Vedeți articole cu coadă limitată. Sisteme de așteptare cu coadă nelimitată
LA activitati comerciale mai des există CMO-uri cu așteptare (coadă).
Luați în considerare un QS simplu cu un singur canal coadă limitată, în care numărul de locuri din coada m este o valoare fixă. În consecință, o revendicare care ajunge în momentul în care toate locurile din coadă sunt ocupate nu este acceptată pentru service, nu intră în coadă și părăsește sistemul.
Graficul acestui QS este prezentat în Fig. 3.4 și coincide cu graficul din Fig. 2.1 descrierea procesului de „naștere - moarte”, cu diferența că în prezența unui singur canal.
Graficul etichetat al procesului „naștere - moarte” al unui serviciu, toate intensitățile fluxurilor de servicii sunt egale
Stările QS pot fi reprezentate după cum urmează:
S0 - canalul de servicii este gratuit,
S, - canalul de serviciu este ocupat, dar nu există coadă,
S2 - canalul de servicii este ocupat, există un client în coadă,
S3 - canalul de serviciu este ocupat, există două solicitări în coadă,
Sm + 1 - canalul de servicii este ocupat, toate m locurile din coadă sunt ocupate, orice client următor este respins.
Pentru a descrie un proces QS aleatoriu, puteți utiliza regulile și formulele prezentate anterior. Să scriem expresii care determină probabilitățile limitative ale stărilor:
În acest caz, expresia pentru p0 poate fi scrisă mai simplu, folosind faptul că numitorul este o progresie geometrică față de p, apoi după transformările adecvate obținem:
c \u003d (1- s)
Această formulă este valabilă pentru toți p diferiți de 1, dar dacă p \u003d 1, atunci p0 \u003d 1 / (m + 2) și toate celelalte probabilități sunt, de asemenea, egale cu 1 / (m + 2).
Dacă presupunem m \u003d 0, atunci trecem de la luarea în considerare a unui QS cu un singur canal cu așteptare la QS cu un singur canal deja considerat cu refuz de serviciu.
Într-adevăr, expresia pentru probabilitatea limitativă p0 în cazul m \u003d 0 are forma:
po \u003d m / (l + m)
Și în cazul lui l \u003d m are valoarea p0 \u003d 1/2.
Să determinăm principalele caracteristici ale unui sistem de așteptare cu un singur canal cu așteptare: debitul relativ și absolut, probabilitatea de eșec, precum și lungimea medie a cozii și timpul mediu de așteptare pentru o cerere în coadă.
O cerere este respinsă dacă ajunge la momentul în care QS este deja în starea Sm + 1 și, prin urmare, toate locurile din coadă da sunt ocupate și un canal servește
Prin urmare, probabilitatea eșecului este determinată de probabilitatea apariției
State Sm + 1:
Potk \u003d pm + 1 \u003d сm + 1 * p0
Debitul relativ sau fracțiunea de creanțe deservite care sosesc pe unitate de timp este determinată de expresie
Q \u003d 1- potk \u003d 1- сm + 1 * p0
lățimea de bandă absolută este:
Numărul mediu de solicitări L care stau în coada de serviciu este determinat de așteptarea matematică a unei variabile aleatoare k - numărul de cereri în coadă
variabila aleatoare k ia următoarele valori întregi:
- 1 - există o aplicație în coadă,
- 2 - există două aplicații în coadă,
t-in coada toate locurile sunt ocupate
Probabilitățile acestor valori sunt determinate de probabilitățile corespunzătoare ale stărilor, începând de la starea S2. Legea distribuției unei variabile discrete aleatorii k este descrisă după cum urmează:
Tabelul 1. Legea distribuției unei variabile aleatorii discrete
Așteptarea matematică a acestei variabile aleatorii este:
Loch \u003d 1 * p2 + 2 * p3 + ... + m * pm + 1
În cazul general, pentru p ≥ 1, această sumă poate fi transformată folosind modele de progresie geometrică într-o formă mai convenabilă:
Lp \u003d p2 * 1- pm * (m-m * p + 1)* p0
În cazul special pentru p \u003d 1, când toate probabilitățile pk sunt egale, se poate folosi expresia pentru suma termenilor seriei numerice
1 + 2 + 3 + m \u003d m (m + 1)
Apoi obținem formula
L "och \u003d m (m + 1)* p0 \u003d m (m + 1)(p \u003d 1).
Aplicând raționamente și transformări similare, putem arăta că timpul mediu de așteptare pentru deservirea unei revendicări la coadă este determinat de formulele mici
Pt \u003d Lp / A (la p? 1) și T1p \u003d L "pt / A (la p \u003d 1).
Un astfel de rezultat, atunci când se dovedește că Pt ~ 1 / l, poate părea ciudat: cu o creștere a intensității fluxului de cereri, este ca și cum lungimea cozii ar trebui să crească și timpul mediu de așteptare să scadă. Cu toate acestea, trebuie avut în vedere faptul că, în primul rând, valoarea lui Loc este o funcție a lui l și m și, în al doilea rând, QS în cauză are o lungime a cozii limitată de cel mult m cereri.
O cerere primită de QS în momentul în care toate canalele sunt ocupate este respinsă și, prin urmare, timpul de „așteptare” în QS este zero. Acest lucru duce în cazul general (la p ≥ 1) la o scădere a lui Tochrostom l, deoarece ponderea acestor cereri crește odată cu creșterea l.
Dacă abandonăm restricția privind lungimea cozii, adică tind m - \u003e\u003e ?, atunci cazurile p< 1 и р?1 начинают существенно различаться. Записанные выше формулы для вероятностей состояний преобразуются в случае р < 1 к виду
Când k este suficient de mare, probabilitatea pk tinde la zero. Prin urmare, debitul relativ va fi Q \u003d 1, iar debitul absolut va fi egal cu A - l Q - l, prin urmare, toate cererile primite sunt deservite, iar lungimea medie a cozii va fi egală cu:
Lp \u003d p21-p
și timpul mediu de așteptare conform formulei lui Little
Punct \u003d Loch / A
În limita p<< 1 получаем Точ = с / м т.е. среднее время ожидания быстро уменьшается с увеличением интенсивности потока обслуживания. В противном случае при р? 1 оказывается, что в СМО отсутствует установившийся режим. Обслуживание не успевает за потоком заявок, и очередь неограниченно растет со временем (при t > ?). Prin urmare, probabilitățile limitative ale stărilor nu pot fi determinate: pentru Q \u003d 1 ele sunt egale cu zero. De fapt, OCP nu își îndeplinește funcțiile, deoarece nu este capabilă să deservească toate aplicațiile primite.
Este ușor să se determine că ponderea aplicațiilor deservite și, respectiv, debitul absolut sunt în medie s și m, cu toate acestea, o creștere nelimitată a cozii și, prin urmare, timpul de așteptare în aceasta, duce la faptul că, după un timp, aplicațiile încep să se acumuleze în coadă pentru un timp nelimitat.
Ca una dintre caracteristicile QS, se utilizează timpul mediu Tcmo al cererii care rămâne în QS, care include timpul mediu petrecut în coadă și timpul mediu de serviciu. Această valoare este calculată conform formulelor lui Little: dacă lungimea cozii este limitată, numărul mediu de aplicații din coadă este:
Lсmo \u003d m + 1;2
Tsmo \u003d Lсmo;pentru p? 1
A, apoi timpul mediu de ședere al unei cereri în sistem la coadă (atât în \u200b\u200bcoadă, cât și sub serviciu) este egal cu:
Tsmo \u003d m + 1la p? 1 2m
funcționarea sau eficiența sistemului de așteptare sunt după cum urmează.Pentru OCP cu respingeri:
Pentru CMO cu așteptare nelimitată atât capacitatea absolută, cât și cea relativă își pierd sensul, deoarece fiecare cerere primită va fi servită mai devreme sau mai târziu. Pentru un astfel de QS, indicatorii importanți sunt:
Pentru Tip mixt se folosesc ambele grupuri de indicatori: ca relativ și lățime de bandă absolutăși caracteristicile așteptării.
În funcție de scopul operației de așteptare, oricare dintre indicatorii de mai sus (sau un set de indicatori) poate fi selectat ca criteriu de eficiență.
Model analitic Un QS este un set de ecuații sau formule care permit determinarea probabilităților stărilor sistemului în cursul funcționării sale și calcularea indicatorilor de performanță pe baza caracteristicilor cunoscute ale fluxului de intrare și a canalelor de servicii.
Nu există un model analitic general pentru un QS arbitrar... Au fost dezvoltate modele analitice pentru un număr limitat de cazuri speciale de QS. Modelele analitice care reprezintă mai mult sau mai puțin exact sistemele reale sunt de obicei complexe și dificil de vizualizat.
Modelarea analitică a QS este mult facilitată dacă procesele care au loc în QS sunt Markov (fluxurile de aplicații sunt cele mai simple, timpii de serviciu sunt distribuiți exponențial). În acest caz, toate procesele din QS pot fi descrise prin ecuații diferențiale obișnuite, iar în cazul limitativ, pentru stări staționare - prin ecuații algebrice liniare și, după ce le-au rezolvat, determină indicatorii de eficiență selectați.
Să luăm în considerare exemple de unele QS.
2.5.1. QS multicanal cu eșecuri
Exemplul 2.5... Trei inspectori de trafic verifică notele de parcurs ale șoferilor de camioane. Dacă cel puțin un inspector este liber, camionul care trece este oprit. Dacă toți inspectorii sunt ocupați, camionul circulă fără întârziere. Fluxul de camioane este cel mai simplu, timpul de verificare este aleatoriu cu o distribuție exponențială.
Această situație poate fi simulată de un QS cu trei canale cu eșecuri (din rândul său). Sistemul este în buclă deschisă, cu aplicații omogene, monofazat, cu canale absolut fiabile.
Descrierea stărilor:
Toți inspectorii sunt liberi;
Un inspector este ocupat;
Doi inspectori sunt ocupați;
Trei inspectori sunt ocupați.
Graficul stării sistemului este prezentat în Fig. 2.11.
Figura: 2.11.
Pe grafic: - intensitatea fluxului de camioane; - intensitatea verificărilor documentelor de către un inspector auto.
Simulările sunt efectuate pentru a identifica partea vehiculelor care nu vor fi testate.
Decizie
Partea căutată a probabilității este probabilitatea angajării tuturor celor trei inspectori. Deoarece graficul de stare reprezintă o schemă tipică de „moarte și reproducere”, o vom găsi folosind dependențe (2.2).
Capacitatea acestui post de inspectori de trafic poate fi caracterizată prin debit relativ:
Exemplul 2.6... Un grup de trei ofițeri a fost desemnat să primească și să proceseze rapoarte de la grupul de recunoaștere din departamentul de informații al asociației. Intensitatea preconizată a fluxului de rapoarte este de 15 rapoarte pe oră. Timpul mediu de procesare a unui raport de către un singur ofițer -. Fiecare ofițer poate primi rapoarte de la orice grup de recunoaștere. Ofițerul eliberat procesează ultimul dintre rapoartele primite. Rapoartele primite trebuie procesate cu o probabilitate de cel puțin 95%.
Stabiliți dacă echipa alocată formată din trei ofițeri este suficientă pentru a finaliza sarcina atribuită.
Decizie
Grupul de ofițeri funcționează ca un sistem de refuz format din trei canale.
Flux de rapoarte cu intensitate 
poate fi considerat cel mai simplu, deoarece este un total de mai multe grupuri de recunoaștere. Intensitatea serviciului 
... Legea distribuției este necunoscută, dar acest lucru este nesemnificativ, deoarece s-a demonstrat că pentru sistemele cu defecțiuni, poate fi arbitrar.
Descrierea stărilor și graficul de stare al QS vor fi similare cu cele date în exemplul 2.5.
Deoarece graficul de stare este o schemă de „moarte și reproducere”, există expresii gata făcute pentru probabilitățile de stare limitative pentru acesta:
Se cheamă atitudinea intensitate redusă a fluxului de aplicații... Înțelesul său fizic este după cum urmează: valoarea este numărul mediu de daune care sosesc la QS în timpul timpului mediu de serviciu al unei daune.
În exemplu 
.
În QS considerat, un eșec apare atunci când toate cele trei canale sunt ocupate, adică. Atunci:
pentru că probabilitatea de eșec în procesarea rapoartelor este mai mult de 34% (), este necesar să se mărească personalul grupului. Să dublăm compoziția grupului, adică CMO va avea acum șase canale și vom calcula:
Astfel, doar un grup de șase ofițeri vor putea procesa rapoartele primite cu o probabilitate de 95%.
2.5.2. CMO multicanal cu așteptare
Exemplul 2.7... Există 15 mijloace de trecere de același tip pe secțiunea de trecere a râului. Fluxul de echipamente care sosesc la trecere este în medie de 1 unitate / min, timpul mediu pentru traversarea unei unități de echipament este de 10 minute (ținând cont de revenirea mijloacelor de trecere).
Evaluează principalele caracteristici ale traversării, inclusiv probabilitatea unei traversări imediate imediat după sosirea unui vehicul.
Decizie
Lățime de bandă absolută , adică tot ce se apropie de feribot este aproape imediat feribotat.
Numărul mediu de facilități de trecere în funcțiune:
Utilizarea feribotului și ratele de nefuncționare:
De asemenea, a fost dezvoltat un program pentru a rezolva exemplul. Intervalele de timp pentru sosirea echipamentului la trecere, ora traversării sunt luate pentru a fi distribuite conform legii exponențiale.
Ratele de utilizare a feribotului după 50 de curse sunt practic aceleași: 
.
Lungimea maximă a cozii este de 15 unități, timpul mediu în coadă este de aproximativ 10 minute.
Luați în considerare un QS multicanal (P \u003e 1), la intrarea căruia ajunge un flux de creanțe Poisson cu rata și rata de serviciu a fiecărui canal este p, numărul maxim posibil de locuri în coadă este limitat de valoarea t. Stările discrete ale QS sunt determinate de numărul de aplicații primite în sistem, care pot fi scrise:
Sq - toate canalele sunt gratuite, k = 0;
S - doar un canal este ocupat (oricare), k = 1;
* 5 * 2 - doar două canale sunt ocupate (oricare), k = 2;
S n - toată lumea este ocupată p canale, k \u003d p.
În timp ce QS se află în oricare dintre aceste stări, nu există coadă. După ce toate canalele de servicii sunt ocupate, solicitările ulterioare formează o coadă, determinând astfel starea ulterioară a sistemului:
S n + - toată lumea este ocupată p canale și o aplicație este în coadă, k = p + 1;
S n +2 - toată lumea este ocupată p canale și două aplicații sunt în coadă, k = p + 2;
S n + m - toată lumea este ocupată p frânghii și tot t locuri în coadă, k \u003d n + m.
Grafic de stare I-canal CMOdin coadă,limitat t în unele locuri este prezentat în Fig. 5.18.
Trecerea QS la starea cu un număr mare este determinată de fluxul de cereri primite cu intensitatea
Figura: 5.18
întrucât, prin condiții, aceste aplicații sunt deservite de p canale identice cu un debit de serviciu egal cu p pentru fiecare canal. În acest caz, intensitatea totală a fluxului de serviciu crește odată cu conectarea de noi canale până la o astfel de stare S n, când toate p canalele vor fi ocupate. Odată cu apariția cozii, intensitatea serviciului nu mai crește, deoarece a atins deja valoarea maximă egală cu nx.
Să scriem expresii pentru probabilitățile limitative ale stărilor
Expresia pentru po poate fi transformată folosind formula exponențială pentru suma termenilor cu numitorul p / P:
Formarea unei cozi este posibilă atunci când o aplicație nou primită este găsită cel puțin în sistem p cerințe, adică când sistemul va conține n, n + 1, p + 2, (P + t - 1) cerințe. Aceste evenimente sunt independente, deci probabilitatea ca toate canalele să fie ocupate este egală cu suma probabilităților corespunzătoare p u Rn + lRn +2 \u003e -\u003e Pn + t-1- Prin urmare, probabilitatea de a face coadă este
Probabilitatea refuzului de serviciu apare atunci când toate p canale și toate t locurile din coadă sunt ocupate
Debitul relativ va fi
Lățime de bandă absolută
Media canalelor ocupate
Numărul mediu de canale inactiv
Raportul de ocupare (utilizare) a canalului
Raportul timpului de oprire al canalului
Numărul mediu de aplicații în coadă
dacă p / n \u003d 1, această formulă ia o formă diferită:
Timpul mediu de așteptare în coadă este determinat de micile formule 
Timpul mediu de ședere al unei aplicații în QS, ca și pentru un QS cu un singur canal, este mai mare decât timpul mediu de așteptare în coadă cu timpul mediu de serviciu egal cu 1 / p, deoarece aplicația este întotdeauna deservită de un singur canal:
Exemplul 5.21. Minimarketul primește un flux de clienți cu o intensitate de șase clienți pe minut, care sunt deserviți de trei casieri la o intensitate de doi clienți pe minut. Lungimea liniei este limitată la cinci clienți. Determinați caracteristicile OCP și evaluați activitatea sa.
Decizie
n \u003d 3; t = 5; X \u003d 6; p \u003d 2; p \u003dX / x \u003d 3; p / n \u003d 1.
Găsim probabilitățile limitative ale stărilor QS:
Procentul de nefuncționare pentru casieri
Probabilitatea ca un singur canal să fie ocupat,
Probabilitatea ca două canale să fie ocupate,
Probabilitatea ca toate cele trei canale să fie ocupate
Probabilitatea ca toate cele trei canale și cele cinci locuri din coadă să fie ocupate,
Probabilitatea refuzului de serviciu apare atunci când k \u003d m + n \u003d \u003d 5 + 3 \u003d 8 și este p $ \u003d p OTK = 0,127.
Debitul relativ și absolut al QS sunt, respectiv, egale Î = 1 - r deschis \u003d 0,873 și L \u003d 0,873A. \u003d 5,24 (client / min).
Numărul mediu de canale ocupate și lungimea medie a cozii sunt:
Timpul mediu de așteptare în coadă și șederea în HMO este, respectiv, egal cu:
Sistemul de servicii al minimarketului merită un rating ridicat, deoarece lungimea medie a cozii, timpul mediu de ședere a clientului în coadă sunt valori mici.
Exemplul 5.22. În medie, în 30 de minute, mașinile cu produse din fructe și legume ajung la baza fructelor și legumelor. Timpul mediu pentru descărcarea unei mașini este de 1,5 ore. Descărcarea este efectuată de două echipe de încărcătoare. Pe teritoriul bazei, la debarcare, nu mai mult de patru vehicule pot fi puse în coadă în așteptarea descărcării. Vom determina indicatorii și vom face o evaluare a activității OCP.
Decizie
SMO cu două canale, p \u003d 2 cu locuri limitate la coadă m \u003d 4, intensitatea fluxului de intrare l. \u003d 2 auto / h, intensitatea serviciului c \u003d 2/3 auto / h, intensitatea sarcinii p \u003d A. / p \u003d 3, p / n \u003d 3/2 = 1,5.
Determinăm caracteristicile OCP:
Probabilitatea ca toate brigăzile să nu fie încărcate atunci când nu există mașini,
Probabilitatea de eșec atunci când sunt două mașini în descărcare și patru mașini în coadă,
Numărul mediu de mașini în linie
Ponderea timpului de nefuncționare al încărcătoarelor este foarte mică și se ridică la doar 1,58% din timpul de lucru, iar probabilitatea de refuz este mare - 36% din cererile primite sunt refuzate să descarce, ambele echipe sunt aproape complet ocupate, rata de ocupare este aproape de una și este egală cu 0,96, relativ debitul este redus - doar 64% din cererile primite vor fi deservite, lungimea medie a cozii este de 2,6 mașini, prin urmare, SM O ns face față executării cererilor de service și este necesar să se mărească numărul de echipe de încărcătoare și să se utilizeze mai larg etapa de aterizare.
Exemplul 5.23. O firmă comercială primește legume timpurii din serele unei ferme de stat suburbane la momente aleatorii, cu o intensitate de 6 unități. într-o zi. Spațiile utilitare, echipamentele și resursele de muncă vă permit să prelucrați și să stocați produse în cantitate de 2 unități. Compania are patru persoane, fiecare dintre care, în medie, poate prelucra produsele unei singure livrări în decurs de 4 ore. Durata zilei lucrătoare pentru munca în ture este de 12 ore. Care ar trebui să fie capacitatea depozitului astfel încât prelucrarea completă a produselor să fie de cel puțin 97% din numărul livrările efectuate?
Decizie
Vom rezolva problema determinând secvențial indicatorii CMO pentru diferite valori ale capacității de stocare t \u003d 2, 3, 4, 5 etc. și compararea în fiecare etapă a calculelor a probabilității de serviciu cu o valoare dată p 0 () C \u003d 0,97.
Determinați intensitatea sarcinii:
Găsiți probabilitatea sau fracțiunea de timp a perioadelor de nefuncționare pentru t \u003d 2:
Probabilitatea refuzului de serviciu sau procentul de solicitări pierdute,
Probabilitatea de service sau fracțiunea de solicitări deservite din numărul de solicitări primite este
Deoarece valoarea obținută este mai mică decât valoarea specificată 0,97, continuăm calculele pentru t \u003d 3. Pentru această valoare, indicatorii stărilor QS au valorile
În acest caz, probabilitatea serviciului este, de asemenea, mai mică decât valoarea specificată, deci continuăm calculele pentru următoarea t \u003d 4, pentru care indicatorii de stat au următoarele valori: p $ \u003d 0,12; Rotk \u003d 0,028; Pofc \u003d 0,972. Acum, valoarea obținută a probabilității de service satisface starea problemei, deoarece 0,972\u003e 0,97, prin urmare, capacitatea de stocare trebuie mărită la 4 unități.
Pentru a obține o anumită probabilitate de serviciu, puteți selecta în același mod numărul optim de persoane pentru procesarea legumelor, calculând secvențial indicatorii QS pentru n \u003d 3, 4, 5 etc. O soluție de compromis poate fi găsită prin compararea și compararea costurilor pentru diferite opțiuni pentru organizațiile HIO asociate atât cu o creștere a numărului de angajați, cât și cu crearea de echipamente tehnologice speciale pentru procesarea legumelor într-o întreprindere comercială.
Astfel, modelele de așteptare în combinație cu metodele economice de stabilire a sarcinilor fac posibilă analiza QS existente, elaborează recomandări pentru reorganizarea acestora pentru a îmbunătăți eficiența muncii și, de asemenea, determină indicatorii optimi ai QS nou creat.
Exemplul 5.24. În medie, nouă mașini ajung la spălătorie pe oră, dar dacă există deja patru mașini în coadă, clienții nou-veniți, de regulă, nu intră în coadă, ci trec cu mașina. Timpul mediu de spălare auto este de 20 de minute și există doar două locuri pentru spălare. Costul mediu al unei spălătorii auto este de 70 de ruble. Stabiliți suma medie a veniturilor din spălarea auto pierdute în timpul zilei.
Decizie
X \u003d 9 auto / h; \u003d 20 de minute; n \u003d 2; t \u003d 4.
Găsiți intensitatea sarcinii 
Determinați proporția timpului de nefuncționare a spălării auto
Probabilitatea de eșec
Debitul relativ este egal cu debitul absolut Numărul mediu de mașini din coadă
Numărul mediu de solicitări în serviciu,
Timpul mediu de așteptare în linie
Timpul mediu petrecut la o spălătorie auto
Astfel, 34% din cereri nu vor fi servite, pierderea pentru 12 ore de muncă dintr-o zi se va ridica la o medie de 2570 ruble. (12 * 9 * 0,34 70), adică 52% din toate veniturile, pentru că p deschis \u003d 0,52 p 0 ^ c.
- debitul relativ sau probabilitatea de service, debitul absolut, numărul mediu de echipaje angajate, rata de angajare a echipajelor de încărcare
CMO multicanal cu coadă nelimitată
Să luăm în considerare problema. ExistăqS n-canal cu coadă nelimitată. Fluxul de aplicații care sosesc în QS are o intensitate l. Și fluxul de servicii are o intensitate m. Este necesar să se găsească probabilitățile limitative ale stărilor QS și indicatorii eficienței sale.
Sistemul poate fi într-una dintre stările S0, S1, S2, ..., Sk .., Sn, ..., numerotate după numărul de clienți din QS: S0 - nu există clienți în sistem (toate canalele sunt gratuite); S - un canal este ocupat, restul sunt gratuite; S2 - două canale sunt ocupate, restul sunt gratuite; Canalele Sk - k sunt ocupate, restul sunt gratuite; Sn - toate cele n canale sunt ocupate (fără coadă); Sn + 1 - toate cele n canale sunt ocupate, există un client în coadă; Sn + r - toate cele n canale sunt ocupate, aplicațiile r sunt în coadă.
Graficul stării sistemului este prezentat în Figura 7. Rețineți că, spre deosebire de QS-ul anterior, intensitatea fluxului de serviciu (transferul sistemului de la o stare la alta de la dreapta la stânga) nu rămâne constantă, iar numărul de solicitări din QS crește de la 0 la n crește de la m la n ??, deoarece numărul de canale de servicii crește în consecință. Când numărul de solicitări din QS este mai mare decât n, debitul serviciului rămâne egal cu nm.
Figura 7 - Graficul de stare al unui QS multicanal
Se poate arăta că pentru c / n< 1 предельные вероятности существуют. Если с/n ? 1, очередь растет до бесконечности. Используя формулы (20) и (21) для процесса гибели и размножения, можно получить следующие формулы для предельных вероятностей состояний n-канальной СМО с неограниченной очередью
Probabilitatea ca aplicația să fie în coadă,
Pentru un QS cu canal n cu o coadă nelimitată, folosind tehnicile anterioare, puteți găsi:
numărul mediu de canale ocupate
numărul mediu de solicitări din sistem
Timpul mediu de ședere al unei cereri în coadă și timpul mediu de ședere al unei cereri în sistem, ca înainte, sunt găsite de formulele Little (48) și (49).
Cometariu. Pentru QS cu o coadă nelimitată cu< 1 любая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена, т.е. вероятность отказа Ротк = 0, Q=1, а равна интенсивности входящего потока заявок, т.е. А = л.
QS cu coadă limitată
QS-urile cu o coadă limitată diferă doar prin faptul că numărul de cereri din coadă este limitat (nu poate depăși un anumit m dat). Dacă o nouă reclamație ajunge în momentul în care toate locurile din coadă sunt ocupate, aceasta lasă QS neservite, adică devine respins.
QS monocanal cu lungime limitată a cozii
Probabilități limitate:
Probabilitatea de eșec:
Lățime de bandă absolută
Lățime de bandă relativă
Numărul mediu de aplicații în coadă
Numărul mediu de solicitări aflate în serviciu (numărul mediu de canale ocupate)
Numărul mediu de solicitări din sistem
QS multicanal cu coadă limitată
Probabilități limitate:
Probabilitatea de eșec:
Lățime de bandă absolută
Lățime de bandă relativă
Numărul mediu de aplicații în coadă
Numărul mediu de solicitări în curs de service (numărul mediu de canale ocupate)
Sistem de coadă multi-canal cu coadă limitată
Permiteți intrării unui QS cu canale de servicii să primească un flux Poisson de revendicări cu intensitate. Intensitatea serviciului cererii de către fiecare canal este egală, iar numărul maxim de locuri în coadă este egal cu.
Graficul unui astfel de sistem este prezentat în Figura 7.
Figura 7 - Graficul de stare al unui QS multicanal cu o coadă limitată
Toate canalele sunt gratuite, nu există coadă;
Ocupat l canale ( l \u003d 1, n), nu există coadă;
Toate cele n canale sunt ocupate, există eu aplicații ( eu \u003d 1, m).
Compararea graficelor din Figura 2 și Figura 7 arată că acest din urmă sistem este un caz special al sistemului de naștere și deces, dacă se fac următoarele modificări (notația din stânga se referă la sistemul de naștere și deces):
Expresiile pentru probabilitățile finale sunt ușor de găsit din formulele (4) și (5). Ca rezultat, obținem:
Formarea unei cozi apare atunci când în momentul în care următoarea cerere ajunge la QS, toate canalele sunt ocupate, adică sistemul conține fie n, fie (n + 1), ..., fie (n + m - 1) clienți. pentru că aceste evenimente sunt inconsistente, atunci probabilitatea formării cozii p och este egală cu suma probabilităților corespunzătoare:
O respingere a serviciului apare atunci când toate m locurile din coadă sunt ocupate, adică:
Debitul relativ este:
Numărul mediu de aplicații din coadă este determinat de formula (11) și poate fi scris ca:
Numărul mediu de aplicații servite în QS poate fi scris ca:
Numărul mediu de aplicații în CMO:
Timpul mediu petrecut de o aplicație în QS și în coadă este determinat de formulele (12) și (13).
Sistem de coadă multi-canal cu coadă nelimitată
Graficul unui astfel de QS este prezentat în Figura 8 și este obținut din graficul din Figura 7 pentru.
Figura 8 - Graficul de stare al unui QS multicanal cu o coadă nelimitată
Formulele pentru probabilitățile finale pot fi obținute din formulele pentru QS n-canal cu o coadă limitată la. Trebuie avut în vedere că pentru probabilitatea p 0 \u003d p 1 \u003d ... \u003d p n \u003d 0, adică coada crește la nesfârșit. În consecință, acest caz nu prezintă niciun interes practic și numai cazul este luat în considerare mai jos. Căci de la (26) obținem:
Formulele pentru probabilitățile rămase au aceeași formă ca și pentru QS cu o coadă limitată:
Din (27) obținem o expresie pentru probabilitatea unei cozi de aplicații:
Deoarece coada nu este limitată, probabilitatea de a refuza furnizarea cererii:
Lățime de bandă absolută:
Din formula (28) at obținem o expresie pentru numărul mediu de solicitări din coadă:
Numărul mediu de solicitări deservite este determinat de formula:
Timpul mediu petrecut în QS și în coadă este determinat de formulele (12) și (13).
Sistem de coadă multicanal cu coadă limitată și timp de așteptare limitat în coadă
Diferența dintre un astfel de QS și QS considerat în subsecțiunea 5.5 este că timpul de așteptare pentru service atunci când un client este în coadă este considerat o variabilă aleatorie distribuită conform legii exponențiale cu parametrul, unde este timpul mediu de așteptare pentru un client în coadă și are sens intensitatea fluxului de aplicații care părăsesc coada. Graficul unui astfel de QS este prezentat în Figura 9.
Figura 9 - Graficul unui QS multicanal cu o coadă limitată și un timp de așteptare limitat în coadă
Restul notației de aici are același sens ca în subsecțiune.
Compararea graficelor din Fig. 3 și 9 arată că ultimul sistem este un caz special al sistemului de naștere și deces, dacă se fac următoarele modificări în acesta (notația din stânga se referă la sistemul de naștere și deces):
Expresiile pentru probabilitățile finale sunt ușor de găsit din formulele (4) și (5), luând în considerare (29). Ca urmare, obținem:
unde. Probabilitatea de a face coadă este determinată de formula:
O cerere este refuzată de serviciu atunci când toate m locurile din coadă sunt ocupate, adică probabilitatea refuzului de serviciu:
Lățime de bandă relativă:
Lățime de bandă absolută:
Numărul mediu de aplicații din coadă se găsește prin formula (11) și este egal cu:
Numărul mediu de cereri difuzate în QS se găsește prin formula (10) și este egal cu:
