:

Względna przepustowość to:

Średnia liczba wniosków w kolejce jest określona wzorem (11) i można ją zapisać jako:

Średnią liczbę aplikacji obsługiwanych w QS można zapisać jako:

Średnia liczba wniosków w WOR:

Średni czas spędzony przez aplikację w QS i w kolejce wyznaczają wzory (12) i (13).

Wielokanałowy system kolejkowy z nieograniczoną kolejką

Wykres takiego QS pokazano na rysunku 8 i uzyskano go z wykresu na rysunku 7 dla.

Rysunek 8 - Wykres stanu wielokanałowego systemu QS z nieograniczoną kolejką

Wzory na ostateczne prawdopodobieństwa można uzyskać ze wzorów dla n-kanałowego QS z ograniczoną kolejką na. Należy pamiętać, że dla prawdopodobieństwa p 0 \u003d p 1 \u003d ... \u003d p n \u003d 0, tj. kolejka rośnie w nieskończoność. W związku z tym ten przypadek nie ma praktycznego znaczenia, a poniżej rozważono tylko ten przypadek. Z (26) otrzymujemy:

Wzory na pozostałe prawdopodobieństwa mają taką samą postać, jak dla QS z ograniczoną kolejką:

Z (27) otrzymujemy wyrażenie na prawdopodobieństwo wystąpienia kolejki wniosków:

Ponieważ kolejka nie jest ograniczona, prawdopodobieństwo odmowy obsługi wniosku wynosi:

Bezwzględna przepustowość:

Ze wzoru (28) w otrzymujemy wyrażenie na średnią liczbę żądań w kolejce:

Średnią liczbę obsługiwanych żądań określa wzór:

Średni czas spędzony w QS i w kolejce wyznaczają wzory (12) i (13).

Wielokanałowy system kolejkowy z ograniczoną kolejką i ograniczonym czasem oczekiwania w kolejce

Różnica między takim QS a QS rozważanym w podrozdziale 5.5 polega na tym, że czas oczekiwania na usługę, gdy klient znajduje się w kolejce, jest uważany za zmienną losową rozłożoną zgodnie z prawem wykładniczym z parametrem, gdzie jest średni czas oczekiwania klienta w kolejce i ma to sens intensywność przepływu wniosków wychodzących z kolejki. Wykres takiego QS pokazano na rysunku 9.

Rysunek 9 - Wykres wielokanałowego systemu QS z ograniczoną kolejką i ograniczonym czasem oczekiwania w kolejce

Pozostałe oznaczenia mają tutaj takie samo znaczenie jak w podrozdziale.

Porównanie wykresów na rys. 3 i 9 pokazują, że ostatni system jest szczególnym przypadkiem systemu narodzin i śmierci, jeśli zostaną w nim wprowadzone następujące zmiany (zapis po lewej stronie odnosi się do systemu narodzin i śmierci):

Wyrażenia na ostateczne prawdopodobieństwa są łatwe do znalezienia ze wzorów (4) i (5), biorąc pod uwagę (29). W efekcie otrzymujemy:

gdzie. Prawdopodobieństwo kolejkowania określa wzór:

Żądanie jest odrzucane, gdy wszystkie m miejsc w kolejce są zajęte, tj. prawdopodobieństwo odmowy usługi:

Względna przepustowość:

Bezwzględna przepustowość:

Średnią liczbę wniosków w kolejce określa wzór (11) i wynosi:

Średnią liczbę wniosków obsługiwanych w QS określa wzór (10) i wynosi: