Sistem cu un singur canal cu coadă limitată. Sistem de coadă multicanal cu coadă limitată și timp de așteptare limitat în coadă

Sisteme de așteptare cu trafic nelimitat

N canale identice primesc fluxul cel mai simplu solicită intensitate λ ... Dacă în momentul primirii cererii toate canalele sunt ocupate, atunci această cerere devine în coadă și așteaptă începerea întreținerii. Timpul de serviciu al fiecărui client este o variabilă aleatorie care respectă o lege de distribuție exponențială cu parametrul μ .

Formule de calcul
Probabilitatea ca toate canalele să fie gratuite

Probabilitatea de a fi ocupat kcanale, cu condiția ca numărul total de clienți în serviciu să nu depășească numărul de canale,

Probabilitatea ca sistemul să fie k aplicații, în cazul în care numărul acestora este mai mare decât numărul de canale,

Probabilitatea ca toate canalele să fie ocupate

Timpul mediu de așteptare pentru ca o aplicație să înceapă serviciul în sistem

Lungimea medie a cozii

Numărul mediu de canale gratuite

Exemplu
O stație de benzină cu două dozatoare servește traficul Poisson cu o rată de λ \u003d 0,8 mașini pe minut. Timpul de service al unei mașini respectă o lege exponențială cu o valoare medie de 2 minute. Nu există altă stație de benzină în această zonă, așa că coada din fața stației de benzină poate crește aproape la infinit. Găsi:
1) numărul mediu de coloane ocupate;
2) probabilitatea să nu existe coadă la benzinărie;
3) probabilitatea ca va trebui să așteptați începerea serviciului;
4) numărul mediu de mașini în coadă;
5) timpul mediu de așteptare în coadă;
6) timpul mediu petrecut de mașină la benzinărie;
7) numărul mediu de mașini la stația de alimentare.
Decizie... Prin starea problemei, n \u003d 2, λ \u003d 0,8; μ \u003d 1 / t obsl \u003d 0,5; ρ \u003d λ / μ \u003d 1.6
Pentru că ρ /n=0,8<1, то очередь не растет безгранично и имеет смысл говорить о предельном стационарном режиме работы системы la coadă.
Găsim probabilitățile stărilor QS:

Numărul mediu de coloane ocupate:
N zan \u003d n-N 0 \u003d 2- (2 p 0 + 1 p 1) \u003d 2-2 0.1111 - 0.1778 \u003d 1.6
Probabilitatea de a nu sta la coadă la benzinărie:

Probabilitatea ca va trebui să așteptați începutul serviciului este egală cu probabilitatea ca toate coloanele să fie ocupate:
p 0 + p 1 + p 2 \u003d 0.1111 + 0.1778 + 0.1422 \u003d 0.4311
Numărul mediu de mașini în coadă:

Timpul mediu de așteptare în coadă:
Timpul mediu petrecut de o mașină la o benzinărie:
t preb \u003d t service + t standby \u003d 2 + 3.5556 \u003d 5.5556 min.
Numărul mediu de mașini la o benzinărie:
N zan + L och \u003d 1.6 + 2.8444 \u003d 4.4444
Luați în considerare un sistem de așteptare cu un singur canal, cu așteptări, în care numărul de canale este egal cu unul n \u003d 1, rata de sosire a daunelor este λ, rata serviciului este egală cu μ. O revendicare care ajunge într-un moment în care canalul este ocupat intră în coadă și așteaptă service. Numărul de locuri în coadă este limitat și egal m... Dacă toate locurile din coadă sunt ocupate, atunci solicitarea lasă coada neafectată. Să analizăm starea sistemului:

S 0 - canalul este gratuit;
S 1 - canalul este ocupat;
S 2 - canalul este ocupat, o singură cerere este în coadă;
S k - canalul este ocupat, (k - 1) clienți în coadă;
S m + 1 - canalul este ocupat, în coadă m aplicații.

Să desenăm un grafic al stărilor unui astfel de QS (Fig. 25).

Figura: 25
Folosind formulele lui Erlang, găsim probabilitățile evenimentelor în care QS se află în stare S 1 , S 2 , …, S m + 1:
(28)

Mai mult, probabilitatea ca un client care ajunge la sistem să o găsească gratuită este
. (29)
Raportul dintre rata de sosire λ a creanțelor și rata de deservire a creanțelor μ este rata redusă μ, adică

ρ=λ/μ
Să înlocuim în formulele (28) și (29) raportul λ / µm la ρ, atunci expresiile iau forma:

(30)
Probabilitate R 0 va fi calculat folosind următoarea formulă:
p 0 \u003d -1. (31)
Expresie pentru probabilitate P 0 este o progresie geometrică, a cărei sumă va fi

.
Astfel, formulele (30) și (31) fac posibilă determinarea probabilității oricărui eveniment care poate apărea în sistem, adică a determina probabilitatea ca sistemul să fie în orice stare.
Formula pentru P 0 este valabil pentru cazul când ρ ≠ 1. În cazul în care ρ \u003d 1, adică rata de sosire a daunelor este egală cu rata de întreținere a acestora, se utilizează o altă formulă pentru a calcula probabilitatea ca sistemul să fie liber:

,
unde m este numărul de clienți din coadă.

Noi definim caracteristicile de performanță ale unui QS cu un singur canal:

probabilitatea ca următoarea aplicație care ajunge în sistem să fie respinsă R deschis;
debit absolut ȘI,
lățime de bandă relativă Î,
numărul de canale ocupate k,
numărul mediu de clienți din coada r,
numărul mediu de aplicații legate de QS, z.

Următorul client care intră în sistem este respins dacă canalul este ocupat, și anume, un alt client este deservit și tot m locurile din coadă sunt de asemenea ocupate. atunci probabilitatea acestui eveniment poate fi calculată folosind următoarea formulă:

. (32)
Probabilitatea ca o cerere să sosească în sistem și fie să fie servită imediat, fie să existe locuri în coadă, adică, debitul relativ, poate fi găsit prin formula

. (33)
Numărul mediu de revendicări care pot fi deservite pe unitate de timp, adică, debitul absolut, se calculează după cum urmează:

A \u003d Q λ (34)
Astfel, folosind formulele (32), (33), (34), putem calcula principalii indicatori de performanță pentru orice sistem de așteptare. acum vom deriva expresii pentru calcularea caracteristicilor inerente numai în acest QS.
Numărul mediu de cereri din coada r este definit ca așteptarea matematică a unei variabile aleatorii discrete, unde R - numărul de aplicații din coadă.
♦ R 2 este probabilitatea ca în coada de servicii să existe un singur client;
♦ R 3 - probabilitatea ca în coadă să existe două aplicații;
♦ R k - probabilitatea ca în coadă să existe (k - 1) client;
♦ R m + 1 este probabilitatea ca în coadă să existe m clienți.
Apoi, numărul mediu de aplicații din coadă poate fi calculat după cum urmează:
r \u003d 1 P 2 + 2 P 3 + ... + (k-1) P k + ... + m P m + 1. (35)
Să substituim în formula (35) valorile probabilităților găsite anterior calculate în formula (30):
r \u003d 1 ρ 2 p 0 + 2 ρ 3 p 0 + ... + (k-1) ρ k p 0 + ... + m ρ m + 1 p 0. (35)
Să eliminăm probabilitatea P 0 și R 2, apoi obținem formula finală pentru calcularea numărului mediu de solicitări în coada de servicii:
r \u003d ρ 2 p 0 (1 + 2 ρ + ... + (k-1) ρ k-2 + ... + m ρ m-1)
Să obținem o formulă pentru numărul mediu de solicitări asociate cu QS, z, adică numărul de cereri din coada care sunt deservite. Luați în considerare numărul total de cereri asociate cu QS, z ca suma a două valori ale numărului mediu de cereri din coada r și numărul de canale ocupate k:

z \u003d r + k.
Deoarece există un singur canal, numărul de canale ocupate k poate lua valorile 0 sau 1. Probabilitatea ca k \u003d 0, adică sistemul este liber, corespunde probabilității P 0, a cărei valoare poate fi găsită prin formula (31). Dacă k \u003d 1, adică canalul este ocupat cu serviciul cererii, dar există încă locuri în coadă, atunci probabilitatea acestui eveniment poate fi calculată prin formula

.
Prin urmare, z va fi egal cu:

. (37)

CMO monocanal cu așteptare

Sistemul de așteptare are un singur canal. Fluxul primit de cereri de servicii este cel mai simplu flux cu intensitate l. Intensitatea fluxului de serviciu este egală cu m (adică, în medie, un canal ocupat continuu va emite m. Reclamații deservite). Durata serviciului este o variabilă aleatorie supusă unei legi de distribuție exponențială. Fluxul de servicii este cel mai simplu flux de evenimente Poisson. O revendicare care ajunge la un moment în care canalul este ocupat intră în coadă și așteaptă service.
Să presupunem că, indiferent de câte solicitări ajung la intrarea sistemului de servire, sistemul dat (coadă + clienți deserviți) nu poate găzdui mai mult de N-solicitări (solicitări), adică, clienții care nu au fost așteptați sunt obligați să fie deserviți în altă parte ... În cele din urmă, solicitările de servicii care generează surse au o capacitate nelimitată (infinit de mare).
Graficul de stare al QS în acest caz are forma prezentată în Fig. 3.2.

Graficul de stare al unui QS cu un singur canal cu așteptare (schema morții și reproducerii)
Stările QS au următoarea interpretare:
S 0 - canalul este gratuit
S 1 - canalul este ocupat (nu există coadă);
S 2 - canalul este ocupat (o singură cerere este în coadă);
………………………………
S n -canalul este ocupat (n - 1 solicitări sunt în coadă);
……………………………
S N - canalul este ocupat (N - 1 cereri sunt în coadă).
Scufundarea staționară în acest sistem va fi descrisă de următorul sistem de ecuații algebrice:

p -numărul de stare.
Soluția la sistemul de ecuații de mai sus (3.10) pentru modelul nostru QS are forma

Trebuie remarcat faptul că îndeplinirea condiției de staționaritate pentru un anumit QS este opțională, deoarece numărul de cereri admise în sistemul de servire este controlat prin introducerea unei limite pe lungimea cozii (care nu poate depăși N- 1), și nu raportul dintre intensitățile fluxului de intrare, adică nu raportul
l / m \u003d p
Noi definim caracteristicile unui sistem cu un singur canalcu anticipare și lungime limitată coadă egală cu (N -1):

Luați în considerare un exemplu de sistem de așteptare cu un singur canal cu așteptare.
Exemplul 3.2. Un post de diagnostic specializat este un sistem cu un singur canal. Numărul de parcări care așteaptă diagnosticarea este limitat la 3 [(N- 1) \u003d 3]. Dacă toate parcările sunt ocupate, adică sunt deja trei mașini în coadă, atunci următoarea mașină care ajunge pentru diagnosticare nu intră în coada de service. Fluxul de mașini care sosesc pentru diagnostic este distribuit conform legii lui Poisson și are o intensitate l\u003d 0,85 (mașină pe oră). Timpul diagnosticării auto este distribuit conform legii exponențiale și este în medie 1,05 ore.
Este necesar să se definească caracteristicile probabilistice ale stației de diagnosticare staționare.
Decizie
1. Parametrul fluxului de întreținere a mașinii:

2. Intensitatea redusă a fluxului de mașini este definită ca raportul dintre intensitățile l și m, adică

3. Să calculăm probabilitățile finale ale sistemului:

P 1 \u003d ρ P 0 \u003d 0,889 0,248 \u003d 0,221
P 2 \u003d ρ 2 P 0 \u003d 0.893 2 0.248 \u003d 0.198
P 3 \u003d ρ 3 P 0 \u003d 0.893 3 0.248 \u003d 0.177
P 4 \u003d ρ 4 P 0 \u003d 0.893 2 0.248 \u003d 0.158
4. Probabilitatea refuzului de a repara autoturismul:
P deschis \u003d P 4 \u003d ρ 4 P 0 ≈ 0,158
5. Debitul relativ al stației de diagnosticare:
q \u003d 1-P deschis \u003d 1-0.158 \u003d 0.842
6. Debitul absolut al postului de diagnosticare
A \u003d λ q \u003d 0,85 0,842 \u003d 0,716 (mașină pe oră)
7. Numărul mediu de mașini care sunt întreținute și puse în coadă (adică în sistemul de așteptare):

8. Timpul mediu de ședere în mașină în sistem:
9. Durata medie de timp în care o aplicație se află în coada de service:
W q \u003d W S -1 / μ \u003d 2.473-1 / 0.952 \u003d 1.423 ore
10. Numărul mediu de aplicații în coadă (lungimea cozii): L q\u003d A, (1 - P N) W q= 0,85
L q \u003d λ (1-P N) W q \u003d 0,85 (1-0,158) 1,423 \u003d 1,02
Munca postului de diagnosticare considerat poate fi considerată satisfăcătoare, deoarece postul de diagnosticare nu deserveste în medie mașinile în 15,8% din cazuri (P deschis\u003d 0,158). Ca indicatori ai eficienței QS cu așteptarea, pe lângă indicatorii deja cunoscuți - A absolută și fluxul Q relativ, probabilitatea de eșec P se deschide. , numărul mediu de canale ocupate (pentru un sistem multicanal) vom lua în considerare și următoarele: Sistem L. - numărul mediu de solicitări către sistem; T sist. - timpul mediu de rămânerea a cererii în sistem; L puncte. - numărul mediu de aplicații din coadă (lungimea cozii); T och. - timpul mediu al unei solicitări aflate în coadă; R ocupat .. - probabilitatea ca canalul să fie ocupat (gradul de încărcare a canalului).

Sistem cu un singur canal cu coadă nelimitată

În practică, se întâlnesc adesea CMO-uri cu un singur canal cu o coadă nelimitată (de exemplu, un telefon cu plată cu un singur stand).
Să luăm în considerare problema.
Există un QS cu un singur canal cu o coadă, pe care nu se impun restricții (nici în lungimea cozii, nici în timpul de așteptare). Fluxul de creanțe care sosesc la QS are intensitate λ, iar fluxul de serviciu are intensitate μ. Este necesar să se găsească probabilitățile limitative ale stărilor și indicatorii eficienței QS.
Sistemul poate fi într-una din stările S 0, S 1, S 2, ..., S k, în funcție de numărul de solicitări din QS: S 0 - canalul este liber; S 1 - canalul este ocupat (servește cererea), nu există coadă, S 2 - canalul este ocupat, o cerere este în coadă; ... S k - canalul este ocupat, (k-1) clienții sunt în coadă etc.
Graficul stării QS este prezentat în Fig. 8.

Figura: 8
Acesta este un proces de moarte și multiplicare, dar cu un număr infinit de stări, în care debitul revendicărilor este λ, iar debitul de serviciu este μ.
Înainte de a scrie formulele probabilităților limitative, trebuie să fiți siguri de existența lor, deoarece în cazul în care timpul t → ∞, coada poate crește la nesfârșit. S-a dovedit că dacăρ<1, acestea. numărul mediu al revendicărilor primite este mai mic decât numărul mediu al revendicărilor deservite (pe unitate de timp), atunci există probabilitățile limitative. Dacăρ≥1, coada crește la nesfârșit.

Pentru a determina probabilitățile limitative ale stărilor, vom folosi formule (16), (17) pentru procesul de moarte și reproducere (aici presupunem o anumită laxitate, întrucât aceste formule au fost obținute anterior pentru cazul unui număr finit de stări ale sistemului). Primim (32)
Deoarece probabilitățile limitative există doar pentru ρ< 1, то геометрический ряд со знаменателем
ρ < 1, записанный в скобках в формуле (32), сходится к сумме, равной . Поэтому
p 0 \u003d 1-ρ, (33)
și luând în considerare relațiile (17)
p 1 \u003d ρ · p 0; p 2 \u003d ρ 2 · p 0; ...; p k \u003d ρ k p 0; ...
găsiți probabilitățile limitative ale altor stări
p 1 \u003d ρ · (1-ρ); p 2 \u003d ρ 2 · (1-ρ); ...; p k \u003d ρ k (1-ρ); ... (34)
Probabilitățile limitative p 0, p 1, p 2,…, p k,… formează o profesie geometrică descrescătoare cu numitorul p< 1, следовательно, вероятность р 0 - наибольшая. Это означает, что если СМО справляется с потоком заявок (при ρ < 1), то наиболее вероятным будет отсутствие заявок в системе.
Numărul mediu de aplicații din sistemul L. va fi determinată de formula așteptării matematice, care, luând în considerare (34), ia forma
(35)
(însumare de la 1 la ∞, deoarece termenul zero este 0 · p 0 \u003d 0).
Se poate arăta că formula (35) se transformă (pentru ρ< 1) к виду
(36)
Găsiți numărul mediu de aplicații în coada L och. Este evident că
L och \u003d L syst -L aproximativ (37)
unde L vol. este numărul mediu de aplicații deservite.
Numărul mediu de daune în serviciu este determinat de formula pentru așteptarea matematică a numărului de daune în serviciu, care ia valorile 0 (dacă canalul este gratuit) sau 1 (dacă canalul este ocupat):
L och \u003d 0 p 0 + 1 (1-p 0)
acestea. numărul mediu de daune în serviciu este egal cu probabilitatea ca canalul să fie ocupat:
L och \u003d P zan \u003d 1-p 0, (38)
În virtutea (33)
L och \u003d P zan ρ, (39)
Acum, conform formulei (37), luând în considerare (36) și (39)
(40)
S-a dovedit că pentru orice natură a fluxului de revendicări, pentru orice distribuție a timpului de serviciu, pentru orice disciplină de serviciu, timpul mediu al revendicării în sistem (coadă) este egal cu numărul mediu de revendicări din sistem (în coadă) împărțit la intensitatea fluxului de revendicări,acestea.
(41)
(42)
Se numesc formulele (41) și (42) formulele lui Little.Urmează din faptul că în modul limitat, staționar, numărul mediu de daune care sosesc în sistem este egal cu numărul mediu de daune care o părăsesc:ambele fluxuri de cereri au aceeași intensitate λ.
Pe baza formulelor (41) și (42), luând în considerare (36) și (40), timpul mediu de ședere al unei cereri în sistem este determinat de formula:
(43)
iar timpul mediu al unei solicitări aflat în coadă
(44)

CMO monocanal cu așteptare fără limitare a capacității unității de așteptare

Modul de funcționare staționară a acestui QS există ca t → ∞ pentru orice n \u003d 0,1,2, ... și când l< m.Система алгебраических уравнений, описывающих работу СМО при t®¥ для любого n = 0, 1, 2...., имеет вид
Soluția la acest sistem de ecuații are forma
P n \u003d (1-ρ) ρ n, n \u003d 0,1,2, ... (3.21)
unde ρ \u003d λ / μ< 1
Caracteristicile unui QS cu un singur canal cu așteptare, fără restricții privind lungimea cozii, sunt după cum urmează:
numărul mediu de clienți (solicitări) în sistem pentru servicii:
durata medie de ședere a unui client în sistem:

Exemplul 3.3.Să ne reamintim situația luată în considerare în exemplul 3.2, în care vorbim despre funcționarea postului de diagnostic. Permiteți postului de diagnosticare în cauză să aibă un număr nelimitat de parcări pentru mașinile care sosesc în service, adică lungimea cozii nu este limitată.
Este necesar să se determine valorile finale ale următoarelor caracteristici probabilistice:

probabilitățile stărilor sistemului (post diagnostic);
numărul mediu de mașini din sistem (la service și la coadă);
durata medie a șederii unei mașini în sistem (pentru service și la coadă);
numărul mediu de mașini în coada de service;
durata medie de timp în care o mașină este în linie.

Decizie
1. Parametrul debitului de serviciu m și debitul redus al vehiculului p sunt definite în exemplul 3.2:
m \u003d 0,952; p \u003d 0,893.
2. Să calculăm probabilitățile limitative ale sistemului prin formule
P 0 \u003d 1-ρ \u003d 1-0.893 \u003d 0.107
P 1 \u003d (1-ρ) ρ \u003d (1-0.893) 0.893 \u003d 0.096
P 2 \u003d (1-ρ) ρ 2 \u003d (1-0.893) 2 0.893 \u003d 0.085
P 3 \u003d (1-ρ) ρ 3 \u003d (1-0.893) 3 0.893 \u003d 0.076
P 4 \u003d (1-ρ) ρ 4 \u003d (1-0.893) 4 0.893 \u003d 0.068
P 5 \u003d (1-ρ) ρ 5 \u003d (1-0.893) 5 0.893 \u003d 0.061
etc.
Trebuie remarcat faptul că R about determină proporția de timp în care postul de diagnostic este forțat să fie inactiv (inactiv). În exemplul nostru, este de 10,7%, deoarece P despre= 0,107.
3. Numărul mediu de mașini din sistem (la service și la coadă):
4. Durata medie de ședere a unui client în sistem:

6. Durata medie de ședere a mașinii în coadă
7. Capacitatea relativă a sistemului:
adică fiecare cerere care intră în sistem va fi servită.
8. Lățime de bandă absolută: ȘI\u003d l q\u003d 0,85 1 \u003d 0,85
Trebuie remarcat faptul că compania care efectuează diagnosticarea vehiculelor este interesată în primul rând de numărul de clienți care vor vizita postul de diagnosticare atunci când limita lungimii cozii este ridicată.
Să presupunem că, în versiunea originală, numărul locurilor de parcare pentru mașinile sosite a fost egal cu trei (a se vedea exemplul 3.2). Frecvența m a situațiilor în care o mașină care ajunge la postul de diagnosticare nu poate intra în coadă:

t\u003d l P N

În exemplul nostru, cu N \u003d 3 + 1 \u003d 4 și p \u003d 0,893,
m \u003d l P aproximativp 4 \u003d 0,85 0,248 0,8934 0,134 mașini pe oră.
Cu un mod de funcționare de 12 ore a postului de diagnosticare, acest lucru este echivalent cu faptul că postul de diagnosticare în medie pe schimb (zi) va pierde 12 · 0,134 \u003d 1,6 vehicule.
Eliminarea limitei de lungime a cozii ne permite să creștem numărul de clienți deserviți în exemplul nostru cu o medie de 1,6 mașini pe schimb (12 ore de lucru) la postul de diagnosticare. Este clar că decizia de extindere a spațiului de parcare pentru mașinile care sosesc la postul de diagnosticare ar trebui să se bazeze pe o evaluare a pagubelor economice cauzate de pierderea clienților cu doar trei locuri de parcare pentru aceste mașini.

CMO multicanal cu coadă nelimitată

Să luăm în considerare problema. Există un QS cu canal n, cu o coadă nelimitată. Fluxul de creanțe care sosesc la QS are intensitate λ, iar fluxul de serviciu are intensitate μ. Este necesar să se găsească probabilitățile limitative ale stărilor QS și indicatorii eficacității sale.

Sistemul poate fi într-una din stările S 0, S 1, S 2, ..., S k, ..., S n, ..., - numerotate după numărul de solicitări din QS: S 0 - nu există cereri în sistem (toate canalele sunt gratuite) ; S 1 - un canal este ocupat, restul sunt gratuite; S 2 - două canale sunt ocupate, restul sunt libere; ..., S k - k canale sunt ocupate, restul sunt libere; ..., S n - toate n canalele sunt ocupate (nu există coadă); S n + 1 - toate n canalele sunt ocupate, există un client în coadă; ..., S n + r - toate ncanale, raplicațiile sunt în coadă, ....

Graficul stării sistemului este prezentat în Fig. 9. Rețineți că, spre deosebire de QS-ul anterior, intensitatea fluxului de serviciu (transferul sistemului dintr-o stare în alta de la dreapta la stânga) nu rămâne constantă și, pe măsură ce numărul de cereri din QS crește de la 0 la n, crește de la m la nm , deoarece numărul de canale de servicii crește în consecință. Când numărul de solicitări din QS este mai mare decât n, debitul serviciului rămâne egal cu nm.

numărul mediu de aplicații în coadă
, (50)
numărul mediu de solicitări din sistem
Sistem L \u003d L och + ρ, (51)
Timpul mediu de ședere al unei cereri în coadă și timpul mediu de ședere al unei cereri în sistem, ca înainte, sunt găsite de formulele Little (42) și (41).
Cometariu. Pentru QS cu o coadă nelimitată la r< 1 любая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена, т.е. вероятность отказа P отк = 0, относительная пропускная способность Î\u003d 1, iar debitul absolut este egal cu intensitatea fluxului de solicitări, adică ȘI\u003d l.

QS cu coadă limitată

QS cu coadă limitată. QS cu o coadă limitată diferă de problemele luate în considerare mai sus doar prin faptul că numărul de solicitări în coadă este limitat (nu poate depăși unele date t).Dacă o nouă reclamație ajunge în momentul în care toate locurile din coadă sunt ocupate, aceasta lasă QS neservite, adică devine respins.
Evident, pentru a calcula probabilitățile limitative ale stărilor și indicatorii de eficiență ai unui astfel de QS, se poate utiliza aceeași abordare ca mai sus, cu diferența că nu este necesar să rezumăm o progresie infinită (așa cum, de exemplu, am făcut la derivarea formulei (33)), ci o valoare finită ...
La fel ca înainte, timpul mediu petrecut de o aplicație în coadă și în sistem este determinat de formulele lui Little (44) și (43).
QS cu timp de așteptare limitat. În practică, CMO-urile sunt adesea întâlnite cu așa-numitele aplicații „nerăbdătoare”. Astfel de solicitări pot părăsi coada dacă timpul de așteptare depășește o anumită valoare. În special, astfel de solicitări apar în diferite sisteme tehnologice, în care o întârziere la începerea serviciului poate duce la pierderea calității produsului, în sistemele de control operațional, atunci când mesajele urgente își pierd valoarea (sau chiar semnificația) dacă nu ajung la service într-un anumit timp.

În cele mai simple modele matematice ale unor astfel de sisteme, se presupune că un client poate fi în coadă pentru un timp aleatoriu distribuit conform unei legi exponențiale cu un anumit parametru υ, adică putem presupune condiționat că fiecare client din coada de service poate părăsi sistemul cu intensitate υ.
Indicatorii corespunzători ai eficacității QS cu timp limitat sunt obținuți pe baza rezultatelor obținute pentru procesul de deces și reproducere.

În concluzie, observăm că, în practică, există adesea sisteme de servicii în buclă închisă, pentru care fluxul de cereri depinde în mod semnificativ de starea QS în sine. De exemplu, putem cita situația în care unele mașini ajung la baza de reparații din locurile de funcționare: este clar că cu cât sunt mai multe mașini în stare de reparații, cu atât acestea continuă să funcționeze mai puțin și cu atât mai puțin debitul mașinilor nou furnizate pentru reparații. Un QS închis se caracterizează printr-un număr limitat de surse de revendicări și fiecare sursă este „blocată” pe durata deservirii revendicării sale (adică nu emite revendicări noi). În astfel de sisteme, pentru un număr finit de stări ale QS, probabilitățile limitative vor exista pentru orice valori ale intensităților fluxurilor de creanțe și servicii. Ele pot fi calculate dacă ne întoarcem din nou la procesul de moarte și reproducere.

funcționarea sau eficiența sistemului de așteptare sunt după cum urmează.

Pentru OCP cu respingeri:

Pentru CMO cu așteptare nelimitată atât capacitatea absolută, cât și cea relativă își pierd sensul, deoarece fiecare cerere primită va fi servită mai devreme sau mai târziu. Pentru un astfel de QS, indicatorii importanți sunt:

Pentru Tip mixt se folosesc ambele grupuri de indicatori: ca relativ și lățime de bandă absolutăși caracteristicile așteptării.

În funcție de scopul operației de așteptare, oricare dintre indicatorii de mai sus (sau un set de indicatori) poate fi selectat ca criteriu de eficiență.

Model analitic Un QS este un set de ecuații sau formule care permit determinarea probabilităților stărilor sistemului în cursul funcționării sale și calcularea indicatorilor de performanță pe baza caracteristicilor cunoscute ale fluxului de intrare și a canalelor de servicii.

Nu există un model analitic general pentru un QS arbitrar... Au fost dezvoltate modele analitice pentru un număr limitat de cazuri speciale de QS. Modelele analitice care reprezintă mai mult sau mai puțin exact sistemele reale sunt de obicei complexe și dificil de vizualizat.

Modelarea analitică a QS este mult facilitată dacă procesele care au loc în QS sunt Markov (fluxurile de aplicații sunt cele mai simple, timpii de serviciu sunt distribuiți exponențial). În acest caz, toate procesele din QS pot fi descrise prin ecuații diferențiale obișnuite, iar în cazul limitativ, pentru stări staționare - prin ecuații algebrice liniare și, după ce le-au rezolvat, determină indicatorii de eficiență selectați.

Să luăm în considerare exemple de unele QS.

2.5.1. QS multicanal cu eșecuri

Exemplul 2.5... Trei inspectori de trafic verifică notele de parcurs ale șoferilor de camioane. Dacă cel puțin un inspector este liber, camionul care trece este oprit. Dacă toți inspectorii sunt ocupați, camionul circulă fără întârziere. Fluxul de camioane este cel mai simplu, timpul de verificare este aleatoriu cu o distribuție exponențială.

Această situație poate fi simulată de un QS cu trei canale cu eșecuri (din rândul său). Sistemul este deschis, cu aplicații omogene, monofazat, cu canale absolut fiabile.

Descrierea stărilor:

Toți inspectorii sunt liberi;

Un inspector este ocupat;

Doi inspectori sunt ocupați;

Trei inspectori sunt ocupați.

Graficul stării sistemului este prezentat în Fig. 2.11.

Figura: 2.11.

Pe grafic: - intensitatea fluxului de camioane; - intensitatea verificărilor documentelor de către un inspector auto.

Simulările sunt efectuate pentru a identifica partea vehiculelor care nu vor fi testate.

Decizie

Partea dorită a probabilității este probabilitatea ca toți cei trei inspectori să fie angajați. Deoarece graficul de stare reprezintă o schemă tipică de „moarte și reproducere”, o vom găsi folosind dependențe (2.2).

Capacitatea acestui post de inspectori de trafic poate fi caracterizată prin debit relativ:

Exemplul 2.6... Un grup de trei ofițeri a fost desemnat să primească și să proceseze rapoarte de la grupul de recunoaștere din departamentul de informații al asociației. Intensitatea preconizată a fluxului de rapoarte este de 15 rapoarte pe oră. Timpul mediu de procesare a unui raport de către un singur ofițer -. Fiecare ofițer poate primi rapoarte de la orice grup de recunoaștere. Ofițerul eliberat procesează ultimul dintre rapoartele primite. Rapoartele primite trebuie procesate cu o probabilitate de cel puțin 95%.

Determinați dacă echipa alocată formată din trei ofițeri este suficientă pentru a finaliza sarcina atribuită.

Decizie

Grupul de ofițeri funcționează ca un sistem de refuz format din trei canale.

Flux de rapoarte cu intensitate poate fi considerat cel mai simplu, deoarece este un total de mai multe grupuri de recunoaștere. Intensitatea serviciului ... Legea distribuției este necunoscută, dar acest lucru este nesemnificativ, deoarece s-a demonstrat că pentru sistemele cu defecțiuni, poate fi arbitrar.

Descrierea stărilor și graficul de stare al QS vor fi similare cu cele date în exemplul 2.5.

Deoarece graficul de stare este o schemă de „moarte și reproducere”, există expresii gata făcute pentru probabilitățile de stare limitative pentru acesta:

Se cheamă atitudinea intensitate redusă a fluxului de aplicații... Înțelesul său fizic este după cum urmează: valoarea este numărul mediu de daune care sosesc la QS în timpul timpului mediu de serviciu al unei daune.

În exemplu .

În QS considerat, un eșec apare atunci când toate cele trei canale sunt ocupate, adică. Atunci:

pentru că probabilitatea de eșec în procesarea rapoartelor este mai mult de 34% (), este necesar să se mărească personalul grupului. Să dublăm compoziția grupului, adică CMO va avea acum șase canale și vom calcula:

Astfel, doar un grup de șase ofițeri vor putea procesa rapoartele primite cu o probabilitate de 95%.

2.5.2. CMO multicanal cu așteptare

Exemplul 2.7... Există 15 mijloace de trecere de același tip pe secțiunea de trecere a râului. Fluxul vehiculelor care intră în trecere este în medie de 1 unitate / min, timpul mediu pentru traversarea unei unități de echipament este de 10 minute (ținând cont de revenirea vehiculului de transport).

Evaluează principalele caracteristici ale traversării, inclusiv probabilitatea unei traversări imediate imediat după sosirea unui vehicul.

Decizie

Lățime de bandă absolută , adică tot ce se apropie de feribot este aproape imediat feribotat.

Numărul mediu de facilități de trecere în funcțiune:

Utilizarea feribotului și ratele de nefuncționare:

De asemenea, a fost dezvoltat un program pentru a rezolva exemplul. Intervalele de timp pentru sosirea echipamentului la trecere, ora traversării sunt luate pentru a fi distribuite conform legii exponențiale.

Ratele de utilizare a feribotului după 50 de curse sunt practic aceleași: .

Lungimea maximă a cozii este de 15 unități, timpul mediu petrecut în coadă este de aproximativ 10 minute.

În activitățile comerciale, CMO-urile cu așteptare (coadă) sunt mai frecvente.

Luați în considerare un QS simplu cu un canal cu o coadă limitată, în care numărul de locuri din coada m este o valoare fixă. În consecință, o cerere care ajunge în momentul în care toate locurile din coadă sunt ocupate nu este acceptată pentru service, nu intră în coadă și părăsește sistemul.

Graficul acestui QS este prezentat în Fig. 3.4 și coincide cu graficul din Fig. 2.1 descrierea procesului de „naștere - moarte”, cu diferența că în prezența unui singur canal.

Graficul etichetat al procesului „naștere - moarte” al unui serviciu, toate intensitățile fluxurilor de servicii sunt egale

Stările QS pot fi reprezentate după cum urmează:

S0 - canalul de servicii este gratuit,

S, - canalul de serviciu este ocupat, dar nu există coadă,

S2 - canalul de servicii este ocupat, există un client în coadă,

S3 - canalul de serviciu este ocupat, există două solicitări în coadă,

Sm + 1 - canalul de serviciu este ocupat, toate m locurile din coadă sunt ocupate, orice client următor este respins.

Pentru a descrie un proces QS aleatoriu, puteți utiliza regulile și formulele prezentate anterior. Să scriem expresii care determină probabilitățile limitative ale stărilor:

În acest caz, expresia pentru p0 poate fi scrisă mai simplu, folosind faptul că numitorul conține o progresie geometrică față de p, apoi după transformările adecvate obținem:

c \u003d (1- s)

Această formulă este valabilă pentru toți p diferiți de 1, dar dacă p \u003d 1, atunci p0 \u003d 1 / (m + 2) și toate celelalte probabilități sunt, de asemenea, egale cu 1 / (m + 2).

Dacă presupunem m \u003d 0, atunci trecem de la considerarea unui QS cu un singur canal cu așteptare la QS cu un singur canal deja considerat cu refuz de serviciu.

Într-adevăr, expresia pentru probabilitatea limitativă p0 în cazul m \u003d 0 are forma:

po \u003d m / (l + m)

Și în cazul lui l \u003d m are valoarea p0 \u003d 1/2.

Să definim principalele caracteristici ale unui sistem de așteptare cu un singur canal cu așteptare: debitul relativ și absolut, probabilitatea de eșec, precum și lungimea medie a cozii și timpul mediu de așteptare pentru o aplicație în coadă.

O cerere este respinsă dacă ajunge într-un moment în care QS este deja în starea Sm + 1 și, prin urmare, toate locurile din coadă da sunt ocupate și un canal servește

Prin urmare, probabilitatea eșecului este determinată de probabilitatea apariției

State Sm + 1:

Potk \u003d pm + 1 \u003d сm + 1 * p0

Debitul relativ sau fracțiunea de creanțe deservite care sosesc pe unitate de timp este determinată de expresie

Q \u003d 1- potk \u003d 1- сm + 1 * p0

lățimea de bandă absolută este:

Numărul mediu de solicitări L care stau în coada de serviciu este determinat de așteptarea matematică a unei variabile aleatoare k - numărul de cereri în coadă

variabila aleatoare k ia următoarele valori întregi:

1 - există o aplicație în coadă,
2 - există două aplicații în coadă,

t-in coada toate locurile sunt ocupate

Probabilitățile acestor valori sunt determinate de probabilitățile corespunzătoare ale stărilor, începând de la starea S2. Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete k este descrisă după cum urmează:

Tabelul 1. Legea distribuției unei variabile aleatorii discrete

Așteptarea matematică a acestei variabile aleatorii este:

Loch \u003d 1 * p2 + 2 * p3 + ... + m * pm + 1

În cazul general, pentru p ≥ 1, această sumă poate fi transformată folosind modele de progresie geometrică într-o formă mai convenabilă:

Lp \u003d p2 * 1- pm * (m-m * p + 1)* p0

În cazul special pentru p \u003d 1, când toate probabilitățile pk sunt egale, se poate folosi expresia pentru suma termenilor seriei numerice

1 + 2 + 3 + m \u003d m (m + 1)

Apoi obținem formula

L "och \u003d m (m + 1)* p0 \u003d m (m + 1)(p \u003d 1).

Aplicând raționamente și transformări similare, putem arăta că timpul mediu de așteptare pentru deservirea unei revendicări la coadă este determinat de micile formule.

Pt \u003d Lp / A (la p? 1) și T1p \u003d L "pt / A (la p \u003d 1).

Un astfel de rezultat, atunci când se dovedește că Pt ~ 1 / l, poate părea ciudat: cu o creștere a intensității fluxului de cereri, se pare că lungimea cozii ar trebui să crească și timpul mediu de așteptare să scadă. Cu toate acestea, trebuie avut în vedere faptul că, în primul rând, valoarea lui Loc este o funcție a lui l și m și, în al doilea rând, QS în cauză are o lungime a cozii limitată de cel mult m cereri.

O aplicație primită de QS în momentul în care toate canalele sunt ocupate primește un refuz și, prin urmare, timpul „așteptării” acesteia în QS este egal cu zero. Acest lucru duce în cazul general (la p ≥ 1) la o scădere a Tochrostom l, deoarece ponderea acestor cereri crește odată cu creșterea l.

Dacă renunțăm la limitarea lungimii cozii, adică tind m - \u003e\u003e ?, atunci cazurile p< 1 и р?1 начинают существенно различаться. Записанные выше формулы для вероятностей состояний преобразуются в случае р < 1 к виду

Când k este suficient de mare, probabilitatea pk tinde la zero. Prin urmare, debitul relativ va fi Q \u003d 1, iar debitul absolut va fi egal cu A - l Q - l, prin urmare, toate cererile primite sunt servite, iar lungimea medie a cozii va fi egală cu:

Lp \u003d p21-p

și timpul mediu de așteptare conform formulei lui Little

Punct \u003d Loch / A

În limita p<< 1 получаем Точ = с / м т.е. среднее время ожидания быстро уменьшается с увеличением интенсивности потока обслуживания. В противном случае при р? 1 оказывается, что в СМО отсутствует установившийся режим. Обслуживание не успевает за потоком заявок, и очередь неограниченно растет со временем (при t > ?). Prin urmare, probabilitățile limitative ale stărilor nu pot fi determinate: pentru Q \u003d 1 ele sunt egale cu zero. De fapt, CMO nu își îndeplinește funcțiile, deoarece nu este capabilă să deservească toate aplicațiile primite.

Este ușor să se determine că ponderea aplicațiilor deservite și, respectiv, debitul absolut sunt în medie s și m, cu toate acestea, o creștere nelimitată a cozii și, prin urmare, timpul de așteptare în aceasta, duce la faptul că, după un timp, aplicațiile încep să se acumuleze în coadă pentru un timp nelimitat.

Ca una dintre caracteristicile QS, se utilizează timpul mediu Tcmo al solicitării în QS, care include timpul mediu petrecut în coadă și timpul mediu de service. Această valoare este calculată utilizând formulele lui Little: dacă lungimea cozii este limitată, numărul mediu de aplicații din coadă este:

Lсmo \u003d m + 1;2

Tsmo \u003d Lсmo;pentru p? 1

Și apoi timpul mediu petrecut de o revendicare în sistemul de așteptare (atât în \u200b\u200bcoadă, cât și sub serviciu) este:

Tsmo \u003d m + 1la p? 1 2m

Luați în considerare cel mai simplu sistem de așteptare cu așteptare - un sistem cu un singur canal, care primește un flux de solicitări cu intensitate; intensitatea serviciului (adică, în medie, un canal ocupat continuu va emite revendicări deservite pe unitate (timp). O cerere care ajunge în momentul în care canalul este ocupat intră în coadă și așteaptă service).

Sistem cu lungime de coadă limitată. În primul rând, să presupunem că numărul de locuri din coadă este limitat de numărul, adică, dacă un client ajunge într-un moment în care există deja aplicații în coadă, acesta lasă sistemul neservit. Mai mult, având tendința la infinit, obținem caracteristicile unui QS cu un singur canal fără restricții asupra lungimii cozii.

Vom numera stările QS în funcție de numărul de revendicări din sistem (atât servite, cât și în așteptare):

Canalul este gratuit;

Canalul este ocupat, nu există coadă;

Canalul este ocupat, o aplicație este în coadă;

Canalul este ocupat, aplicațiile sunt în coadă;

Canalul este ocupat, multe aplicații sunt în coadă.

GSP este prezentat în Fig. 5.8. Toate intensitățile fluxurilor de evenimente care se transferă în sistem de-a lungul săgeților de la stânga la dreapta sunt egale și de la dreapta la stânga -. Într-adevăr, de-a lungul săgeților de la stânga la dreapta, sistemul transferă fluxul de clienți (de îndată ce clientul ajunge, sistemul trece la starea următoare) și de la dreapta la stânga, fluxul de „eliberări” al canalului ocupat, care își schimbă intensitatea (de îndată ce următorul client este servit, canalul fie va fi gratuit, fie va scădea numărul de aplicații din coadă).

Figura: 5.8. CMO monocanal cu așteptare

Afișat în fig. 5.8 Schema este o schemă de reproducere și deces. Folosind soluția generală (5.32) - (5.34), scriem expresii pentru probabilitățile limitative ale stărilor (vezi și (5.40)):

sau folosind:

Ultima linie din (5.45) conține o progresie geometrică cu primul termen 1 și numitorul p; de unde obținem:

în acest sens, probabilitățile limitative iau forma:

Expresia (5.46) este valabilă numai atunci când (când dă o incertitudine a formei). Suma progresiei geometrice cu numitorul este și, în acest caz

Să determinăm caracteristicile QS: probabilitatea de refuz, debitul relativ, debitul absolut, lungimea medie a cozii, numărul mediu de aplicații asociate sistemului, timpul mediu de așteptare în coadă, timpul mediu petrecut de aplicație în QS

Probabilitatea de eșec. Evident, aplicația este respinsă numai dacă canalul este ocupat și toate m locurile din coadă sunt, de asemenea:

Lățime de bandă relativă:

Lățime de bandă absolută:

Lungimea medie a cozii. Să găsim numărul mediu de aplicații în coadă ca așteptarea matematică a unei variabile aleatorii discrete - numărul de aplicații în coadă:

Cu probabilitate, există o aplicație în coadă, cu probabilitate - două aplicații, în general, există aplicații în coadă etc., de unde:

Deoarece suma din (5.50) poate fi interpretată ca o derivată în raport cu suma unei progresii geometrice:

Înlocuind această expresie în (5.50) și folosind din (5.47), obținem în cele din urmă:

Numărul mediu de comenzi din sistem. Apoi, obținem o formulă pentru numărul mediu de solicitări asociate sistemului (atât în \u200b\u200bcoadă, cât și deservite). Întrucât, unde este numărul mediu de daune aflate în serviciu și este cunoscut, rămâne de stabilit. Deoarece există un singur canal, numărul revendicărilor deservite poate fi egal (cu probabilitate) sau 1 (cu probabilitate), de unde:

iar numărul mediu de aplicații legate de QS este

Timpul mediu de așteptare pentru o solicitare în coadă. Să-l desemnăm; dacă un client ajunge la sistem la un moment dat, atunci cu probabilitate canalul de serviciu nu va fi ocupat și nu va trebui să facă coadă (timpul de așteptare este zero). Cel mai probabil, va apărea în sistem în timp ce deserviți o cerere, dar nu va exista nicio coadă în fața acesteia, iar solicitarea va aștepta începerea întreținerii sale pentru o perioadă de timp (timpul mediu de deservire a unei cereri). Cu o probabilitate, va exista un altul în coadă înainte de cererea luată în considerare, iar timpul de așteptare în medie va fi egal etc.

Dacă, adică, atunci când un client nou sosit găsește canalul de servicii ocupat și clienții sunt în coadă (probabilitatea acestui lucru), atunci în acest caz clientul nu face coadă (și nu este deservit), deci timpul de așteptare este zero. Timpul mediu de așteptare va fi:

dacă substituim aici expresiile probabilităților (5.47), obținem:

Aici am folosit relații (5.50), (5.51) (derivată a unei progresii geometrice), precum și din (5.47). Comparând această expresie cu (5.51), observăm că, cu alte cuvinte, timpul mediu de așteptare este egal cu numărul mediu de clienți din coadă împărțit la intensitatea fluxului de aplicații.

Timpul mediu petrecut de o cerere în sistem. Să denotăm așteptarea unei variabile aleatorii ca timpul petrecut de o revendicare în QS, care este suma timpului mediu de așteptare în coadă și timpul mediu de serviciu. Dacă încărcarea sistemului este de 100%, evident, altfel

Exemplul 5.6. O stație de benzină (AZS) este un SMO cu un singur canal de serviciu (o coloană).

Amplasamentul stației permite să se aștepte nu mai mult de trei mașini la realimentare simultan. Dacă există deja trei mașini în coadă, următoarea mașină care ajunge la gară nu intră în coadă. Fluxul de mașini care sosesc pentru realimentare are o intensitate (mașină pe minut). Procesul de realimentare durează în medie 1,25 minute.

Defini:

probabilitatea de eșec;

debitul relativ și absolut al benzinăriilor;

numărul mediu de mașini care așteaptă să fie realimentate;

numărul mediu de mașini la stația de alimentare (inclusiv mașinile deservite);

timpul mediu de așteptare pentru o mașină la coadă;

timpul mediu petrecut de o mașină la o benzinărie (inclusiv service).

cu alte cuvinte, timpul mediu de așteptare este egal cu numărul mediu de clienți din coadă împărțit la intensitatea fluxului de aplicații.

Mai întâi găsim intensitatea redusă a fluxului de aplicații:

După formule (5.47):

Probabilitatea de eșec.

Debitul relativ al CMO

Debitul absolut al CMO

Mașini pe minut.

Găsim numărul mediu de mașini în coadă după formula (5.51)

adică numărul mediu de mașini care așteaptă la coadă pentru realimentare este de 1,56.

Adăugând la această valoare numărul mediu de mașini aflate în service

obținem numărul mediu de mașini asociate benzinăriei.

Timpul mediu de așteptare pentru o mașină în coadă conform formulei (5.54)

Adăugând la această valoare, obținem timpul mediu pe care mașina îl petrece la benzinărie:

Sisteme de așteptare nelimitate... În astfel de sisteme, valoarea m nu este limitată și, prin urmare, principalele caracteristici pot fi obținute trecând la limită în expresiile obținute anterior (5.44), (5.45) etc.

Rețineți că numitorul din ultima formulă (5.45) este suma unui număr infinit de termeni ai progresiei geometrice. Această sumă converge atunci când progresia este infinit descrescătoare, adică când.

Se poate dovedi că există o condiție în care există un regim de stare stabilă limitativ într-un sistem de așteptare cu așteptare, altfel un astfel de regim nu există și coada la va crește la nesfârșit. Prin urmare, în cele ce urmează, se presupune aici că.

Dacă, atunci relațiile (5.47) iau forma:

Dacă nu există restricții privind lungimea cozii, fiecare client care intră în sistem va fi deservit, prin urmare,

Obținem numărul mediu de solicitări din coadă de la (5.51) pentru:

Numărul mediu de solicitări din sistem conform formulei (5.52) la

Timpul mediu de așteptare îl obținem din formulă

(5.53) pentru:

În cele din urmă, timpul mediu de ședere al unei cereri în QS este

CMO multicanal cu așteptare

Sistem de coadă limitat... Luați în considerare un sistem de așteptare a canalelor cu o așteptare, care primește un flux de cereri cu o intensitate; intensitatea serviciului (pentru un canal); numărul de locuri din coadă.

Stările sistemului sunt numerotate în funcție de numărul de solicitări conectate de sistem:

fără coadă:

Toate canalele sunt gratuite;

Un canal este ocupat, restul sunt gratuite;

Canalele sunt ocupate, restul nu;

Toate canalele sunt ocupate, nu există canale gratuite;

există o coadă:

Toate cele n canale sunt ocupate; o aplicație este în coadă;

Toate cele n canale sunt ocupate, r clienții în coadă;

Toate cele n canale sunt ocupate, r clienții în coadă.

GSP este prezentat în Fig. 5.9. Fiecare săgeată are intensitatea corespunzătoare a fluxurilor de evenimente. De-a lungul săgeților de la stânga la dreapta, sistemul este întotdeauna transferat de același flux de solicitări cu intensitate, de-a lungul săgeților de la dreapta la stânga, sistemul este transferat la fluxul de serviciu, a cărui intensitate este înmulțită cu numărul de canale ocupate.

Figura: 5.9. CMO multicanal cu așteptare

Graficul este tipic pentru procesele de reproducere și moarte, pentru care soluția a fost obținută anterior (5.29) - (5.33). Să scriem expresii pentru probabilitățile limitative ale stărilor folosind notația: (aici se folosește o expresie pentru suma unei progresii geometrice cu un numitor).

Astfel, se găsesc toate probabilitățile de stare.

Să definim caracteristicile eficienței sistemului.

Probabilitatea de eșec. Cererea primită este refuzată dacă toate canalele și toate locurile din coadă sunt ocupate:

Debitul relativ completează probabilitatea de eșec la unul:

Debitul absolut al CMO:

Numărul mediu de canale ocupate. Pentru QS cu refuzuri, acesta a coincis cu numărul mediu de aplicații din sistem. Pentru QS cu o coadă, numărul mediu de canale ocupate nu coincide cu numărul mediu de aplicații din sistem: această din urmă valoare diferă de prima de numărul mediu de aplicații din coadă.

Să indicăm numărul mediu de canale ocupate. Fiecare canal ocupat servește, în medie, revendicări pe unitate de timp, iar QS în ansamblu servește, în medie, revendicări pe unitate de timp. Împărțind unul cu celălalt, obținem:

Numărul mediu de solicitări din coadă poate fi calculat direct ca așteptarea matematică a unei variabile aleatorii discrete:

Aici din nou (expresie între paranteze) apare derivata sumei unei progresii geometrice (vezi mai sus (5.50), (5.51) - (5.53)), folosind relația pentru aceasta, obținem:

Numărul mediu de aplicații din sistem:

Timpul mediu de așteptare pentru o solicitare în coadă. Să luăm în considerare o serie de situații care diferă în starea în care reclamația nou-sosită va găsi sistemul și cât timp va trebui să aștepte repararea.

Dacă aplicația constată că nu toate canalele sunt ocupate, nu va trebui să aștepte deloc (termenii corespunzători din așteptarea matematică sunt egali cu zero). Dacă o solicitare ajunge într-un moment în care toate canalele sunt ocupate, dar nu există coadă, va trebui să aștepte un timp mediu egal cu (deoarece „fluxul de eliberare” al canalelor are o intensitate). Dacă o aplicație găsește toate canalele ocupate și o aplicație se află în fața sa în coadă, va trebui să aștepte în medie o perioadă de timp (pentru fiecare aplicație din fața ei) etc. Dacă aplicația intră în coada de aplicații, va trebui să aștepte în medie o perioadă ... Dacă o aplicație nou-ajunsă se află în coada de aplicații, atunci nu va aștepta deloc (dar nici nu va fi servită). Găsim timpul mediu de așteptare înmulțind fiecare dintre aceste valori cu probabilitățile corespunzătoare:

La fel ca în cazul unui QS cu un singur canal cu așteptare, observăm că această expresie diferă de expresia pentru lungimea medie a cozii (5,59) numai printr-un factor, adică

Timpul mediu de ședere al unei aplicații în sistem, ca și pentru un QS cu un singur canal, diferă de timpul mediu de așteptare de timpul mediu de serviciu înmulțit cu randamentul relativ:

Sisteme cu lungime de coadă nelimitată... Am luat în considerare sistemul de așteptare a canalelor în așteptare, când nu mai pot exista cereri în coadă în același timp.

Ca și înainte, atunci când se analizează sisteme fără restricții, este necesar să se ia în considerare relațiile obținute la.

Obținem probabilitățile stărilor din formule (5.56) trecând la limită (la). Rețineți că suma progresiei geometrice corespunzătoare converge la și diverg la. Presupunând că și direcționând valoarea m la infinit în formulele (5.56), obținem expresii pentru probabilitățile limitative ale stărilor:

Probabilitate de eșec, debit relativ și absolut. Deoarece fiecare aplicație va fi servită mai devreme sau mai târziu, caracteristicile randamentului QS vor fi:

Obținem numărul mediu de solicitări din coadă de la (5.59):

iar timpul mediu de așteptare este de la (5.60):

Numărul mediu de canale ocupate, ca și până acum, este determinat prin lățimea de bandă absolută:

Numărul mediu de solicitări asociate cu QS este determinat ca numărul mediu de solicitări în coadă plus numărul mediu de solicitări în serviciu (numărul mediu de canale ocupate):

Exemplul 5.7. O benzinărie cu două dozatoare () servește fluxul de mașini la o intensitate (mașini pe minut). Timp mediu de service pe mașină

Nu există altă stație de benzină în această zonă, astfel încât coada mașinilor din fața benzinăriei poate crește aproape la nesfârșit. Găsiți caracteristicile OCP.

Deoarece coada nu crește infinit și are sens să vorbim despre modul limitat de funcționare staționară a QS. Folosind formulele (5.61), găsim probabilitățile stărilor:

Găsim numărul mediu de canale ocupate împărțind randamentul absolut al QS la rata serviciului:

Probabilitatea de a nu sta la coadă la o benzinărie va fi:

Numărul mediu de mașini în coadă:

Numărul mediu de mașini la o benzinărie:

Timpul mediu de așteptare în coadă:

Timpul mediu petrecut de o mașină la o benzinărie:

QS cu timp de așteptare limitat. Anterior, am considerat sistemele cu așteptare limitate doar de lungimea cozii (numărul de aplicații simultan în coadă). Într-o astfel de coadă, o aplicație care a intrat odată în coadă nu o părăsește până când așteaptă service. În practică, există QS-uri de alt tip, în care o aplicație, după ce a așteptat o vreme, poate părăsi coada (așa-numitele aplicații „nerăbdătoare”).

Luați în considerare un QS de acest tip, presupunând că limita timpului de așteptare este o variabilă aleatorie.

Să presupunem că există un canal QS cu așteptare, în care numărul de locuri din coadă nu este limitat, dar timpul de ședere al unei aplicații în coadă este o variabilă aleatorie cu o valoare medie, astfel, pentru fiecare client din coadă, un fel de flux de ieșire Poisson »Cu intensitatea aplicațiilor sunt în coadă, etc.

Graficul stărilor și tranzițiilor sistemului este prezentat în Fig. 5.10.

Figura: 5.10. QS cu timp de așteptare limitat

Marcăm acest grafic ca înainte; toate săgețile care conduc de la stânga la dreapta vor avea intensitatea fluxului de aplicații. Pentru stările fără coadă, săgețile care duc de la ele la dreapta la stânga vor avea, ca înainte, intensitatea totală a fluxului care deservesc toate canalele ocupate. În ceea ce privește statele cu o coadă, săgețile care conduc de la ele de la dreapta la stânga vor avea debitul total de deservire a tuturor canalelor plus debitul corespunzător de ieșire din coadă. Dacă există aplicații în coadă, atunci intensitatea totală a fluxului de ieșire va fi egală cu.

După cum se poate vedea din grafic, există un model de reproducere și moarte; aplicând expresii generale pentru probabilitățile limitative ale stărilor din această schemă (folosind notația prescurtată), scriem:

Să luăm în considerare câteva caracteristici ale QS cu așteptare limitată în comparație cu QS considerate anterior cu cereri de „pacient”.

În cazul în care lungimea cozii nu este limitată și clienții sunt „răbdători” (nu părăsiți coada), atunci regimul de limitare staționară există doar în caz (pentru că progresia geometrică infinită corespunzătoare divergă, ceea ce corespunde fizic creșterii nelimitate a cozii pentru).

Dimpotrivă, în QS cu clienți „nerăbdători” care părăsesc coada mai devreme sau mai târziu, modul de service stabilit este atins întotdeauna, indiferent de rata redusă a fluxului de clienți, fără a însuma seria infinită (5.63). Din (5.64) obținem:

iar numărul mediu de canale ocupate incluse în această formulă poate fi găsit ca așteptarea matematică a unei variabile aleatorii care ia valori cu probabilități:

În concluzie, observăm că, dacă în formulele (5.62) trecem la limita la (sau, care este același, la), atunci la va rezulta formulele (5.61), adică cererile „nerăbdătoare” vor deveni „răbdătoare”.

Luați în considerare un QS multicanal, la intrarea căruia ajunge un flux Poisson de revendicări cu o intensitate, iar intensitatea serviciului fiecărui canal este, numărul maxim posibil de locuri în coadă este limitat de m. Stările discrete ale QS sunt determinate de numărul de aplicații primite în sistem care pot fi înregistrate.

Toate canalele sunt gratuite;

Un singur canal este ocupat (oricare);

- doar două canale sunt ocupate (oricare);
- toate canalele sunt ocupate.

În timp ce QS se află în oricare dintre aceste stări, nu există coadă. După ce toate canalele de servicii sunt ocupate, solicitările ulterioare formează o coadă, determinând astfel starea ulterioară a sistemului:

Toate canalele sunt ocupate și o singură cerere este în coadă,

Toate canalele sunt ocupate și două aplicații sunt în coadă,

Toate canalele și toate locurile din coadă sunt ocupate,

Trecerea QS la starea cu un număr mare este determinată de fluxul de revendicări primite cu intensitate, în timp ce în funcție de condiție, deservirea acestor revendicări implică aceleași canale cu aceeași intensitate a fluxului de serviciu pentru fiecare canal. În acest caz, intensitatea totală a fluxului de serviciu crește odată cu conectarea de noi canale până la o astfel de stare când toate n canalele sunt ocupate. Odată cu apariția unei cozi, intensitatea serviciului crește mai mult, deoarece a atins deja valoarea maximă egală cu.

Să scriem expresii pentru probabilitățile limitative ale stărilor:

Expresia pentru poate fi transformată folosind formula exponențială pentru suma termenilor cu numitorul:

Formarea unei cozi este posibilă atunci când o aplicație nou sosită găsește în sistem cel puțin cerințele, adică atunci când există cerințe în sistem.

Aceste evenimente sunt independente, deci probabilitatea ca toate canalele să fie ocupate este suma probabilităților corespunzătoare

Prin urmare, probabilitatea de a face coadă este: