Rețelele în așteptare și aplicația acestora. Într-o lecție practică, vom lua în considerare această cale și vom compara rezultatele simulării cu soluția teoretică

Aplicarea diferitelor metode matematice la formalizare. Accentul este pus pe un sistem complex - imprevizibil. Purtător incertitudinea este o persoană.

Un exemplu tipic de probleme stocastice (aleatorii, probabilistice) sunt modelele de sisteme de așteptare.

CMO-urile sunt omniprezente. Acestea sunt rețele de telefonie, benzinării, servicii pentru consumatori, case de bilete, evenimente comerciale etc.

Din punctul de vedere al modelării procesului de așteptare, situațiile în care se formează cozi de cereri (cerințe) pentru servicii apar astfel. După ce ați intrat în sistemul de servire, cererea se alătură cozii altor cereri (primite anterior). Canalul de serviciu selectează o cerere dintre cei din coadă pentru a începe să o servească. După finalizarea procedurii de întreținere pentru următoarea solicitare, canalul de întreținere începe să întrețină următoarea solicitare, dacă există una în blocul de așteptare. Ciclul de funcționare a QS de acest fel se repetă de multe ori pe întreaga perioadă de funcționare a sistemului de servicii. În acest caz, se presupune că tranziția sistemului la service-ul următorului client după finalizarea service-ului clientului anterior are loc instantaneu, la intervale aleatorii.

Exemple de QS sunt:

posturi de întreținere a vehiculelor;

stâlpi de reparații auto;

firme de audit etc.

Fondatorul teoriei cozilor, în special teoria cozilor, este celebrul om de știință danez A.K. Erlang (1878-1929), care a studiat procesele de serviciu la centrele telefonice.

Sistemele în care au loc procesele de service sunt numite sisteme de așteptare (QS).

Pentru a descrie sistemul de așteptare, trebuie să specificați:

- fluxul de intrare al aplicațiilor;

- disciplina serviciului;

- timpul de service

- numărul de canale de servicii.

Flux de intrare cerințele (aplicațiile) sunt descrise prin identificarea ca probabilistică legea distribuției momentele primirii cererilor în sistem și numărul revendicărilor în fiecare admitere.

La atribuire discipline de serviciu (DO) este necesar să se descrie regulile pentru așteptarea și întreținerea cererilor din sistem. Mai mult, lungimea cozii poate fi limitată sau nelimitată. În cazul restricțiilor privind lungimea cozii, cererea primită la introducerea QS este respinsă. Cele mai utilizate DO sunt determinate de următoarele reguli:

primul venit, primul servit;

came last - servit primul; (cutie pentru mingi de tenis, stivă în tehnică)

selectarea aleatorie a aplicațiilor;

selectarea aplicațiilor după criteriul priorității.

Timp de service cererea către QS este o variabilă aleatorie. Cea mai comună lege a distribuției este legea exponențială.  - viteza de service.  \u003d numărul de cereri de service / unitate. timp.

Canalele de servicii, poate fi aranjat în paralel și în serie. Cu un aranjament secvențial de canale, fiecare client este deservit pe toate canalele secvențial. Cu un aranjament paralel al canalelor, serviciul se efectuează simultan pe toate canalele pe măsură ce devin gratuite.

Structura generalizată a QS este prezentată în Fig.

Subiect teoria cozilor este stabilirea relației dintre factorii care determină funcționalitatea QS și eficiența funcționării acestuia.

Probleme de proiectare QS.

Problemele determinării caracteristicilor structurii QS includ problema alegerii numărului de canale de servicii (elemente de bază (Ф eu )), problema determinării unei metode pentru conectarea canalelor (un set de elemente de legătură (Hj)), precum și sarcina de a determina lățimea de bandă a canalelor.

unu). Selectarea structurii... Dacă canalele funcționează în paralel, atunci problema alegerii Str se reduce la determinarea numărului de canale din partea de servire pe baza condiției de asigurare a operabilității QS. (Cu excepția cazului în care coada crește infinit).

Rețineți că la determinarea numărului de canale de sistem, în cazul aranjării lor paralele, este necesar să se respecte starea de operabilitate a sistemului... Notăm:  - numărul mediu de cereri care sosesc pe unitate de timp, adică intensitatea fluxului de intrare;  este numărul mediu de aplicații satisfăcute pe unitate de timp, adică intensitatea serviciului; S - numărul de canale de servicii. Apoi se va scrie condiția pentru operabilitatea QS

sau
... Îndeplinirea acestei condiții permite calcularea limitei inferioare a numărului de canale.

Dacă
, sistemul nu poate gestiona coada. În același timp, coada crește infinit.

2). Este necesar să se determine criteriul eficienței funcționăriiQS luând în considerare costul pierderii de timp atât din partea aplicațiilor, cât și din partea serviciului.

Următoarele trei grupuri principale de indicatori sunt considerați ca indicatori ai eficacității funcționării QS:

1. Indicatori ai eficacității utilizării OCP.

Debitul absolut al QS este numărul mediu de aplicații pe care QS le poate servi pe unitate de timp.

Debitul relativ al QS este raportul dintre numărul mediu de cereri deservite de QS pe unitate de timp și numărul mediu de cereri primite în acest timp.

Durata medie a perioadei de angajare a OCP.

Rata de utilizare a QS este ponderea medie din timpul în care QS este ocupat cu serviciul de aplicații.

2. Indicatori ai calității aplicațiilor de servicii.

Timpul mediu de așteptare pentru o solicitare în coadă.

Timpul mediu petrecut de o aplicație în CMO.

Probabilitatea ca o cerere să fie refuzată notificarea fără a aștepta.

Probabilitatea ca o cerere primită să fie imediat acceptată pentru service.

Legea distribuției timpului de așteptare pentru o aplicație în coadă.

Legea de distribuție a timpului petrecut de o aplicație în QS

Numărul mediu de aplicații din coadă.

Numărul mediu de aplicații în CMO.

3. Indicatori ai eficacității funcționării perechii „SMO - consumator”.

Atunci când alegeți un criteriu pentru eficiența funcționării QS, este necesar să se ia în considerare o abordare duală a luării în considerare a sistemelor de așteptare. De exemplu, funcționarea unui supermarket, ca SMO, poate fi privită din părți opuse. Pe de o parte, acceptat în mod tradițional, clientul care așteaptă pe rând la checkout reprezintă o cerere de service, iar casieria este un canal de service. Pe de altă parte, un casier care așteaptă clienții poate fi considerat o cerere de service, iar clientul este un dispozitiv de service capabil să satisfacă cererea, adică du-te la casa de marcat și oprește-l pe casierul forțat în gol. (în mod tradițional - cumpărători\u003e decât casieri, dacă casieri\u003e decât cumpărători, așteaptă cumpărători).

DIN
luând în considerare acest lucru, este recomandabil să minimizați simultan ambele părți ale QS.

Utilizarea unei astfel de abordări duale implică necesitatea de a lua în considerare, atunci când se formează criteriul de eficiență, nu numai indicatorii de mai sus separat, ci și simultan mai mulți indicatori care reflectă interesele atât ale subsistemelor de service cât și ale subsistemelor de service ale QS. De exemplu, se arată că cel mai important criteriu de eficiență în sarcinile de așteptare este timpul total petrecut de un client într-o coadă, pe de o parte, și timpul inactiv al canalelor de servicii, pe de altă parte.

Clasificarea sistemului de așteptare

1. Prin natura serviciului, se disting următoarele tipuri de HMS:

1.1. Sisteme de așteptare sau sisteme de așteptare... Cererile introduse în sistem și care nu sunt acceptate imediat pentru service se acumulează într-o coadă. Dacă canalele sunt gratuite, atunci cererea este servită. Dacă toate canalele sunt ocupate în momentul sosirii cererii, atunci următoarea solicitare va fi transmisă după finalizarea serviciului celei anterioare. Acest sistem se numește acces complet (cu coadă nelimitată).

Există sisteme cu întreținere autonomă, unde întreținerea începe în anumite momente din timp;

Sisteme limitate de coadă... (repararea garajului)

Sisteme cu defecțiuni... Toate cererile care au sosit în momentul comunicării cererii sunt refuzate. (GTS)

Sisteme cu flux de intrare de grup și serviciu de grup... În astfel de sisteme, revendicările ajung uneori în grupuri; serviciul are loc și în grupuri.

2. În funcție de numărul de canale de servicii, CMO-urile sunt împărțite în următoarele grupuri.

SMO monocanal.

CMO multicanal... Repararea următoarei solicitări poate începe înainte de sfârșitul revizuirii cererii anterioare. Fiecare canal acționează ca un dispozitiv de servicii autonom.

3. În funcție de gama de obiecte deservite, se disting două tipuri.

CMO-uri închise. Un sistem de așteptare închis este un sistem de așteptare în care revendicările deservite pot fi returnate sistemului și returnate în service. Exemple de OCM închise sunt atelierele de reparații, băncile de economii.

Deschideți CMO-uri.

4. În funcție de numărul de etape de serviciu, se disting CMO monofazate și multifazice.

Fază singularăQS sunt sisteme omogene care efectuează aceeași operațiune de întreținere.

Multifazat SMO-urile sunt sisteme în care canalele de servicii sunt amplasate secvențial și efectuează diverse operațiuni de service. Un exemplu de sistem multifazic sunt stațiile întreținere mașini.

Clasificarea QS de mai sus este condiționată. În practică, CMO-urile acționează cel mai adesea ca sisteme mixte. De exemplu, revendicările așteaptă pornirea serviciului până la un anumit moment, după care sistemul începe să funcționeze ca un sistem cu defecțiuni.

ATENŢIE!!! Această secțiune va consta din mai multe pagini, restul fiind în prezent scrise. Dar partea deja scrisă este destul de interesantă, așa că cred că va fi util să o punem la dispoziția cititorilor acum.

Cu mult timp în urmă, când eram studenți, această ramură a matematicii a băut mult din noi sânge de elev. Între timp, această secțiune este extrem de interesantă!

• Modelarea QS - pentru cei care știu deja totul.

Inginerul danez Agner Erlang a lucrat într-o companie de telefonie și a început la începutul secolului al XX-lea. calcule legate de funcționarea centralei telefonice: ce proporție de încercări de apel nu va avea succes, deoarece toate liniile sunt ocupate, câte linii de comunicare aveți nevoie, dacă abonații pot aștepta ca linia să fie lansată sau dacă încetează să încerce. În tehnologie, numele inginerului danez a rămas sub forma unei unități de măsurare a sarcinii abonaților Erlang (Earl).

1 Earl este ocuparea unei linii telefonice timp de 1 oră.

Mai târziu, a apărut o întreagă secțiune de matematică - Teoria serviciului de masă, care vă permite să rezolvați diverse probleme legate nu numai de telefonie.

Scopul meu nu este să scriu un manual întreg pe TMT. Există o mulțime de astfel de materiale pe Internet. „Punctul culminant” al articolului meu ar trebui să fie un calculator online interactiv, care vă va permite să modificați datele inițiale și să urmăriți cum se va schimba comportamentul sistemului.

Principalele concepte ale teoriei:

Sistem de așteptare (QS) obiectul care primește aplicații și efectuarea întreținerii acestora. Pentru service, CMO poate include una sau mai multe electrocasnice Rețea de așteptare (SEMO) mai multe sisteme de așteptare, între care circulă aplicațiile. Aplicația ajunge la orice rețea CMO și, după ce a primit servicii, poate intra în altă rețea CMO sau o poate părăsi. Cerere pentru un obiect care intră în CMO și care necesită service. Poate fi numit și o cerință, o cerere sau altceva. Dispozitivul face parte din CMO care oferă servicii pentru aplicație. Poate fi numit și un dispozitiv de serviciu, un canal sau poate fi un lucrător sau o echipă întreagă. Coada este un set de aplicații primite de QS, a căror întreținere nu a început încă din cauza ocupării tuturor dispozitivelor din sistem. Unitate Partea din QS care conține coada.

Date inițiale pentru calcule în TMT

λ este intensitatea fluxului de cereri, numărul mediu de solicitări care intră în sistem într-un anumit interval de timp. Unitate de măsură - solicitări pe oră (ora -1) μ - intensitatea serviciului este numărul mediu de solicitări pe care dispozitivul le poate furniza într-un anumit timp. Unitate de măsură - solicitări pe oră (ora -1) n este numărul de dispozitive de întreținere, numărul de dispozitive din QS, fiecare dintre acestea putând servi cereri. O cerere primită este servită pe orice server gratuit, adică toate dispozitivele funcționează în paralel. Natura fluxului de creanțe și notificări În esență, legea distribuției unei valori aleatorii a timpului dintre sosirea creanțelor (dacă vorbim despre fluxul de creanțe) sau durata notificării unei cereri particulare ( dacă vorbim despre intensitatea serviciului). Poate avea o distribuție exponențială, normală, uniformă sau orice altă distribuție. Fluxul de cereri poate fi în general determinist (conform unui program), iar durata serviciului poate fi constantă m - Dimensiunea stocării Dimensiunea stocării determină natura QS: dacă dimensiunea este zero, clientul i se refuză serviciul în absența dispozitivelor gratuite. Dacă stocarea este infinită, toate cererile vor aștepta serviciul pe măsură ce dispozitivele devin gratuite. Dacă dimensiunea unității este finită, atunci dacă există locuri libere, aplicația este plasată în coadă, iar când unitatea este plină, aplicației i se refuză serviciul

Principalii indicatori ai activității OCP

ρ este factorul de încărcare, raportul dintre debitul cererilor și rata totală a serviciului Factorul de încărcare vă permite să determinați dacă sistemul va face față sarcinilor sau va fi inoperant din cauza supraîncărcării. Probabilitatea de a avea n clienți în sistem, probabilitatea de nefuncționare a sistemului, cel mai mare număr de sarcini TMT necesită găsirea numărului optim de dispozitive de întreținere sau a dimensiunii stocării. Probabilitatea și timpul mediu de așteptare, proporția de cereri aflate în coadă, timpul mediu petrecut în așteptarea începerii serviciului Probabilitatea de refuz, proporția de cereri care primesc un refuz de serviciu. Nu este relevant pentru sistemele cu stocare infinită.

Ce sarcini permite rezolvarea TMT?

Iată câteva probleme tipice care pot fi rezolvate folosind aparatul de teorie a cozilor. În curând va apărea un calculator pe această pagină, care vă va permite să găsiți o soluție la aceste probleme.

• O problemă clasică. Serviciul de informare are un număr de telefon cu mai multe linii, în medie, o conversație între un operator și un abonat durează 3 minute, iar 600 de apeluri sunt primite în timpul zilei. Câte linii telefonice trebuie să aveți (și să puneți operatorii în așteptare), astfel încât nu mai mult de 2% din apeluri să rămână fără răspuns, deoarece toate liniile sunt ocupate? Și dacă există 300 sau 1400 de apeluri în timpul zilei?

  În ceea ce privește TMO sarcina sună astfel:

  • λ \u003d 25 apeluri pe oră (600 de apeluri împărțite la 24 de ore)
  • μ \u003d 20 apeluri pe oră (60 de minute împărțite la 3)
  • m \u003d 0 (când toate liniile sunt ocupate, abonatul apelant va auzi tonuri de ocupat)
  • Găsiți n , cu condiția ca probabilitatea de eșec să fie de 2%
• Rezervorul turnului de apă al gării este alimentat continuu cu apă - un metru cub de apă în 3 minute. Trei hidrocoloane primesc apă din turnul de apă pentru a alimenta locomotivele cu abur cu apă. O locomotivă cu aburi intră în fiecare dozator în medie o dată la 2 ore și ia între 10 și 30 de metri cubi de apă (cantitatea de apă este distribuită uniform în intervalul specificat). Dacă rezervorul se revarsă, apa curge din conducta de revărsare, ceea ce trebuie evitat. Cât volum de rezervor necesită turnul de apă?

  În ceea ce privește TMO sarcina sună astfel:

  • λ \u003d 20 m 3 pe oră
  • μ \u003d 10 m 3 pe oră (așteptarea matematică a unui debit unic de 20 m
  • n \u003d 2 - numărul de canale de servicii (hidrocoloane)
  • Găsiți m - dimensiunea unității, adică rezervor sub condiția zero probabilității de avarie

În medie, 200 de persoane vin la casa de bilete a gării pe oră. Casierul servește fiecărui viitor pasager în medie 4 minute. Câte case de numerar ar trebui să funcționeze, astfel încât casieria să aibă timp să servească toată lumea? Câte birouri de bilete ar trebui să funcționeze, astfel încât oamenii să facă coadă nu mai mult de 20 de minute?

În ceea ce privește TMO:

• λ \u003d 200 persoană pe oră
• μ \u003d 15 persoană pe oră (60 de minute împărțite la 4)
• m \u003d ∞, adică pot fi infinit de mulți oameni în coadă
• Găsiți n pentru care S este finit

E timpul să numeri ceva!

Puterea de calcul disponibilă pentru toată lumea în secolul 21 este colosală și facilitează efectuarea de calcule care utilizează resurse mari - modelare de simulare... Tabelul de mai jos simulează un sistem simplu de așteptare. Puteți modifica oricare dintre datele originale și puteți urmări modul în care sistemul este revocat. Puteți, de exemplu, să măriți intensitatea fluxului de solicitări și să observați cum sistemul se va "îneca" în solicitări (sau fluxul de refuzuri va crește dacă dimensiunea stocării este finită). Și după aceea, puteți crește numărul de dispozitive din sistem și puteți observa cum indicatorii de performanță vor reveni la normal. În acest calcul, lungimea maximă a cozii este de 1000. Pentru majoritatea aplicațiilor, acest lucru poate fi considerat un acumulator infinit de mare, dar rețineți că, dacă există mai mult de o mie de cereri în acumulator, calculul va fi incorect.

Parametru	Cantitatea	Explicaţie
Date inițiale
λ		pe oră - Intensitatea fluxului de aplicații
P μ (t)	Exp. Earl.	Legea distribuției timpului de serviciu: exponențială.
μ		pe oră - Debitul de service (de fiecare dispozitiv)
k		Factor de scară
25% în minute 50% în minute 99% în minute 50% în intervalul de minute 95% în intervalul de minute
n		Numărul de canale de servicii (nu mai mult de 50)
Rezultatele simularii (pentru moment)
t		Timp de simulare
S		Starea OCP, adică numărul de cereri de service + în unitate
S-n		Lungimea cozii
Statistici, indicatori de performanță ai sistemului
—		Numărul de cereri primite
p 0		Probabilitatea de întrerupere a QS
P 1-n		Încărcarea dispozitivelor de service
S MAX		Numărul maxim de solicitări din sistem în timpul simulării
p W		Probabilitatea de a aștepta
T W		Timpul mediu de așteptare, min.
T Wmax		Timp maxim de așteptare, min.
P n	Distribuția probabilităților ca QS să fie în diferite stări
T W	Distribuirea timpului de așteptare în coadă

Dacă sunteți interesat, consultați modelul matematic din acest tabel. Chiar și acest model permite observații interesante. De exemplu, se pot compara mai multe QS-uri cu aceeași performanță μ × n, servind același flux de revendicări λ, dar conținând un număr diferit de servere servere n. În funcție de faptul că ne străduim să reducem numărul de dispozitive de service sau probabilitatea de așteptare, va fi avantajos să avem fie un dispozitiv de înaltă performanță, fie o duzină de dispozitive de performanță redusă. Se poate vedea, de asemenea, că media aritmetică a timpului de așteptare este o cantitate insidioasă. Va fi necesar să se calculeze valoarea mediană ...

Vezi si:

• Modelarea unui sistem de așteptare - un calcul mai serios, cu parametri mai flexibili

Rețea de așteptare (SeMO) - o rețea care oferă servicii cererilor primite. Cerințele de service din QS sunt îndeplinite de dispozitivele de service. QS clasic conține de la unul la un număr infinit de dispozitive. În funcție de disponibilitatea posibilității de așteptare a cererilor primite pentru începutul întreținerii, QS sunt împărțite în: sisteme cu pierderi, în care se pierd cerințele care nu au găsit un singur dispozitiv gratuit la momentul sosirii; sisteme cu de așteptare, în care există o unitate de stocare infinită pentru tamponarea solicitărilor primite, atunci când la aceasta, cererile în așteptare formează o coadă; sistemele cu o unitate de capacitate finită (așteptare și restricții), în care lungimea cozii nu poate depăși capacitatea conduce; în acest caz, se pierde cererea care ajunge la QS supraaglomerat (nu există locuri libere de așteptare).

Fiecare QS este conceput pentru a deservi (îndeplini) un anumit flux de revendicări (sau cerințe) care sosesc la intrarea sistemului, în cea mai mare parte, nu în mod regulat, ci la momente aleatorii. Servirea cererilor, în cazul general, durează, de asemenea, nu o constantă, cunoscută în prealabil, ci un timp aleatoriu. După deservirea cererii, canalul este eliberat și este gata să primească următoarea solicitare. Natura aleatorie a fluxului și timpul de întreținere a acestora duce la o sarcină de lucru inegală a QS: la anumite intervale de timp, revendicările neservite se pot acumula la intrarea QS (fie intră în coadă, fie lasă QS neservite), în timp ce în alte perioade , cu canale gratuite la intrarea QS, nu vor exista revendicări, ceea ce duce la subîncărcarea sistemului, adică la canale inactiv.

Astfel, în orice QS, se pot distinge următoarele elemente principale:

) fluxul de aplicații;

) rândul său;

) canale de servicii;

) fluxul de ieșire al creanțelor deservite.

Fiecare QS, în funcție de parametrii săi: natura fluxului de aplicații, numărul de canale de servicii și performanța acestora, precum și regulile de organizare a muncii, are o anumită eficiență operațională (lățime de bandă), care îi permite să fie mai mult sau mai puțin să facă față cu succes fluxului de aplicații.

Subiectul studierii teoriei cozii este QS.

Scopul teoriei de așteptare este de a elabora recomandări pentru construcția rațională a QS, organizarea rațională a muncii lor și reglarea fluxului de aplicații pentru a asigura o eficiență ridicată a funcționării QS.

Pentru a atinge acest obiectiv, sunt stabilite sarcinile teoriei cozilor, constând în stabilirea dependențelor de eficiență a funcționării QS de organizarea sa (parametrii): natura fluxului de solicitări, numărul de canale și performanța acestora și regulile operației QS.

Natura aleatorie a fluxului de cereri și durata serviciului lor generează un proces aleatoriu în QS.

Definiție: Un proces aleatoriu (sau o funcție aleatorie) este o corespondență în care fiecărei valori a argumentului (în acest caz, un moment din intervalul de timp al experimentului) i se atribuie o variabilă aleatorie (în acest caz, starea QS). serviciul de masă

Pentru toate modelele de rețele de așteptare descrise în capitolul 2, sa presupus că timpii de serviciu pentru solicitări în diferite etape ale traseului sunt independenți. Acest lucru reflectă în mod inadecvat situația reală din rețelele de transmisie a informațiilor, în care lungimea (volumul) unui mesaj în timpul transmiterii acestuia de la un nod la altul nu se modifică, ceea ce duce la necesitatea studierii rețelelor cu transmisie de mesaj dependentă (în special, identică) durate pe canale.

În această lucrare, în urma se presupune că, împreună cu durata serviciului, fiecare mesaj este, de asemenea, caracterizat de propriul său volum și, în ceea ce privește duratele de serviciu, se presupune doar independența lor condiționată (pentru un volum fix), ceea ce îl face este posibil să se ia în considerare de fapt dependența duratelor de serviciu ale aceluiași mesaj în diferite etape ale traseului său. În același timp, ne restrângem la principiile de rutare Kelly (rețelele de tip Jackson cu rutare Markov sunt un caz special al modelului luat în considerare).

Se oferă o dovadă alternativă a reprezentării multiplicative pentru probabilitățile staționare ale stărilor unor astfel de rețele cu noduri de diferite tipuri, implementând așa-numitele discipline de serviciu simetrice și admiterea dependenței revendicărilor de întreținere la diferiți noduri ale rutei. Acest lucru nu atinge problemele subtile ale existenței distribuțiilor staționare pentru rețelele generale, care fac obiectul unor cercetări independente.

5.2.1 Descrierea rețelei. Denumiri

Luați în considerare o rețea MO, pentru a descrie care va folosi următoarea notație:

M este un set finit de noduri de rețea,

M este numărul de noduri din rețeaua MO,

Numărul nodului.

Se presupune că nodurile sunt de următoarele tipuri:

0) exponențiale multiliniare cu capacitate de stocare infinită și disciplină FIFO (rețineți că teorema de mai jos poate fi ușor transferată către noduri exponențiale cu o alegere aleatorie a unui dispozitiv sau a unui loc în coadă);

1) infinit-liniar;

2) linie simplă cu capacitate de stocare infinită, disciplină de serviciu de inversare cu întrerupere a serviciului și serviciu suplimentar;

3) linie simplă cu capacitate infinită de stocare și disciplină de diviziune uniformă a dispozitivului.

Setul de noduri de tip este desemnat și numărul de dispozitive din nod este.

Peste tot, ca și mai înainte, vom indica variabile aleatorii prin litere latine majuscule, iar realizările lor - prin litere minuscule corespunzătoare, iar variabilele și vectorii aleatori și vectori vor fi evidențiați cu caractere aldine.

Rețeaua primește un flux Poisson de solicitări de intensitate și fiecare cerere primită este caracterizată de un set de variabile aleatorii care nu depind de variabile aleatoare similare pentru alte solicitări și de istoricul funcționării rețelei, unde:

Lungimea aleatorie a traseului de revendicare, adică numărul de etape în care va fi servit;

Un traseu aleatoriu, care este un set de numere de nod (posibil repetate), parcurs secvențial de revendicare la toate L etapele;

Volumele aleatorii la etapele parcurse succesiv ale traseului, în general vorbind, sunt diferite în diferite etape;

Duratele de serviciu aleatorii la etapele parcurse succesiv ale traseului sunt, de asemenea, în general diferite, în diferite etape. Rețineți că, dacă într-o anumită etapă, o cerere este comunicată într-un nod de tip 2 sau 3, atunci durata serviciului în această etapă este momentul în care o cerere ar fi fost notificată la acest nod dacă nu ar exista alte revendicări în acesta.

Volumul Y poate avea atât o semnificație fizică reală sub forma, de exemplu, cantitatea de memorie necesară pentru a înregistra un mesaj, fie poate fi de natură auxiliară, de exemplu, pentru a specifica tipurile de revendicări în rețea; în acest din urmă caz, modelul luat în considerare poate fi interpretat ca o rețea ML cu un set continuu de tipuri de mesaje.

Evident, cu o astfel de descriere a rețelei, volumul și lungimea corespund serviciului revendicării în nodul cu numărul. Amintiți-vă că rutele R sunt permise în care numerele pot fi repetate, adică un client poate fi deservit de același nod de mai multe ori, cu timpi de service diferiți.

Caracteristicile statistice ale unei variabile aleatoare sunt specificate de funcția de distribuție comună (DF)

dF comun al traseului și al volumelor de aplicații în etape, prin

dF comun condiționat al duratelor de serviciu ale cererii în etape cu traseu și volume fixe

dF condiționat al duratei serviciului cererii la etapa (în nodul cu un număr) cu o rută și volume fixe.

Următoarele ipoteze sunt făcute cu privire la funcțiile introduse.

(A 1.) Duratele serviciului sunt presupuse a fi condiționat independente de-a lungul traseului, adică DF condiționat are forma

(A 2.) Nodurile exponențiale sunt QS liniare (cu capacitate de stocare infinită), tarifele serviciilor în care orice revendicare a fiecărui server este egală cu

Astfel, dacă, adică în etapa traseului, revendicarea este transmisă la un nod s de tip 0, apoi

Cu alte cuvinte, durata serviciului la un nod de tip 0 nu depinde nici de ruta R, nici de volumele Y (inclusiv volumul) și are o distribuție exponențială cu un parametru.

(P 3). Funcțiile de distribuție nu conțin o componentă singulară.

Atunci densitățile lor, înțelese în sensul obișnuit pentru distribuții absolut continue sau în sens generalizat pentru distribuții discrete și mixte, vor fi notate cu, respectiv.

În plus, pentru nodurile de tipurile 1-3 punem

și pentru a scurta notația rezultatelor, denotăm în plus prin

densități de distribuție condiționate ale timpului de sfârșit (intensitate) de deservire a unei revendicări cu caracteristici în etapa de traseu (la un nod), cu condiția ca timpul de servire să se rețină. (adică dacă), atunci