วัตถุควบคุมไดนามิกขนาดใหญ่ ปัญหามิติในการโปรแกรมไดนามิก

กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์

สหพันธรัฐรัสเซีย

มหาวิทยาลัยแห่งรัฐมอสโก

คณะฟิสิกส์

ภาควิชาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์วิธีการควบคุม

งาน

สำหรับงานหลักสูตร

"การควบคุมระบบไดนามิกเชิงเส้นอย่างเหมาะสมที่สุด"

หลักสูตร "การควบคุมที่เหมาะสมที่สุด"

เรียบเรียงโดย: ศาสตราจารย์ สาขาวิชาวิทยาศาสตรบัณฑิต อาฟานาซีเยฟ วี.เอ็น.

มอสโก 2014

1. เป้าหมายของการทำงาน

การออกแบบทางคณิตศาสตร์ของระบบควบคุมเชิงเส้นที่เหมาะสมที่สุด

1. เนื้อหาของงาน
   1. ศึกษาเนื้อหาทางทฤษฎีที่จำเป็นจากแหล่งที่มา
   2. รับวิธีแก้ไขปัญหาเชิงวิเคราะห์
   3. วาดแผนภาพบล็อกของระบบควบคุม
   4. การได้รับทักษะในการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบควบคุมโดยใช้แพ็คเกจแมทแล็บ.

1. เวลางาน

ภาคการศึกษาที่ 8 ปีที่ 4

การมอบหมายงานจะได้รับในสัปดาห์ที่ 5 ของโรงเรียน

การยอมรับงานที่เสร็จสมบูรณ์จะดำเนินการในสัปดาห์ที่ 10 และ 11

บทบัญญัติทางทฤษฎีพื้นฐาน

การกำหนดปัญหา

วัตถุควบคุมจำนวนมากสามารถอธิบายได้ค่อนข้างแม่นยำด้วยโมเดลไดนามิกเชิงเส้น ด้วยการเลือกเกณฑ์คุณภาพกำลังสองและข้อจำกัดกำลังสองอย่างชาญฉลาด ในกรณีนี้ จึงเป็นไปได้ที่จะสังเคราะห์อุปกรณ์ควบคุมที่ประสบความสำเร็จอย่างมากด้วยการป้อนกลับเชิงเส้น

ให้ควบคุมระบบไดนามิกที่อธิบายโดยสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น

(1)

ที่นี่: - สถานะของระบบ; - ควบคุมอินพุตของระบบ - เอาต์พุตของระบบ ดังนั้นเมทริกซ์เอ(ที), บี(ที), ซี(ที) มีมิติที่สอดคล้องกัน:นxน, นxร, มxn สมมติว่าไม่มีการกำหนดข้อจำกัดในการควบคุม

ให้เรากำหนดวัตถุประสงค์ของระบบจากมุมมองทางกายภาพ ให้เป็นเอาต์พุตที่ "ต้องการ" ของระบบ มีความจำเป็นต้องค้นหาการควบคุมดังกล่าวคุณ(t) ซึ่งระบบเกิดข้อผิดพลาด

(2)

จะ "เล็ก"

ตั้งแต่การบริหารคุณ(t) ในปัญหาที่อยู่ระหว่างการพิจารณาไม่ จำกัด ดังนั้นเพื่อหลีกเลี่ยงความพยายามอย่างมากในวงจรควบคุมและการใช้พลังงานสูงจึงเป็นไปได้ที่จะแนะนำข้อกำหนดที่เหมาะสมในเกณฑ์คุณภาพที่คำนึงถึงข้อเท็จจริงเหล่านี้

บ่อยครั้งสิ่งสำคัญคือต้องทำข้อผิดพลาด "เล็กๆ น้อยๆ" ในช่วงสุดท้ายของกระบวนการเปลี่ยนผ่าน

การแปลข้อกำหนดทางกายภาพเหล่านี้ไปเป็นรูปแบบฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์อย่างใดอย่างหนึ่งขึ้นอยู่กับหลายสาเหตุ บทนี้จะพิจารณาเกณฑ์คุณภาพคลาสส่วนตัวซึ่งมีแบบฟอร์มต่อไปนี้:

(3)

โดยที่ F, Q(t) เมทริกซ์กึ่งแน่นอนเชิงบวกที่มีมิติม x ม ; ร(ที) เมทริกซ์แน่นอนเชิงบวกที่มีมิติรxร

ให้เราพิจารณาสมาชิกแต่ละคนของฟังก์ชัน (3) เริ่มต้นด้วย แน่นอนตั้งแต่เมทริกซ์ถาม(ที) บวกกึ่งกำหนด ดังนั้นเทอมนี้จะไม่ติดลบสำหรับค่าใดๆอี(ที) และเท่ากับศูนย์ที่อี(ที)=0. เนื่องจาก โดยที่ q ij (t) องค์ประกอบเมทริกซ์ Q (t) และ e i (t) และ e j (t) ส่วนประกอบเวกเตอร์อี(ที) ข้อผิดพลาดขนาดใหญ่จึงถือว่า "แพงกว่า" มากกว่าข้อผิดพลาดเล็กๆ

ลองพิจารณาสมาชิกดูครับ. เพราะร(ที) เป็นเมทริกซ์แน่นอนเชิงบวก ดังนั้นคำนี้จึงเป็นค่าบวกสำหรับสิ่งใดๆ และ "ลงโทษ" ระบบสำหรับการดำเนินการควบคุมขนาดใหญ่อย่างรุนแรงมากกว่าสำหรับการดำเนินการขนาดเล็ก

ในที่สุด, . คำนี้มักเรียกว่าต้นทุนของรัฐสุดท้าย จุดประสงค์คือเพื่อรับประกัน "ความเล็กน้อย" ของข้อผิดพลาดในช่วงเวลาสุดท้ายของกระบวนการชั่วคราว

เกณฑ์คุณภาพ (3) มีความสะดวกทางคณิตศาสตร์และการย่อให้เล็กสุดนำไปสู่ความจริงที่ว่าระบบที่เหมาะสมที่สุดกลายเป็นเส้นตรง

ปัญหาการควบคุมที่เหมาะสมที่สุดมีการกำหนดไว้ดังนี้: จะได้รับระบบควบคุมไดนามิกเชิงเส้น (1) และฟังก์ชัน (3) จำเป็นต้องค้นหาการควบคุมที่เหมาะสมที่สุด เช่น การควบคุมภายใต้อิทธิพลที่ระบบ (1) เคลื่อนไหวในลักษณะที่จะลดฟังก์ชันการทำงาน (3) การค้นหาวิธีแก้ไขจะดำเนินการสำหรับปัญหาที่มีการเปลี่ยนแปลงมากมายในการดำเนินการควบคุมและปัญหาที่การดำเนินการควบคุมอยู่ในชุดที่กำหนด

1. ออกกำลังกาย
   1. ศึกษาวิธีการสร้างการควบคุมที่เหมาะสมที่สุดของระบบไดนามิกเชิงเส้น
   2. ตามหมายเลขตัวเลือก ให้นำเงื่อนไขปัญหาออกจากแอปพลิเคชัน
   3. ตรวจสอบคุณสมบัติการควบคุมและการสังเกต
   4. สร้างผู้สังเกตการณ์ Luenberger
   5. รับวิธีแก้ไขปัญหาเชิงวิเคราะห์
   6. วาดแผนภาพบล็อกของระบบควบคุมที่เหมาะสมที่สุด
   7. ศึกษาอิทธิพลของค่าสัมประสิทธิ์การถ่วงน้ำหนักต่อคุณภาพของกระบวนการชั่วคราวและคุณค่าของฟังก์ชันคุณภาพ
   8. การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบควบคุมโดยใช้แพ็คเกจแมทแล็บ

แอปพลิเคชัน

วัตถุควบคุม:

ฟังก์ชั่น: .

ตัวเลือกที่ 1

พิจารณาเมื่อ:

1. ;

ตัวเลือกหมายเลข 2

พิจารณาเมื่อ:

1. ;

ตัวเลือกหมายเลข 3

พิจารณาเมื่อ:

1. ;

ตัวเลือกหมายเลข 4

พิจารณาเมื่อ:

1. ;

ตัวเลือกหมายเลข 5

พิจารณาเมื่อ:

1. ;

ตัวเลือกหมายเลข 6

พิจารณาเมื่อ:

1. ;

ตัวเลือกหมายเลข 7

พิจารณาเมื่อ:

1. ;

ตัวเลือกหมายเลข 8

พิจารณาเมื่อ:

1. ;

ตัวเลือกหมายเลข 9

พิจารณาเมื่อ:

1. ;

ตัวเลือกหมายเลข 10

พิจารณาเมื่อ:

1. ;

ตัวเลือกหมายเลข 11

พิจารณาเมื่อ:

1. ;

ตัวเลือกหมายเลข 12

พิจารณาเมื่อ:

1. ;

ตัวเลือกหมายเลข 13

พิจารณาเมื่อ:

1. ;

ตัวเลือกหมายเลข 14

พิจารณาเมื่อ:

14.1. ;

14.2. .

ตัวเลือกหมายเลข 15

พิจารณาว่าเมื่อใด

15.1. ;

15.2. .

วรรณกรรม

1. Afanasyev V.N., Kolmanovsky V.B., Nosov V.R. ทฤษฎีคณิตศาสตร์การออกแบบระบบควบคุม ระดับอุดมศึกษา ม., 2546, 616 หน้า
2. อาฟานาซีเยฟ วี.เอ็น. ทฤษฎีการควบคุมระบบไดนามิกต่อเนื่องอย่างเหมาะสมที่สุด การออกแบบเชิงวิเคราะห์ ม. คณะฟิสิกส์มหาวิทยาลัยแห่งรัฐมอสโก 2554, 170 น.
3. อาฟานาซีเยฟ วี.เอ็น. ระบบควบคุมที่เหมาะสมที่สุด มหาวิทยาลัยรุดน์ 2550. – 260 น.

ข้อมูลอ้างอิง

1. โปปอฟ อี.วี. ระบบผู้เชี่ยวชาญแบบเรียลไทม์ [ทรัพยากรอิเล็กทรอนิกส์] // Open Systems - 1995. - หมายเลข 2 - อิเล็กตรอน แดน. - โหมดการเข้าถึง: http://www.osp.ru/text/302/178608/

2. Crossland R., Sims W.J.H., McMahon C.A. กรอบงานการสร้างแบบจำลองเชิงวัตถุสำหรับการแสดงความไม่แน่นอนในการออกแบบตัวแปรในช่วงแรก // การวิจัยด้านการออกแบบทางวิศวกรรม - พ.ศ. 2546 - ลำดับที่ 14. -ป. 173-183.

3. Landmark Graphics ARIES [ทรัพยากรอิเล็กทรอนิกส์] - อิเล็กทรอนิกส์ แดน. - 2549 - โหมดการเข้าถึง: http://www.geographix.com/ps/vi-ewpg.aspx?navigation_id=1273

4. Schlumberger Merak [ทรัพยากรอิเล็กทรอนิกส์] - อิเล็กทรอนิกส์ แดน. -2006. - โหมดการเข้าถึง: http://www.slb.com/content/servi-ces/software/valuerisk/index.asp

5. Gensim G2 [ทรัพยากรอิเล็กทรอนิกส์] - อิเล็กทรอนิกส์ แดน. - 2549 - โหมดการเข้าถึง: - http://www.gensym.com/?p=what_it_is_g2

6. Thurston D.L., Liu T. การประเมินการออกแบบคุณสมบัติหลายรายการ Un-

der Uncertainty // ระบบอัตโนมัติ: การวิจัยและการประยุกต์ใช้.

2534. - ว. 1. - ฉบับที่ 2. - หน้า 93-102.

7. ปาเรดิส ซี.เจ.เจ., ดิแอซ-คัลเดรอน เอ., ซินฮา อาร์., คอสลา พี.เค. แบบจำลองที่ประกอบได้สำหรับการออกแบบโดยใช้การจำลอง // วิศวกรรมกับคอมพิวเตอร์ - พ.ศ. 2544. - ฉบับที่ 17. - หน้า 112-128.

8. สิลิช ส.ส. เทคโนโลยีระบบ: แนวทางเชิงวัตถุ - ตอมสค์: เล่มที่ สถานะ มหาวิทยาลัยระบบควบคุมและวิทยุอิเล็กทรอนิกส์, 2545. - 224 น.

9. Silich M.P., Starodubtsev G.V. แบบจำลองวัตถุประสงค์ในการคัดเลือกโครงการลงทุนเพื่อการพัฒนาแหล่งน้ำมันและก๊าซ // ระบบอัตโนมัติ กลไกทางไกล และการสื่อสารในอุตสาหกรรมน้ำมัน - พ.ศ. 2547 - ฉบับที่ 11. - หน้า 16-21.

10. Khabibulina N.Yu., Silich M.P. ค้นหาวิธีแก้ปัญหาโดยใช้แบบจำลองความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชัน // เทคโนโลยีสารสนเทศ

2547. - ฉบับที่ 9. - หน้า 27-33.

11. อัลกอริทึม Jess Rete [ทรัพยากรอิเล็กทรอนิกส์] - อิเล็กตรอน แดน. - -

2549 - โหมดการเข้าถึง: http://www.jessru-

les.com/jess/docs/70/rete.html

การใช้การควบคุมมิติที่มากเกินไปสำหรับการปรับเอาท์พุตการควบคุมของวัตถุการควบคุมหลายมิติโดยอัตโนมัติ

เช้า. มาลิเชนโก

มหาวิทยาลัยสารพัดช่าง Tomsk อีเมล: [ป้องกันอีเมล]

ข้อมูลเกี่ยวกับอิทธิพลของการควบคุมมิติที่มากเกินไปต่อการปรับอัตโนมัติของเอาต์พุตของวัตถุไดนามิกเชิงเส้นที่อยู่กับที่นั้นได้รับการจัดระบบและเสนออัลกอริธึมสำหรับการสังเคราะห์ตัวชดเชยล่วงหน้าและการตอบกลับสถานะและเอาต์พุตที่ให้ผลที่คล้ายกัน

การแนะนำ

ปัญหาการควบคุมส่วนประกอบของเอาต์พุตที่ถูกควบคุมของวัตถุโดยอิสระ (อิสระ) เป็นหนึ่งในปัญหาที่สำคัญอย่างยิ่งในทางปฏิบัติในการสังเคราะห์ระบบควบคุมอัตโนมัติ (ACS) บางทีอาจเป็นสำหรับวัตถุควบคุมหลายมิติส่วนใหญ่ใน เงื่อนไขการส่งออก มันสะท้อนให้เห็นในสิ่งพิมพ์หลายฉบับรวมถึงเอกสารโดยเฉพาะใน

มีการศึกษาประเด็นความเป็นอิสระของวัตถุหลายมิติที่อยู่นิ่งเชิงเส้นในรายละเอียดเพิ่มเติม บ่อยครั้งที่ปัญหาของการทำให้เป็นอิสระ (การแยกส่วน) ของแต่ละเอาต์พุตของวัตถุถูกวางและแก้ไข และไม่มีมิติ m มากเกินไปของเวกเตอร์ควบคุม (CRV) เนื่องจากไม่สามารถบรรลุตามหลักการของวิธีแก้ปัญหาสำหรับอ็อบเจ็กต์จำนวนมากในประเภทที่ระบุ ปัญหานี้ได้รับการแก้ไขเป็นปัญหาทั่วไปของการแยกส่วนทีละบรรทัด ซึ่งถูกกำหนดให้เป็นปัญหามอร์แกน เมื่อสำหรับอ็อบเจ็กต์ที่มีเอาต์พุต p จำเป็นในการกำหนดชุด p ของตัวควบคุม t>p และกฎการควบคุมที่เกี่ยวข้อง ซึ่งแต่ละชุดมีผลกับเอาต์พุตเดียวเท่านั้น ดังนั้นการแก้ปัญหาจึงถูกกำหนดในระดับของระบบควบคุมอัตโนมัติที่มีมิติของเวกเตอร์ควบคุมมากเกินไปในแง่ของ

เปรียบเทียบกับมิติของเวกเตอร์ของตัวแปรควบคุม

นอกเหนือจากข้อความข้างต้นแล้ว ปัญหาของการทำให้เป็นอิสระยังถูกกำหนดให้เป็นปัญหาของความเป็นอิสระแบบบล็อกต่อบล็อก (การแยกส่วน) เมื่อมั่นใจในความเป็นอิสระระหว่างพิกัดเอาต์พุตที่รวมอยู่ในบล็อกที่ต่างกันเท่านั้น แต่ไม่ได้อยู่ภายในบล็อก (กลุ่ม) เหล่านี้ เช่นเดียวกับความเป็นอิสระของน้ำตก ในกรณีหลังนี้ การพึ่งพาพิกัดเอาท์พุตซึ่งกันและกันนั้นมีลักษณะเป็น "ลูกโซ่" (แต่ละอันที่ตามมาจะขึ้นอยู่กับพิกัดก่อนหน้าเท่านั้น แต่ไม่ใช่พิกัดที่ตามมาในซีรีส์ที่สร้างขึ้นสำหรับพวกเขา) และในกรณีเหล่านี้ การแก้ปัญหาระบบอัตโนมัติมักต้องใช้ความซ้ำซ้อนในมิติของเวกเตอร์ควบคุม เมื่อเทียบกับจำนวนตัวแปรที่ถูกควบคุม

เงื่อนไขในการแก้ปัญหาการทำให้เป็นอิสระ

วิธีแก้ปัญหาสำหรับระบบอัตโนมัติมักจะพบในคลาสของตัวชดเชยเชิงเส้นหรือการป้อนกลับแบบคงที่หรือไดนามิกเชิงเส้น และสำหรับวัตถุประสงค์เหล่านี้ ทั้งเครื่องมือของเมทริกซ์การถ่ายโอน (บ่อยที่สุด) และวิธีการพื้นที่สถานะ ใช้วิธีการเชิงโครงสร้างและเรขาคณิต สองอันสุดท้าย

แนวทางแรกได้รับการเสริมอย่างประสบความสำเร็จ เนื่องจากในความเป็นจริงแล้วด้วยความช่วยเหลือของพวกเขาเท่านั้น จึงเป็นไปได้ที่จะสร้างเงื่อนไขที่ทราบส่วนใหญ่สำหรับการแก้ปัญหาของความเป็นอัตโนมัติ [b] และเพื่อให้การตีความวิธีแก้ปัญหาอย่างลึกซึ้งยิ่งขึ้น

เมื่อใช้ตัวชดเชยล่วงหน้าสำหรับการปรับอัตโนมัติ (แยกส่วน) ของเอาท์พุตของวัตถุหลายมิติเชิงเส้น กล่าวคือ ตัวควบคุมที่ใช้การควบคุมที่เข้มงวดในฟังก์ชันการตั้งค่า ¡d(t) โดยไม่มีการป้อนกลับ เมทริกซ์การถ่ายโอน Wy(s) จะถูกเลือกจากเงื่อนไข

WOE(s) = Wo(s) -W y(s), (1)

โดยที่ Wo(s) คือเมทริกซ์การถ่ายโอนของวัตถุควบคุม และ Wx(s) คือเมทริกซ์การถ่ายโอนที่ต้องการของระบบสังเคราะห์ ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขสำหรับการแยกส่วนเอาต์พุต

การป้อนกลับแบบคงที่เชิงเส้นที่ใช้เพื่อวัตถุประสงค์เหล่านี้สอดคล้องกับอัลกอริธึมการควบคุม

คุณ(t) = F x(t) + G /u(t), (2)

และไดนามิก -

คุณ (s) = F (s) x (s) + G fi (s) (3)

ข้อมูลป้อนกลับที่ระบุสามารถนำมาใช้กับทั้งแบบปกติ (เมทริกซ์ G สามารถกลับด้านได้) และการเปลี่ยนแปลงงานของระบบอย่างไม่ปกติ ¡d(t)

จากการตอบรับแบบไดนามิกข้างต้นสามารถกำหนดเป็นกรณีพิเศษของส่วนขยายแบบไดนามิกที่เสริมวัตถุที่อธิบายโดยระบบสมการในรูปแบบ "อินพุต - สถานะ - เอาต์พุต" ของแบบฟอร์ม

x (t) = ขวาน (t) + Bu (t), y(t) = C x (t)

ua (t) p_xa (t)_

โดยที่ xa(/) = ia(/) หรือโดยสมการตัวดำเนินการทั่วไป

และ (5) = Г(5) x(5") + О(5) ¡л(5)

การควบคุมวัตถุด้วยแบบจำลองของแบบฟอร์มตามอัลกอริธึม (2) จะให้เมทริกซ์การถ่ายโอนขั้นสุดท้ายของระบบ

F^) = C (51 - (A + B G (5))) ~1BO =

Ж0(5) . (1 - Г(5)(51 - А) -1 В)-1 О = Ж0(5) . ไม่มี(5), (4)

โดยที่ Wo(s)=C(sI-AylB และ #(£) คือเมทริกซ์การถ่ายโอนของวัตถุและตัวชดเชยล่วงหน้าตามลำดับซึ่งเทียบเท่ากับเอฟเฟกต์การป้อนกลับ I คือเมทริกซ์หน่วยของมิติ nxn

การแปลงมอร์สแบบบัญญัติ g=(T,F,G,R,S) ที่ใช้ในแนวทางเรขาคณิตด้วย T,G,S ที่แปลงกลับได้ของเมทริกซ์การถ่ายโอน Wo(s) ของวัตถุ "Lo(C,A,B)

(A, B, C) ^ (T A + BF + RC)T,T ~lBG, SCT)

ลด Wo ไปทางซ้ายและขวาของการแปลงสองด้านของแบบฟอร์ม

W0(s) ^ Bi(s)-W0(s)-B2(s), (5)

โดยที่ B1 = S_1;

B 2 = -G.

จาก (4) และ (5) จะเป็นไปตามค่าคงที่ปกติ

การป้อนกลับ (2) และไดนามิก (3) สามารถตีความได้ว่าเป็นการชดเชยแบบสองสาเหตุล่วงหน้า กล่าวคือ พวกเขาสามารถถูกแทนที่ด้วยตัวชดเชยแบบสองทางที่มีผลเทียบเท่ากัน ในส่วนที่สอง ข้อความสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน อย่างไรก็ตาม ตัวชดเชยสองส่วน H(s) สามารถนำไปปฏิบัติได้ตามรูปแบบของผลป้อนกลับคงที่เชิงเส้นที่เทียบเท่าสำหรับวัตถุที่มีการนำไปใช้งานน้อยที่สุดเท่านั้น และถ้า และ เฉพาะในกรณีที่ Wo(s) และ H-1(s) - เมทริกซ์พหุนาม

จาก (5) เรายังสรุปได้ว่าตัวชดเชยล่วงหน้าแบบสองสาเหตุและการป้อนกลับแบบคงที่และไดนามิกปกติที่สอดคล้องกันไม่สามารถเปลี่ยนโครงสร้างของระบบที่ระยะอนันต์ได้ และคุณสมบัติที่กำหนดโดยระบบนั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งความเฉื่อยขั้นต่ำ (ความล่าช้า) ของช่องสัญญาณควบคุมอัตโนมัติ การเปลี่ยนแปลงเหล่านี้สามารถทำได้เฉพาะในคลาสของอัลกอริธึมการควบคุมที่ผิดปกติเท่านั้น

เงื่อนไขสำหรับการแก้ปัญหาของปัญหาการทำให้เป็นอิสระมีความเกี่ยวข้องกับคุณสมบัติเชิงโครงสร้างของวัตถุควบคุม ซึ่งอธิบายไว้ในรายการค่าคงที่ นอกจากนี้ ชุดที่จำเป็นสำหรับสิ่งนี้จะถูกกำหนดโดยอัลกอริทึม (ตัวชดเชย) ที่วางแผนไว้ที่จะใช้เพื่อวัตถุประสงค์เหล่านี้ ตามนี้ เพื่อกำหนดผลตอบรับไดนามิกแบบแยกส่วนที่สามารถนำไปใช้ได้ ข้อมูลเกี่ยวกับโครงสร้างอินพุต-เอาท์พุตของออบเจ็กต์ที่ฝังอยู่ในเมทริกซ์การถ่ายโอนหรือในส่วนน้อยที่สุดของคำอธิบายในพื้นที่สถานะก็เพียงพอแล้ว ความสามารถในการแก้ปัญหานี้โดยใช้การป้อนกลับในสถานะคงที่นั้นกำหนดโดยโครงสร้างภายในของวัตถุควบคุม โดยเฉพาะอย่างยิ่งจากการศึกษาเมทริกซ์ของระบบ Rosenbrock หรือ Kronecker หรือการสลายตัวของมอร์สตามรูปแบบบัญญัติ

ตัวชดเชยล่วงหน้าแบบแถวต่อแถวที่แยกเอาท์พุตของวัตถุสามารถกำหนดได้จาก (1) ก็ต่อเมื่อ m>p และเมทริกซ์ [ Wo(s) : W(s)] และ Wo(s) มี โครงสร้างเดียวกันของรูปร่าง Smith-McMillan ที่ระยะอนันต์

หากเมทริกซ์การถ่ายโอนของวัตถุมีอันดับแถวเต็ม (เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับแถว-

การแยกส่วน ซึ่งจัดให้มีเฉพาะที่ t>p) จากนั้นการแยกส่วนสามารถจัดเตรียมได้โดยตัวชดเชยล่วงหน้าด้วยเมทริกซ์การถ่ายโอน

โดยที่ Wnoб(s) คือเมทริกซ์ผกผันด้านขวาของ W0(s) และ k คือจำนวนเต็มที่ทำให้ Wn(s) เมทริกซ์เป็นของตัวเอง

ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าการแยกส่วนโดยใช้การป้อนกลับแบบคงที่ปกติ (2) เป็นไปได้หากและเฉพาะในกรณีที่การแยกส่วนสามารถทำได้โดยใช้การป้อนกลับแบบไดนามิกปกติ

(3) ในทางกลับกันตาม , อย่างหลังเป็นไปได้ถ้าและเฉพาะในกรณีที่โครงสร้างที่ไม่มีที่สิ้นสุดของเมทริกซ์การถ่ายโอนของวัตถุคือการรวมกันของโครงสร้างที่ไม่มีที่สิ้นสุดของแถวของมัน

ความสม่ำเสมอของการป้อนกลับจริง ๆ แล้วสันนิษฐานว่าวัตถุไม่มีความซ้ำซ้อนในมิติของเวกเตอร์ควบคุม (m=p) ดังนั้น หากการแยกส่วนในกรณีนี้ไม่สามารถทำได้ และวัตถุที่ถูกควบคุมมีศักยภาพ IRVU ดังนั้นเพื่อให้บรรลุความเป็นอิสระในการควบคุมปริมาณเอาต์พุตแต่ละปริมาณ ขอแนะนำให้ใช้ประโยชน์จากความซ้ำซ้อนนี้หรือทำการเปลี่ยนแปลงการออกแบบบางอย่าง ไปยังวัตถุควบคุมเพื่อรับ IRVU จากวัตถุนั้นก่อน นอกจากนี้ ควรระลึกไว้ด้วยว่าในสถานการณ์ที่ t>p การป้อนกลับตามปกติอาจไม่นำไปสู่ผลลัพธ์ที่ต้องการ ในขณะที่อยู่ในกลุ่มการชดเชยล่วงหน้าที่ไม่ปกติหรือสามารถได้รับผลป้อนกลับเดียวกัน ตัวอย่างเช่น สำหรับวัตถุที่มีเมทริกซ์การถ่ายโอน

การตอบรับที่ไม่สม่ำเสมอนั้นสอดคล้องกับการชดเชยล่วงหน้าเชิงสาเหตุ (โดยเคร่งครัด) ดังนั้นระบบที่เกิดขึ้นกับวัตถุควบคุมในกรณีทั่วไปจะไม่รักษาโครงสร้างของวัตถุควบคุมไว้ที่ระยะอนันต์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สิ่งนี้สามารถใช้เพื่อรับรองความเสถียรของระบบสังเคราะห์ได้ ขอให้เราระลึกไว้ว่าได้รับการพิสูจน์แล้วว่าด้วยความช่วยเหลือของผลป้อนกลับปกติ การแยกส่วนและความเสถียรของระบบสามารถทำได้พร้อมกัน ถ้าหากวัตถุไม่มีความสัมพันธ์ที่เป็นศูนย์ที่ไม่แปรเปลี่ยนที่ไม่เสถียร อย่างหลังคือศูนย์คงที่ 0 ปอนด์ (C, A, B) ที่ไม่ใช่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง

ศูนย์ชั่วคราวและไม่แปรผันของระบบย่อยสตริง £;(C,A,B) โดยที่ c, /e 1,p คือแถว /th ของเมทริกซ์ C ของวัตถุ ศูนย์เหล่านี้กำหนดข้อจำกัดในการเลือกขั้วของระบบสังเคราะห์ตามเงื่อนไขการแยกส่วน ในกรณีนี้ ชุดของขั้วคงที่ (ไม่อนุญาตให้มีการกำหนดตามอำเภอใจ) ของระบบที่แยกโดยเอาท์พุตจะต้องรวมค่าศูนย์ที่ไม่แปรเปลี่ยนทั้งหมดของความสัมพันธ์ด้วย

ดังนั้น จะต้องเลือกอัลกอริธึมการควบคุมในกรณีของค่าศูนย์ไม่แปรผันที่ถูกต้องของความสัมพันธ์ในวัตถุจากเงื่อนไขที่จะสามารถทำการแก้ไขที่จำเป็นภายใต้เงื่อนไขความเสถียรต่อคุณสมบัติโครงสร้างของระบบได้ ดังที่แสดงไว้ข้างต้น อาจเป็นอัลกอริธึมที่มีการป้อนกลับที่ไม่ปกติ ซึ่งใช้งานจริงในระดับของระบบที่มี IRVU

ยังไม่ได้รับวิธีแก้ไขปัญหาที่สมบูรณ์ของการแยกส่วนโดยใช้ผลป้อนกลับสำหรับอ็อบเจ็กต์ที่มีค่าศูนย์ไม่แปรเปลี่ยนที่ถูกต้องของความสัมพันธ์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในการใช้งานด้วยการป้อนกลับแบบคงที่ จำเป็นดังต่อไปนี้จาก เพื่อทำให้โครงสร้างของพื้นที่ย่อยความสามารถในการควบคุมสูงสุดที่มีอยู่ใน KerS สมบูรณ์เพียงพอที่จะเพิ่มโครงสร้างที่ไม่มีที่สิ้นสุดไปยังรายการลำดับที่สำคัญของวัตถุ ส่วนหลังแสดงลักษณะของระดับการพึ่งพาที่อนันต์ระหว่างเอาต์พุตแต่ละรายการกับเอาต์พุตอื่น ๆ ทั้งหมด และสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:

pgv =XXPг -XX Пг g=1 g=1

เอาต์พุตจะไม่ถูกแยกออกจากกันโดยใช้การป้อนกลับตามปกติ แต่จะถูกแยกออกโดยตัวชดเชยล่วงหน้าแบบคงที่พร้อมเมทริกซ์การถ่ายโอน

โดยที่ n คือลำดับของศูนย์อนันต์ของระบบ s¡ ในรูปแบบ Smith-McMillan ของเมทริกซ์การถ่ายโอนของวัตถุ ผลรวมแรกใน (6) ถูกกำหนดสำหรับระบบ £0(C,A,B) โดยรวม และผลรวมที่สอง - สำหรับ CS;,A,B) โดยที่ C / คือเมทริกซ์ C ที่ไม่มี i-th แถว. คำสั่งสำคัญที่ระบุในที่นี้กำหนดโครงสร้างอนันต์ขั้นต่ำที่สามารถได้รับจากระบบแยกส่วน

สำหรับการป้อนกลับที่ผิดปกติแบบไดนามิก จะมีการกำหนดเงื่อนไขการแยกส่วนเท่านั้น ซึ่งลดลงจนถึงข้อเท็จจริงที่ว่ามิติส่วนเกินของเวกเตอร์ควบคุม (m-p) จะต้องมากกว่าหรือเท่ากับการขาดดุลของอันดับคอลัมน์ที่อนันต์ของเมทริกซ์อินเทอร์แอกทีฟ W0( s) และอันหลังต้องมีอันดับเต็มแถว ตัวโต้ตอบที่ระบุของเมทริกซ์การถ่ายโอนของวัตถุ W0 คือเมทริกซ์ผกผันกับรูปแบบ Hermitian W0 (s) ในการผ่าน โปรดทราบว่าลำดับที่สำคัญที่ 8 ของวัตถุสามารถกำหนดได้ผ่านตัวโต้ตอบของเมทริกซ์การถ่ายโอน และเท่ากับดีกรีพหุนามของคอลัมน์ที่ i

โซลูชันทั่วไปสำหรับการสังเคราะห์อัลกอริธึมควบคุมในคลาส ACS ด้วย IRVU แม้แต่กับวัตถุเชิงเส้นที่ให้เอกราช

ยังไม่ได้รับผลลัพธ์ของพวกเขา การใช้การควบคุมมิติส่วนเกินเมื่อแก้ไขปัญหาการแยกส่วนแบบทีละบรรทัด (ความเป็นอิสระของเอาท์พุต) ของวัตถุเป็นสิ่งจำเป็นจริงๆ

เงื่อนไขนี้ในกรณีที่วัตถุควบคุมไม่ตรงตามเงื่อนไขสำหรับการแก้ปัญหานี้ในชั้นเรียนของตัวชดเชยสองส่วนและการตอบกลับที่สอดคล้องกัน

บรรณานุกรม

1. Wonham M. ระบบควบคุมหลายมิติเชิงเส้น - อ.: Nauka, 1980. - 375 น.

2. โรเซนบร็อค เอช.เอช. รัฐ-อวกาศและทฤษฎีพหุตัวแปร - ลอนดอน: เนลสัน, 1970. - 257 น.

3. Meerov M.V. การวิจัยและการเพิ่มประสิทธิภาพระบบควบคุมที่เชื่อมต่อแบบทวีคูณ - อ.: Nauka, 2529. - 233 น.

4. มาลีเชนโก เอ.เอ็ม. ระบบควบคุมอัตโนมัติที่มีมิติของเวกเตอร์ควบคุมมากเกินไป - Tomsk: สำนักพิมพ์ Tomsk Polytechnic มหาวิทยาลัย 2548 - 302 น.

5. Commault C., Lafay J.F., Malabre M. โครงสร้างของระบบเชิงเส้น แนวทางเรขาคณิตและเมทริกซ์การถ่ายโอน // ไซเบอร์เนติกา - 1991.

ว. 27. - ลำดับที่ 3. - หน้า 170-185.

6. Descusse J., Lafay J.F., Malabre M. วิธีแก้ปัญหาของ Morgan // IEEE Trans อัตโนมัติ ควบคุม. - 2531. - วี.เอซี-33. -ป. 732-739.

7. มอร์ส A.S. ค่าคงที่เชิงโครงสร้างของระบบหลายตัวแปรเชิงเส้น // SIAM J. Control. - พ.ศ. 2516. - ฉบับที่ 11. - หน้า 446-465.

8. อลิง เอช., ชูมัคเกอร์ เจ.เอ็ม. การสลายตัวตามบัญญัติเก้าเท่าสำหรับระบบเชิงเส้น // Int เจ. คอนโทรล. - 1984. - V. 39. - หน้า 779-805.

9. Hautus M.L.J., Heymann H. ผลตอบรับเชิงเส้น แนวทางพีชคณิต // SIAM J. Control. - 2521. - ฉบับที่ 16. - หน้า 83-105.

10. อธิบาย เจ., ดิออน เจ.เอ็ม. บนโครงสร้างที่ระยะอนันต์ของระบบแยกส่วนสี่เหลี่ยมเชิงเส้นได้ // IEEE Trans อัตโนมัติ ควบคุม. - 1982. -วี. เอซี-27. - หน้า 971-974.

11. Falb P.L., Wolovich W. การแยกส่วนในการออกแบบและการสังเคราะห์ระบบหลายตัวแปร // IEEE Trans อัตโนมัติ ควบคุม. - พ.ศ. 2510 - ว. เอซี-12. - ป 651-669.

12. Dion J.M. , Commault C. ปัญหาการแยกส่วนความล่าช้าขั้นต่ำ: การใช้งานฟีดแบ็กกลับอย่างมีเสถียรภาพ // SIAM J. Control -1988. - ลำดับที่ 26. - ป. 66-88.

UDC681.511.4

ตัวแก้ไขเชิงเส้นหลอกแบบปรับตัวของลักษณะไดนามิกของระบบควบคุมอัตโนมัติ

เอ็มวี สโกรอสเปชกิน

มหาวิทยาลัยสารพัดช่าง Tomsk อีเมล: [ป้องกันอีเมล]

มีการเสนอแอมพลิจูดเทียมเทียมแบบปรับได้และตัวแก้ไขเฟสของคุณสมบัติไดนามิกของระบบควบคุมอัตโนมัติ ทำการศึกษาคุณสมบัติของระบบควบคุมอัตโนมัติพร้อมตัวแก้ไขแบบปรับได้ ประสิทธิภาพของการใช้ตัวแก้ไขการปรับตัวเทียมเทียมในระบบควบคุมอัตโนมัติที่มีพารามิเตอร์ที่ไม่อยู่กับที่จะแสดงขึ้น

ในระบบสำหรับการควบคุมอัตโนมัติของวัตถุที่มีคุณสมบัติเปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลา จำเป็นต้องตรวจสอบให้แน่ใจว่ามีการเปลี่ยนแปลงตามเป้าหมายในลักษณะไดนามิกของอุปกรณ์ควบคุม ในกรณีส่วนใหญ่ ทำได้โดยการเปลี่ยนพารามิเตอร์ของตัวควบคุมสัดส่วน-อินทิกรัล-อนุพันธ์ (ตัวควบคุม PID) วิธีการดังกล่าวมีการอธิบายไว้ ตัวอย่างเช่น ในการนำวิธีการเหล่านี้ไปใช้มีความเกี่ยวข้องกับการระบุตัวตนหรือการใช้วิธีการพิเศษที่อิงตามการคำนวณตามเส้นโค้งกระบวนการชั่วคราว ทั้งสองวิธีนี้ต้องใช้เวลาในการตั้งค่าอย่างมาก

บทความนี้นำเสนอผลการศึกษาคุณสมบัติของระบบควบคุมอัตโนมัติด้วยตัวควบคุม PID และแอมพลิจูดแบบปรับตัวตามลำดับและตัวแก้ไขเชิงเส้นหลอกเชิงเส้นของคุณลักษณะไดนามิก วิธีการปรับตัวนี้มีลักษณะเฉพาะ

ข้อเท็จจริงที่ว่าในระหว่างการทำงานของระบบควบคุม พารามิเตอร์ของตัวควบคุมจะไม่เปลี่ยนแปลงและสอดคล้องกับการตั้งค่าก่อนที่ระบบจะเริ่มทำงาน ในระหว่างการทำงานของระบบควบคุม ขึ้นอยู่กับประเภทของตัวแก้ไขที่ใช้ ค่าสัมประสิทธิ์การส่งผ่านของตัวแก้ไขหรือการเปลี่ยนเฟสที่สร้างขึ้นโดยการเปลี่ยนแปลง การเปลี่ยนแปลงเหล่านี้เกิดขึ้นเฉพาะในกรณีที่ความผันผวนของปริมาณควบคุมเกิดขึ้นเนื่องจากการเปลี่ยนแปลงคุณสมบัติของวัตถุควบคุมหรือเนื่องจากผลกระทบของการรบกวนต่อวัตถุควบคุม และสิ่งนี้ทำให้สามารถมั่นใจได้ถึงความเสถียรของระบบและปรับปรุงคุณภาพของกระบวนการชั่วคราว

ทางเลือกของตัวแก้ไขเทียมเชิงเส้นสำหรับการนำระบบปรับตัวไปใช้มีดังต่อไปนี้ ตัวแก้ไขที่ใช้ในการเปลี่ยนคุณสมบัติไดนามิกของระบบควบคุมอัตโนมัติสามารถแบ่งออกเป็นสามกลุ่ม: เชิงเส้น ไม่เชิงเส้น และเทียมเทียม ข้อเสียเปรียบหลักของตัวแก้ไขเชิงเส้นนั้นสัมพันธ์กับ

หน่วยงานการศึกษาของรัฐบาลกลาง

สถาบันการศึกษาของรัฐของการศึกษาวิชาชีพชั้นสูง "SAMARA STATE AEROSPACE UNIVERSITY ตั้งชื่อตามนักวิชาการ S.P. KOROLEV"

ยู. ซาโบโลตอฟ

การควบคุมที่เหมาะสมที่สุดของระบบไดนามิกต่อเนื่อง

ได้รับการอนุมัติจากสภาบรรณาธิการและสำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยให้เป็นสื่อการสอน

ซามารา 2005

UDC 519.9+534.1

ผู้วิจารณ์: เอส.เอ. อิชคอฟ, แอล.วี. คูดยูรอฟ

ซาโบโลตอฟ ยุ.

การควบคุมระบบไดนามิกต่อเนื่องที่เหมาะสมที่สุด: หนังสือเรียน เบี้ยเลี้ยง / ยู. ซาโบโลตอฟ; ซามาร์. สถานะ การบินและอวกาศ มหาวิทยาลัย ซามารา 2548. 149 น. : ป่วย.

คู่มือประกอบด้วยคำอธิบายวิธีการสำหรับการควบคุมระบบไดนามิกอย่างเหมาะสม มีการให้ความสนใจเป็นพิเศษกับวิธีแก้ปัญหาเสถียรภาพของระบบไดนามิกเชิงเส้นที่เหมาะสมที่สุด นอกเหนือจากการนำเสนอวิธีการแบบคลาสสิกสำหรับการควบคุมระบบเชิงเส้นตรงอย่างเหมาะสมที่สุด โดยยึดหลักหลักการของ Bellman ของการโปรแกรมไดนามิกเป็นหลัก ยังมีการพิจารณาการควบคุมระบบไดนามิกแบบออสซิลเลเตอร์อย่างเหมาะสมโดยประมาณโดยใช้วิธีหาค่าเฉลี่ยด้วย

เนื้อหาของคู่มือนี้รวมอยู่ในหลักสูตรการบรรยาย "รากฐานทางทฤษฎีของการควบคุมอัตโนมัติ" ซึ่งจัดทำโดยผู้เขียนสำหรับนักศึกษาพิเศษ 230102 - การประมวลผลข้อมูลอัตโนมัติและระบบควบคุมที่แผนกระบบสารสนเทศและเทคโนโลยี คณิตศาสตร์ และกลศาสตร์ของ SSAU . อย่างไรก็ตาม คู่มือนี้อาจเป็นประโยชน์สำหรับนักศึกษาสาขาอื่นๆ เมื่อศึกษาทฤษฎีการควบคุมระบบไดนามิกอย่างเหมาะสม

คำนำ…………………………………………. 5

1. ข้อกำหนดทางทฤษฎีพื้นฐานของการควบคุมระบบไดนามิกที่เหมาะสมที่สุด……………….……………….. 8

1.1. คำชี้แจงปัญหาการควบคุมระบบไดนามิกอย่างเหมาะสม…………………………….…...8

1.2. ซอฟต์แวร์การควบคุมและปัญหาที่เหมาะสมที่สุด

เสถียรภาพ……………………………………………………… สิบเอ็ด

1.3. การเคลื่อนไหวที่ไม่ถูกรบกวนและรบกวนของระบบไดนามิก………………………………….………….. 12

1.4. คำชี้แจงปัญหาของเสถียรภาพการเคลื่อนไหวที่เหมาะสมที่สุดสำหรับระบบไดนามิกเชิงเส้น……………………………..… 14

2. การควบคุมและการสังเกต

ระบบไดนามิก………………………………….….16

2.1. การเปลี่ยนแปลงที่คล้ายกันของระบบไดนามิกเชิงเส้น16

2.2. การควบคุมระบบไดนามิก……………….18

2.3. ความสามารถในการสังเกตของระบบไดนามิก……………….21

3. หลักการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกของ BELLMAN และทฤษฎีความเสถียรของ Lyapunov …….24

3.1. หลักการเขียนโปรแกรมไดนามิกของเบลล์แมน…….24

3.2. การควบคุมที่เหมาะสมที่สุดของระบบไดนามิกเชิงเส้น………………………………………………..………… 29

3.3. ทฤษฎีเสถียรภาพของเลียปูนอฟ……………………………31

3.4. การเชื่อมโยงวิธีการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกกับทฤษฎีความเสถียรของ Lyapunov …………………………………………... 37

4. การกำหนดการควบคุมที่เหมาะสมที่สุดสำหรับระบบไดนามิกเชิงเส้น……………… 39

4.1. การแก้สมการเบลล์แมนสำหรับระบบไดนามิกนิ่งเชิงเส้น..……………………………………………………………… 39

4.2. การแก้สมการเบลล์แมนสำหรับระบบไดนามิกแบบไม่คงที่เชิงเส้น..…………………………………………… 41

4.3. ในการเลือกเกณฑ์ความเหมาะสมที่สุดเมื่อแก้ไขปัญหาความเสถียร…………………………………………….43

4.4. ตัวอย่างการเลือกสัมประสิทธิ์ตัวควบคุมที่เหมาะสมที่สุด

เมื่อควบคุมระบบเชิงเส้นลำดับที่สอง....……….. 47

5. ระบบสั่นสะเทือนแบบไดนามิก ………… .56

5.1. การสั่นเล็กน้อยของระบบไดนามิก………….…56

5.2. การควบคุมและการสังเกตของระบบไดนามิกออสซิลลาทอรีเชิงเส้น……………………………………………………………… 65

5.3. วิธีพารามิเตอร์ขนาดเล็ก..…………………………………….. 68

5.4. วิธีหาค่าเฉลี่ย..………………………………………….… 72

5.5. วิธีการหาค่าเฉลี่ยสำหรับระบบที่มีอิสระระดับหนึ่ง... 76

5.6. วิธีการหาค่าเฉลี่ยของระบบที่รวดเร็วหลายแบบ

เฟส…………………………………………………………………………………. 79

5.7. วิธีการหาค่าเฉลี่ยของระบบที่มีกำลังสอง

อิสรภาพ………………………………………………………..…… 86

6. การควบคุมที่เหมาะสมที่สุดโดยประมาณของระบบการสั่นสะเทือนแบบไดนามิก.... 93

6.1. การควบคุมระบบออสซิลลาทอรีเชิงเส้นด้วยอิสระหนึ่งระดับ………………………………………………………….… 93

6.2. การควบคุมระบบออสซิลลาทอรีเชิงเส้นด้วยความอิสระสองระดับ..……………………………………………………………. 106

6.3. อิทธิพลของการรบกวนแบบไม่เชิงเส้นต่อการแก้ปัญหาการควบคุมที่เหมาะสมที่สุด………//…………………………… 115

รายการแหล่งที่มาที่ใช้…..…………127

ภาคผนวก 1. การเปลี่ยนแปลงที่คล้ายกันของระบบไดนามิกเชิงเส้น …………………………………..…129

ภาคผนวก 2 การศึกษาเชิงคุณภาพของระบบไดนามิกเชิงเส้นบนระนาบเฟส …………………… 134

ภาคผนวก 3. การแยกความแตกต่างของฟังก์ชันด้วยอาร์กิวเมนต์เวกเตอร์………………………………………………... 142

ภาคผนวก 4 แนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีอนุกรมเส้นกำกับ……………………………………………………………… 143

ภาคผนวก 5 การหาค่าเฉลี่ยตรีโกณมิติ

ฟังก์ชั่น……………………………..……….. 148

คำนำ

ตามเนื้อผ้า ทฤษฎีการควบคุมแบบคลาสสิกพิจารณาปัญหาหลักสองประการ: ปัญหาในการกำหนดการเคลื่อนที่ของโปรแกรมของระบบไดนามิก และปัญหาของการออกแบบตัวควบคุมที่ใช้การเคลื่อนที่ของโปรแกรมที่กำหนดของวัตถุควบคุม (ปัญหาความเสถียร) จุดสนใจหลักของคู่มือนี้คือการแก้ปัญหาความเสถียร ซึ่งโดยปกติจะแก้ไขได้โดยใช้โมเดลไดนามิกเชิงเส้น เมื่อเปรียบเทียบกับระบบคงที่ ในระบบไดนามิก กระบวนการจะพัฒนาไปตามกาลเวลา และการควบคุมในกรณีทั่วไปก็เป็นหน้าที่ของเวลาเช่นกัน

เมื่อแก้ไขปัญหาเสถียรภาพสามารถใช้วิธีการต่างๆ ได้ ก่อนอื่นควรสังเกตวิธีการคลาสสิกของทฤษฎีการควบคุมอัตโนมัติโดยขึ้นอยู่กับอุปกรณ์ของฟังก์ชันการถ่ายโอนและลักษณะความถี่ อย่างไรก็ตาม การถือกำเนิดของคอมพิวเตอร์ความเร็วสูงนำไปสู่การพัฒนาวิธีการใหม่ ๆ ที่เป็นพื้นฐานของทฤษฎีการควบคุมสมัยใหม่ ในทฤษฎีการควบคุมสมัยใหม่ พฤติกรรมของระบบถูกอธิบายไว้ในพื้นที่สถานะ และการควบคุมของระบบลงมาเพื่อกำหนดการดำเนินการควบคุมบนระบบที่เหมาะสมที่สุด ในแง่หนึ่ง ในแต่ละช่วงเวลา นอกจากนี้ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบไดนามิกต่อเนื่องมักเป็นระบบสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ ซึ่งเวลาเป็นตัวแปรอิสระ

เมื่อแก้ไขปัญหาเสถียรภาพ การเพิ่มประสิทธิภาพการควบคุมจะเข้าใจในแง่ของขั้นต่ำของเกณฑ์การปรับให้เหมาะสมที่สุด (ฟังก์ชัน) ซึ่งเขียนในรูปแบบของอินทิกรัลที่แน่นอน เกณฑ์การปรับให้เหมาะสมสามารถระบุลักษณะต่างๆ ของคุณภาพการควบคุม: ต้นทุนการควบคุม (พลังงาน เชื้อเพลิง ฯลฯ) ข้อผิดพลาดในการควบคุม (สำหรับตัวแปรสถานะต่างๆ) เป็นต้น เพื่อกำหนดการควบคุมที่เหมาะสมที่สุดเมื่อแก้ไขปัญหาความเสถียร จึงใช้หลักการดั้งเดิมของ Bellman ของการเขียนโปรแกรมไดนามิก

ส่วนแรกของคู่มือนี้เป็นเนื้อหาเบื้องต้น: ประกอบด้วยการกำหนดทางคณิตศาสตร์ของปัญหาที่ได้รับการแก้ไขในการควบคุมระบบไดนามิกต่อเนื่อง ส่วนที่สองเกี่ยวข้องกับประเด็นที่เกิดขึ้นก่อนการสร้างการควบคุมที่เหมาะสมที่สุดสำหรับระบบเชิงเส้นตรง: ปัญหาเรื่องความสามารถในการควบคุมและความสามารถในการสังเกต ในส่วนที่สาม เราจะได้ความสัมพันธ์พื้นฐานของหลักการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกของ Bellman ซึ่งจะมีการกำหนดการควบคุมที่เหมาะสมที่สุดสำหรับระบบไดนามิกเชิงเส้นเพิ่มเติมเมื่อแก้ไขปัญหาความเสถียร ในส่วนเดียวกันแสดงให้เห็นว่าหลักการของการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกของ Bellman สำหรับระบบเชิงเส้นนั้นเชื่อมโยงกันด้วยวิธี Lyapunov ที่สองซึ่งเป็นการปฏิบัติตามทฤษฎีบทที่ให้วิธีแก้ปัญหาความเสถียร ส่วนที่สี่ของอัลกอริธึมเค้าร่างแบบแมนนวลสำหรับการกำหนดการควบคุมที่เหมาะสมที่สุดเมื่อแก้ไขปัญหาความเสถียรสำหรับเกณฑ์การหาค่าเหมาะที่สุดกำลังสองที่กำหนด (อินทิแกรนด์ของฟังก์ชันคือรูปแบบกำลังสองของการควบคุมและตัวแปรสถานะของระบบ) มีตัวอย่างการกำหนดการควบคุมที่เหมาะสมที่สุดด้วยเกณฑ์การปรับให้เหมาะสมที่สุดสำหรับระบบเชิงเส้นเฉพาะ ส่วนที่ห้าสรุปพื้นฐานของทฤษฎีระบบออสซิลลาทอรีแบบไดนามิก ความสัมพันธ์พื้นฐานของหลักการหาค่าเฉลี่ยได้มาซึ่งในหลายกรณีทำให้การวิเคราะห์และการสังเคราะห์ระบบออสซิลเลชันง่ายขึ้นอย่างมาก ส่วนที่หกกล่าวถึงวิธีการพิจารณาการควบคุมที่เหมาะสมที่สุดโดยประมาณสำหรับปัญหาความเสถียรของระบบออสซิลเลเตอร์ มีตัวอย่างการควบคุมระบบออสซิลลาทอรีด้วยระดับความอิสระหนึ่งและสอง มีการวิเคราะห์ประเด็นเกี่ยวกับอิทธิพลที่เป็นไปได้ของการรบกวนแบบไม่เชิงเส้นต่อการแก้ปัญหาการรักษาเสถียรภาพของระบบออสซิลเลเตอร์

วิธีการที่นำเสนอในคู่มือทำให้สามารถค้นหาการควบคุมที่เหมาะสมที่สุดสำหรับการแก้ปัญหาเสถียรภาพของระบบไดนามิกในรูปแบบของฟังก์ชันการวิเคราะห์ ขึ้นอยู่กับตัวแปรสถานะของระบบ ในกรณีนี้ พวกเขากล่าวว่าปัญหาของการสังเคราะห์การควบคุมกำลังได้รับการแก้ไข วิธีการเหล่านี้สามารถนำมาประกอบกับทฤษฎีการออกแบบเชิงวิเคราะห์ของหน่วยงานกำกับดูแลซึ่งเป็นหนึ่งในทิศทางสำคัญในการพัฒนาทฤษฎีการควบคุมสมัยใหม่

เนื้อหาในคู่มือนี้อิงจากผลงานในสาขาทฤษฎีการควบคุม ซึ่งเมื่อเวลาผ่านไปได้กลายเป็นคลาสสิกไปแล้ว ก่อนอื่นจำเป็นต้องสังเกตผลงานของ L.S. Pontryagin , เลโตวา เอ.เอ็ม. , เดมิโดวิช บี.พี. , Gropa D. , Bellmana R. , Moiseeva N.N. , Bogolyubov N.N. , Mitropolsky Yu.A. และนักวิทยาศาสตร์ชื่อดังทั้งในประเทศและต่างประเทศ

1. ประเด็นทางทฤษฎีพื้นฐานของการควบคุมระบบไดนามิกที่เหมาะสมที่สุด

1.1. คำชี้แจงปัญหาการควบคุมระบบไดนามิกอย่างเหมาะสม

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบไดนามิกสามารถสร้างขึ้นได้หลายรูปแบบ สิ่งเหล่านี้อาจเป็นระบบของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย แบบจำลองแยกส่วนที่สอดคล้องกัน ฯลฯ คุณลักษณะที่โดดเด่นของคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของระบบไดนามิกใดๆ ก็คือพฤติกรรมของมันพัฒนาตามเวลาและมีลักษณะเฉพาะด้วยฟังก์ชัน ,... ซึ่งเรียกว่า ระบบตัวแปรสถานะ (พิกัดเฟส) ต่อไปนี้เราจะพิจารณาระบบที่มีเวลาต่อเนื่องกัน การเคลื่อนไหวของระบบไดนามิกสามารถควบคุมหรือไม่สามารถควบคุมได้ เมื่อใช้การเคลื่อนไหวแบบควบคุม พฤติกรรมของระบบไดนามิกยังขึ้นอยู่กับฟังก์ชันการควบคุม ,…. ให้เราสมมติด้วยว่าพฤติกรรมของระบบถูกกำหนดโดยไม่ซ้ำกันหากให้ฟังก์ชันควบคุมเวกเตอร์และสถานะเฟสเริ่มต้น โดยที่เวลาเริ่มต้นคือ

ในฐานะแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบไดนามิก เราจะพิจารณาระบบสมการเชิงอนุพันธ์สามัญที่เขียนในรูปแบบปกติของ Cauchy

โดยที่ , , เป็นฟังก์ชันเวกเตอร์ที่รู้จัก

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ต่างๆ ของระบบไดนามิกที่มีเวลาต่อเนื่องมักถูกลดขนาดลงเป็นระบบ (1.1) ตัวอย่างเช่น หากพฤติกรรมของระบบไดนามิกถูกอธิบายโดยระบบสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยและเกิดขึ้นในอวกาศและเวลา (แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของกลศาสตร์ต่อเนื่อง) เราก็มาถึงที่โดยการแยกส่วนเหนืออวกาศ (วิธีไฟไนต์เอลิเมนต์) ระบบสมการเชิงอนุพันธ์สามัญคล้ายกับ ( 1.1) ซึ่งหาคำตอบเป็นฟังก์ชันของเวลา

ข้อสันนิษฐานที่แนะนำก่อนหน้านี้เกี่ยวกับเอกลักษณ์ของกระบวนการควบคุมสำหรับระบบ (1.1) ถูกกำหนดโดยการปฏิบัติตามเงื่อนไขของทฤษฎีบทเกี่ยวกับการมีอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของการแก้ระบบสมการเชิงอนุพันธ์สามัญในรูปแบบ Cauchy

ให้เรากำหนดปัญหาของการควบคุมระบบที่เหมาะสมที่สุด (1.1) ในช่วงเวลาเริ่มต้น ระบบ (1.1) อยู่ในสถานะ จำเป็นต้องกำหนดการควบคุมที่จะถ่ายโอนระบบไปยังสถานะสุดท้ายที่กำหนด (แตกต่างจากสถานะเริ่มต้น) โดยที่ครั้งสุดท้ายคือ โดยปกติแล้ว การเปลี่ยนแปลงจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง (กระบวนการเปลี่ยนผ่าน) จะต้องเป็นการเปลี่ยนผ่านที่ดีที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ ตัวอย่างเช่น หากพิจารณาระบบทางเทคนิคบางอย่าง กระบวนการเปลี่ยนผ่านจะต้องเป็นไปตามเงื่อนไขของพลังงานที่ใช้ไปขั้นต่ำหรือเงื่อนไขของเวลาการเปลี่ยนผ่านขั้นต่ำ กระบวนการเปลี่ยนผ่านที่ดีที่สุดดังกล่าวมักเรียกว่ากระบวนการที่เหมาะสมที่สุด

ฟังก์ชันควบคุมมักจะเป็นของโดเมนควบคุมบางโดเมน ซึ่งเป็นเซตของปริภูมิแบบยุคลิดในมิติ ในการใช้งานทางเทคนิค จะถือว่าภูมิภาคเป็นภูมิภาคปิด นั่นคือ ภูมิภาคที่มีขอบเขตรวมอยู่ด้วย ให้เราเรียกการควบคุมที่ยอมรับได้ซึ่งถ่ายโอนระบบจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง สำหรับการเปรียบเทียบเชิงปริมาณของการควบคุมที่ยอมรับได้ต่างๆ จะมีการแนะนำเกณฑ์การปรับให้เหมาะสมที่สุด ซึ่งตามกฎแล้วจะถูกนำเสนอในรูปแบบของฟังก์ชันบางอย่าง

ฟังก์ชันคำนวณจากโซลูชันของระบบ (1.1) ที่ตรงตามเงื่อนไข และ สำหรับการควบคุมที่ยอมรับได้ที่กำหนด

ในที่สุด ปัญหาการควบคุมที่เหมาะสมที่สุดถูกกำหนดไว้ดังนี้: สองจุดและได้รับในพื้นที่เฟส; ในบรรดาการควบคุมที่ยอมรับได้ทั้งหมดที่ถ่ายโอนจุดเฟสจากตำแหน่งหนึ่งไปอีกตำแหน่งหนึ่ง ให้ค้นหาตัวควบคุมที่ฟังก์ชัน (1.2) ใช้ค่าน้อยที่สุด

การควบคุมที่ให้แนวทางแก้ไขปัญหาข้างต้นเรียกว่าการควบคุมที่เหมาะสมที่สุดและเขียนแทนด้วย และวิถีโคจรที่สอดคล้องกันคือวิถีโคจรที่เหมาะสมที่สุด

ความคิดเห็น หากจำเป็นต้องตรวจสอบให้แน่ใจถึงเกณฑ์สูงสุดบางประการ ปัญหานี้สามารถลดลงเป็นปัญหาในการค้นหาค่าต่ำสุดได้โดยการเปลี่ยนเครื่องหมายหน้าฟังก์ชันอย่างเป็นทางการ (1.2)

กรณีพิเศษของปัญหาการควบคุมที่เหมาะสมที่สุดที่ระบุไว้คือกรณีที่ จากนั้นฟังก์ชัน (1.2) จะใช้รูปแบบและการเพิ่มประสิทธิภาพนั้นอยู่ที่การดำเนินการตามระยะเวลาการเปลี่ยนแปลงขั้นต่ำจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง ปัญหาการควบคุมที่เหมาะสมที่สุดนี้เรียกว่าปัญหาด้านประสิทธิภาพ

1.2. ปัญหาการควบคุมและความเสถียรของซอฟต์แวร์ที่เหมาะสมที่สุด

ให้เราพิจารณาการเคลื่อนที่ของระบบไดนามิก (1.1) ปล่อยให้มีการควบคุมที่เหมาะสมที่สุดสำหรับระบบนี้และได้รับวิถีโคจรที่เหมาะสมที่สุดที่สอดคล้องกัน เมื่อใช้วิถีทางที่เหมาะสมที่สุดในปัญหาทางเทคนิค ย่อมต้องเผชิญกับปัญหาสำคัญอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ ซึ่งประกอบด้วยความเป็นไปไม่ได้ ประการแรก การตั้งค่าระบบจริง (หรือวัตถุควบคุม) ให้เป็นสถานะเริ่มต้นอย่างแม่นยำ ประการที่สอง การนำการควบคุมที่เหมาะสมไปใช้อย่างแม่นยำ และ ประการที่สาม ทำนายสภาวะภายนอกการทำงานของระบบล่วงหน้าได้อย่างแม่นยำ (ความใกล้เคียงของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ดั้งเดิม) ทั้งหมดนี้นำไปสู่ความจำเป็นในการแก้ปัญหาในการแก้ไขปัญหากฎหมายควบคุมที่เหมาะสมที่สุดระหว่างการทำงานของระบบทางเทคนิค (หรือวัตถุ) ดังนั้น ปัญหาของการควบคุมที่เหมาะสมที่สุดในสภาวะจริงสามารถแบ่งออกเป็นสองส่วน: 1) การสร้างการควบคุมที่เหมาะสมที่สุดของระบบไดนามิกดั้งเดิมภายใต้เงื่อนไขที่เหมาะสมภายในกรอบของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ (1.1) 2) การสร้างการดำเนินการควบคุมการแก้ไขเพื่อดำเนินการควบคุมที่เหมาะสมที่สุดที่กำหนดและวิถีที่ดีที่สุดระหว่างการทำงานของระบบ ส่วนแรกของปัญหาการควบคุมที่เหมาะสมที่สุดมักเรียกว่าปัญหาในการสร้างการควบคุมโปรแกรมที่เหมาะสมที่สุด และได้รับการแก้ไขภายในกรอบของข้อมูลนิรนัยที่ทราบล่วงหน้าเกี่ยวกับระบบที่อยู่ระหว่างการพิจารณา ส่วนที่สองของปัญหาเรียกว่าปัญหาความเสถียรของโปรแกรมควบคุมที่กำหนดและจะต้องแก้ไขระหว่างการทำงานของระบบโดยใช้ข้อมูลที่ได้รับจากอุปกรณ์ตรวจวัดของระบบควบคุม ปัญหาของการรักษาเสถียรภาพของโปรแกรมการควบคุมที่กำหนดยังอาจเป็นปัญหาในการค้นหาการควบคุมที่เหมาะสมที่สุดตามเกณฑ์ที่เกี่ยวข้อง ซึ่งจะกระทำด้านล่าง (ดูหัวข้อ 1.4)

ความคิดเห็น แน่นอนว่า ไม่เพียงแต่การควบคุมที่เหมาะสมที่สุดเท่านั้นที่สามารถใช้เป็นโปรแกรมควบคุมที่ระบุได้ แต่ยังรวมถึงการควบคุมอื่นๆ ที่ยอมรับได้ด้วย (หากปัญหาการปรับโปรแกรมควบคุมให้เหมาะสมที่สุดไม่ได้รับการแก้ไข) ในกรณีเฉพาะที่ง่ายที่สุด สามารถวางงานในการรักษาเสถียรภาพตำแหน่งคงที่ของระบบได้

1.3. การเคลื่อนไหวที่ไม่ถูกรบกวนและถูกรบกวนของระบบไดนามิก

เนื่องจากการเคลื่อนไหวที่แท้จริงของระบบแตกต่างอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้จากการเคลื่อนไหวของโปรแกรมที่ระบุ ข้อเท็จจริงนี้จึงนำไปสู่แนวคิดเรื่องการเคลื่อนไหวที่ไม่ถูกรบกวนและถูกรบกวนโดย Lyapunov A.A. . ดังนั้น การเคลื่อนไหวของโปรแกรมใดๆ ของระบบ (1.1) ไม่ว่าจะเหมาะสมที่สุดหรือยอมรับได้ เรียกว่าการเคลื่อนไหวที่ไม่ถูกรบกวน นอกจากนี้ การเคลื่อนไหวนี้สอดคล้องกับวิธีแก้ปัญหาเฉพาะของระบบ (1.1) การเคลื่อนไหวที่ถูกรบกวนจะถูกประเมินโดยการเบี่ยงเบนบางอย่างจากการเคลื่อนไหวที่ไม่ถูกรบกวน ดังนั้นการเคลื่อนที่ที่ถูกรบกวนจึงอธิบายได้ด้วยตัวแปรต่อไปนี้

โดยที่ตัวแปรและแสดงคุณลักษณะของโปรแกรมควบคุมระบุ และตัวแปรและเป็นการเบี่ยงเบนไปจากโปรแกรมระบุ

เราได้การแทนที่ความสัมพันธ์ (1.3) เป็นระบบ (1.1)

โดยบวกและลบพจน์เดียวกันทางด้านขวาของระบบ (1.4) แล้วคำนึงถึงสิ่งนั้น

เราได้รับระบบโดยเบี่ยงเบนไปจากการเคลื่อนไหวที่ระบุ

โดยที่ , , และ ถูกกำหนดโดยผลลัพธ์ของการแก้ระบบ (1.5)

โดยปกติจะถือว่าการเบี่ยงเบนจากการเคลื่อนไหวเล็กน้อยมีน้อย ดังนั้น หากเราขยายฟังก์ชันเป็นอนุกรม Taylor และแนะนำสัญลักษณ์ โดยที่ดัชนี (o) หมายความว่าอนุพันธ์บางส่วนถูกกำหนดสำหรับโปรแกรมที่ระบุ เราจะได้

ที่นี่ฟังก์ชันจะกำหนดเงื่อนไขของลำดับที่สองและสูงกว่าในการเบี่ยงเบน เมทริกซ์และเลือกส่วนเชิงเส้นของอนุกรมและมีส่วนประกอบและ ; .

สมการที่เขียนด้วยการเบี่ยงเบน (1.7) มีความสำคัญอย่างยิ่งในทฤษฎีการควบคุม จากสมการเหล่านี้ ได้มีการกำหนดปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุดจำนวนมากที่เป็นประโยชน์ในทางปฏิบัติ หนึ่งในปัญหาเหล่านี้คือปัญหาเสถียรภาพที่กำหนดไว้ข้างต้น เมื่อแก้ไขปัญหานี้ จำเป็นต้องพิจารณาว่าควรเลือกการดำเนินการควบคุมการแก้ไขอย่างไรเพื่อลดการเบี่ยงเบนในแง่หนึ่งในแง่ดีที่สุด

1.4. คำชี้แจงปัญหาของเสถียรภาพการเคลื่อนไหวที่เหมาะสมที่สุดสำหรับระบบไดนามิกเชิงเส้น

บ่อยที่สุดเมื่อแก้ไขปัญหาการรักษาเสถียรภาพการเคลื่อนไหวของระบบหรือวัตถุควบคุมจะใช้ระบบไดนามิกเชิงเส้นในส่วนเบี่ยงเบนซึ่งได้มาจากระบบ (1.7) โดยการละทิ้งเงื่อนไขที่ไม่เป็นเชิงเส้น แล้ว

โดยที่เมทริกซ์และในกรณีทั่วไปเป็นฟังก์ชันของเวลา เนื่องจากจะขึ้นอยู่กับโปรแกรมควบคุมระบุ แล้วพวกเขาก็บอกว่าปัญหาของการสังเคราะห์การควบคุมกำลังได้รับการแก้ไข หลังจากที่มีการเปลี่ยนกฎหมายแล้ว ให้เราพิจารณากรณีที่เมทริกซ์ไม่มีค่าลักษณะเฉพาะ (เหมือนกัน) หลายค่า ในกรณีนี้การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวทำให้เมทริกซ์อยู่ในรูปแบบเส้นทแยงมุมโดยที่เมทริกซ์แนวทแยงอยู่บนเส้นทแยงมุมหลักซึ่งมีค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ (การพิสูจน์ได้รับในภาคผนวก 1)

การแนะนำ. เศรษฐกิจตลาดในยูเครนต้องการแนวทางใหม่ในการจัดการ: เกณฑ์ทางเศรษฐกิจและประสิทธิภาพของตลาดมาก่อน ความก้าวหน้าทางวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีและพลวัตของสภาพแวดล้อมภายนอกส่งผลให้องค์กรการผลิตสมัยใหม่เปลี่ยนไปสู่ระบบที่ซับซ้อนมากขึ้นซึ่งต้องใช้วิธีการจัดการแบบใหม่ การเสริมสร้างการวางแนวตลาดขององค์กรและการเปลี่ยนแปลงอย่างกะทันหันในสภาพแวดล้อมภายนอกจำเป็นต้องมีการพัฒนาระบบการจัดการการแข่งขันที่ออกแบบมาเพื่อพัฒนาการตัดสินใจด้านการจัดการที่ซับซ้อน ดังนั้นแนวทางและอัลกอริธึมที่มีประสิทธิภาพมากขึ้นในการแก้ปัญหาขนาดใหญ่

งานนี้ดำเนินการตามโปรแกรมวิทยาศาสตร์และเทคนิคของรัฐ 6.22 - เทคโนโลยีสารสนเทศขั้นสูงและแผนระบบสำหรับกิจกรรมทางวิทยาศาสตร์และวิทยาศาสตร์ - เทคนิคของคำสั่งโอเดสซาของสถาบันเลนินแห่งกองทัพภาคพื้นดินในปี 2547 ตามหัวข้องานวิจัย .

การวิเคราะห์งานวิจัยล่าสุด ปัจจุบัน หนึ่งในแนวทางหลักและมีประสิทธิภาพมากที่สุดในการแก้ปัญหาการควบคุมมิติสูงคือการสลายตัว แนวทางนี้เป็นการรวมกลุ่มของวิธีการโดยแบ่งย่อยปัญหามิติสูงดั้งเดิมเป็นปัญหาย่อย ซึ่งแต่ละวิธีจะง่ายกว่าวิธีดั้งเดิมอย่างมาก และสามารถแก้ไขได้โดยแยกจากกัน การเชื่อมต่อระหว่างงานย่อยแต่ละรายการนั้นดำเนินการโดยใช้งาน "การประสานงาน" ซึ่งง่ายกว่างานเดิมด้วย เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ปัญหาการควบคุมจะถูกนำเสนอในรูปแบบที่ตอบสนองความต้องการของการสลายตัว ซึ่งหลักๆ ได้แก่: การบวก (การแยกส่วน) ของฟังก์ชันวัตถุประสงค์; การปิดกั้นลักษณะของข้อจำกัด การมีการเชื่อมต่อแบบบล็อก อย่างไรก็ตาม เมื่อแก้ไขปัญหาเชิงปฏิบัติของการสังเคราะห์การควบคุมที่เหมาะสมที่สุดในมิติสูง มักจะเป็นเรื่องยากที่จะปฏิบัติตามข้อกำหนดที่ระบุไว้ ตัวอย่างเช่น คุณภาพการดำเนินงานของระบบการผลิตสามารถประเมินได้ด้วยเกณฑ์ประเภททั่วไป ซึ่งอาจแยกออกไม่ได้ในส่วนที่เกี่ยวข้องกับงานการจัดการระบบย่อยแต่ละระบบ ดังนั้น เมื่อแปลงปัญหาการควบคุมเดิมเป็นรูปแบบที่ตอบสนองความต้องการของการสลายตัว การทำให้ง่ายขึ้น การประมาณค่า และตัวเลือกต่างๆ สำหรับการแบ่งปัญหาออกเป็นงานย่อยเฉพาะที่จึงเป็นสิ่งที่หลีกเลี่ยงไม่ได้ กล่าวคือ บล็อกข้อจำกัดและการเชื่อมต่อแบบอินเตอร์บล็อก ปัจจัยทั้งหมดนี้มีอิทธิพลต่อทั้งคุณภาพของโซลูชันและความซับซ้อนของการคำนวณเมื่อค้นหาโซลูชันที่เหมาะสมที่สุด

เนื่องจากยังไม่มีวิธีการประเมินเชิงคุณภาพถึงอิทธิพลของปัจจัยที่ระบุไว้ต่อคุณภาพของการแก้ปัญหาจึงดูเหมือนว่ามีความเกี่ยวข้องในการพัฒนาวิธีการแก้ไขปัญหามิติสูงซึ่งจะทำให้มีอิสระในการเลือกโครงสร้างของท้องถิ่น ปัญหาตลอดจนความพึงพอใจและการประเมินผลกระทบของการลดความซับซ้อนต่างๆที่มีต่อคุณภาพของการแก้ปัญหา

จากการวิเคราะห์แหล่งที่มาของวรรณกรรม พบว่าวิธีการเชิงตัวเลขที่ยอมรับได้สำหรับการแก้ปัญหาการปรับให้เหมาะสมแบบไม่เชิงเส้นมีความเกี่ยวข้องกับต้นทุนที่สำคัญของเวลาและหน่วยความจำของคอมพิวเตอร์ และการใช้การทำให้เป็นเส้นตรงทำให้เกิดการสูญเสียคุณภาพการควบคุม ดังนั้นจึงขอแนะนำว่าวิธีการใหม่ที่ได้รับการพัฒนาเพื่อแก้ไขปัญหาจะคงลักษณะที่ไม่เป็นเชิงเส้นไว้และการควบคุมที่เหมาะสมที่สุดจะถูกกำหนดภายในกรอบของโครงสร้างการคำนวณแบบกระจายอำนาจ

วัตถุประสงค์ของการวิจัยคืออัลกอริธึมสำหรับการแก้ปัญหาการควบคุมมิติขนาดใหญ่

หัวข้อการวิจัยคือการพัฒนาแนวทางโดยอาศัยแนวคิดเรื่องความเท่าเทียมกันหรือกึ่งเทียบเท่าของปัญหามิติสูงดั้งเดิมและปัญหาการสลายตัวของบล็อกที่สอดคล้องกัน

งานทางวิทยาศาสตร์คือการพัฒนาอัลกอริธึม ซึ่งการใช้จะช่วยให้มั่นใจได้ถึงการควบคุมที่เหมาะสมที่สุดภายในโครงสร้างการกระจายอำนาจ โดยไม่จำเป็นต้องแลกเปลี่ยนข้อมูลซ้ำระหว่างระดับการควบคุม

เป้าหมายของงานคือการพัฒนาและเสริมองค์ประกอบของทฤษฎีประยุกต์และเครื่องมือเชิงปัญหาเพื่อปรับปัญหาการควบคุมมิติขนาดใหญ่ให้เหมาะสม

ความแปลกใหม่ทางวิทยาศาสตร์อยู่ที่การพัฒนาแนวทางการสังเคราะห์อัลกอริธึมการปรับให้เหมาะสมสำหรับปัญหาการควบคุมขนาดใหญ่ภายในกรอบโครงสร้างการคำนวณแบบกระจายอำนาจ ซึ่งไม่จำเป็นต้องจัดกระบวนการวนซ้ำระหว่างระดับการควบคุม

วัสดุหลัก.ให้ปัญหาการควบคุมระบบไดนามิกต่อเนื่องที่เหมาะสมที่สุดที่อยู่ระหว่างการพิจารณาถูกกำหนดโดยสมการเชิงอนุพันธ์

(1)

ตามเกณฑ์

(2)

ที่

ที่ไหน - ม – เวกเตอร์ควบคุมมิติ - - n – ฟังก์ชันมิติซึ่งมีส่วนประกอบที่สามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องโดยคำนึงถึงอาร์กิวเมนต์ - ฟังก์ชันสเกลาร์แบบนูนและหาอนุพันธ์ได้ - ระบุเวลาเริ่มต้นและครั้งสุดท้ายตามลำดับ

เพื่อเป็นตัวแทนของวัตถุควบคุม (1) ในรูปแบบของชุดของระบบย่อยที่มีการโต้ตอบ เราขยาย (1) ออกเป็นอนุกรม Taylor ที่สัมพันธ์กับจุดสมดุล

ที่ไหน ,

หรือ

(3)

ในนิพจน์ (3) A และ B แทนส่วนบล็อกแนวทแยงของเมทริกซ์ และตามลำดับด้วยบล็อก และ

และ และ เป็นส่วนที่ไม่เป็นเส้นทแยงมุม และ ตามลำดับ

โดยการแนะนำเวกเตอร์ความสัมพันธ์ในลักษณะที่ฉัน – องค์ประกอบนี้ถูกกำหนดโดยนิพจน์

, (4)

เราก็เขียนสมการได้ฉัน– ระบบย่อยที่

โดยที่ - คือเวกเตอร์ควบคุมมิติ - - เวกเตอร์มิติของรัฐ; - - n – เวกเตอร์มิติของความสัมพันธ์

วิธีการสลายตัวที่นำเสนอสำหรับการสังเคราะห์การควบคุมที่เหมาะสมที่สุดมีดังต่อไปนี้ ระบบย่อยส่วนประกอบ

และเมื่อคำนึงถึงความสัมพันธ์กับระบบย่อยอื่น ๆ เราจะเรียกมันว่าแยกกัน

องค์ประกอบ i – х i = 1,2,…, ระบบย่อย P ถูกแสดงโดยโมเดล

(5)

โดยที่ และ เป็นเมทริกซ์แนวทแยงแบบบล็อกที่มีบล็อก และตามลำดับ

ให้เรากำหนดเกณฑ์

, (6)

โดยที่เมทริกซ์แนวทแยงบล็อกกึ่งกำหนดระยะที่เป็นบวก

มีบล็อก - เมทริกซ์บล็อกเส้นทแยงมุมที่เป็นบวกแน่นอน

พร้อมบล็อก - การควบคุมที่เหมาะสมที่สุด

เรากำหนดเมทริกซ์และจากเงื่อนไขความเสมือนของปัญหา (1) – (2) และ (5) – (6) ซึ่งมีรูปแบบ

ที่นี่ , ,

ที่ไหน .

ในการหาองค์ประกอบเมทริกซ์ เรามีระบบสมการพีชคณิต

. (7)

หลังจากการแก้สมการ (7) เรามีปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุดแบบอิสระ P ที่เกี่ยวข้องกับโครงสร้างบล็อกแนวทแยงของเมทริกซ์

,

การควบคุมที่เหมาะสมที่สุดในท้องถิ่นมีรูปแบบ

, (8)

เป็นไปตามสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น

, . (9)

โซลูชันระดับโลกคือองค์ประกอบของโซลูชันที่เหมาะสมที่สุด

. (10)

ข้อสรุป ดังนั้น ปัญหาของการสังเคราะห์การควบคุมที่เหมาะสมที่สุดสำหรับปัญหามิติสูงดั้งเดิม (1) – (2) จึงมีดังต่อไปนี้: การกำหนดปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุดเฉพาะที่ (5) – (6); การกำหนดพารามิเตอร์ของปัญหาท้องถิ่นโดยใช้สูตร (3) และ (6) แก้ไขปัญหาท้องถิ่นตาม (8) – (9) องค์ประกอบของโซลูชั่นท้องถิ่น (10)

การสูญเสียคุณภาพด้วยแนวทางที่เหมาะสมที่สุดในการสังเคราะห์การควบคุมที่เหมาะสมที่สุดโดยประมาณสามารถประมาณได้โดยใช้สูตรที่เสนอ

แนวทางใหม่ในการแก้ปัญหาการควบคุมโดยอิงจากแนวคิดเรื่องความเท่าเทียมกันมีการเสนอปัญหาเริ่มต้นในมิติขนาดใหญ่และการปฏิบัติตามหน่วยนอกองค์ประกอบของปัญหา

1. Mesarovic M. , Mako D. , Takahara I. ทฤษฎีระบบหลายระดับแบบลำดับชั้น – อ.: มีร์, 1973.

2. เอเอสดอน แอล.เอส. การเพิ่มประสิทธิภาพของระบบขนาดใหญ่ – อ.: มีร์, 1975.

3. อัลเบรชท์ อี.จี. เรื่องการรักษาเสถียรภาพของระบบไม่เชิงเส้นอย่างเหมาะสมที่สุด – คณิตศาสตร์และกลศาสตร์ประยุกต์ พ.ศ. 2504 เล่ม 25.

4. Zhivoglyadov V.P. , Krivenko V.A. วิธีการสลายปัญหาการควบคุมมิติขนาดใหญ่ด้วยเกณฑ์คุณภาพที่แยกไม่ออก บทคัดย่อของการประชุม II All-Union Interuniversity Conference “การสนับสนุนทางคณิตศาสตร์ อัลกอริธึม และทางเทคนิคของระบบควบคุมกระบวนการอัตโนมัติ” ทาชเคนต์ 1980

5. Hassan Mohamed, Sinqh Madan G. การเพิ่มประสิทธิภาพสำหรับระบบที่ไม่ใช่เชิงเส้นโดยใช้วิธีสองระดับใหม่“ออโตเมติกา”, 1976, 12, หมายเลข 4.

6. มาห์มุด การเพิ่มประสิทธิภาพหลายระดับแบบไดนามิกสำหรับคลาสของระบบที่ไม่ใช่เชิงเส้น “Int. เจ. คอนโทรล”, 1979, 30, ฉบับที่ 6.

7. คริเวนโก วี.เอ. การแปลงแบบจำลองการหาค่าเหมาะที่สุดแบบกึ่งเทียบเท่าในปัญหาการสังเคราะห์อัลกอริธึมควบคุม – ในหนังสือ: การปรับตัวและการเพิ่มประสิทธิภาพในระบบขนาดใหญ่ – ฟรุนเซ, 1985.

8. คริเวนโก วี.เอ. วิธีการสังเคราะห์อัลกอริธึมควบคุมโดยใช้แนวคิดในการปรับเปลี่ยนฟังก์ชันวัตถุประสงค์ – ฟรุนเซ, 1985.

9. Rumyantsev V.V. เรื่องการรักษาเสถียรภาพสูงสุดของระบบควบคุม – คณิตศาสตร์และกลศาสตร์ประยุกต์, พ.ศ. 2513, ฉบับที่. 3.

10. Ovezgeldyev A.O., Petrov E.T., Petrov K.E. การสังเคราะห์และการระบุแบบจำลองการประเมินและการหาค่าเหมาะที่สุดแบบหลายปัจจัย – เค: Naukova Dumka, 2002.

คำตอบสำหรับคำถาม

เอาท์พุทการรวบรวม:

การควบคุมวัตถุไดนามิกที่ซับซ้อนด้วยโครงสร้างที่แปรผันได้

มาร์คิน วาซิลี เอฟเก็นเยวิช

ปริญญาเอก เทคโนโลยี วิทยาศาสตร์, รองศาสตราจารย์, มหาวิทยาลัยแห่งรัฐมอสโก. พล.อ. จี.ไอ. เนเวลสโคโก, วลาดิวอสต็อก

โวโรบีฟ อเล็กเซย์ ยูริวิช

ปริญญาเอก เทคโนโลยี วิทยาศาสตร์, รองศาสตราจารย์ FEFU, วลาดิวอสต็อก

งานเร่งด่วนของทฤษฎีการควบคุมสมัยใหม่คือการสร้างอัลกอริธึมและระบบควบคุมที่มีประสิทธิภาพสูงสำหรับการควบคุมวัตถุไดนามิกที่ซับซ้อน คลาสของวัตถุไดนามิกที่ซับซ้อนรวมถึงวัตถุต่างๆ เช่น หุ่นยนต์บิดเบือน ยานพาหนะใต้น้ำ เครื่องจักรสำหรับการประมวลผลที่ซับซ้อน ฯลฯ คุณลักษณะเฉพาะของวัตถุดังกล่าวคือมิติขนาดใหญ่ของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ความไม่เชิงเส้นประเภทต่างๆ ในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ความหลากหลาย เช่น รวมถึงความไม่แน่นอนเชิงโครงสร้างและพารามิเตอร์ที่มีนัยสำคัญซึ่งแสดงออกมาในกระบวนการทำงาน

สาเหตุของความไม่แน่นอนของพารามิเตอร์อาจเป็นได้ทั้งคุณสมบัติไดนามิกของวัตถุเอง (เช่น การเปลี่ยนแปลงการกำหนดค่าของตัวจัดการทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงหลายครั้งในช่วงเวลาแห่งความเฉื่อยที่ลดลง) และการกระทำของสภาพแวดล้อม ในทางคณิตศาสตร์ ความไม่แน่นอนประเภทนี้สามารถประเมินได้ดังนี้:

ที่ไหน ป ฉัน - พารามิเตอร์บางอย่าง ในระหว่างการดำเนินการ พารามิเตอร์ของออบเจ็กต์สามารถรับค่าจากช่วงระหว่างค่าต่ำสุดและค่าสูงสุด

ในการสังเคราะห์อัลกอริธึมและระบบควบคุมสำหรับวัตถุไดนามิกที่ซับซ้อนภายใต้เงื่อนไขของความไม่แน่นอน มีการใช้วิธีการต่างๆ เช่น เครือข่ายแบบปรับตัว แข็งแกร่ง โครงข่ายประสาทเทียม ฯลฯ ในงานนี้ อัลกอริธึมควบคุมที่มีโครงสร้างตัวแปรถูกใช้เป็นฐาน ระบบที่มีโครงสร้างแปรผัน (SPS) ที่ทำงานโดยใช้อัลกอริธึมนี้เป็นที่ทราบกันมานานแล้วว่าเป็นระบบรีเลย์ที่มีการควบคุมไม่ต่อเนื่อง การควบคุมด้วยโครงสร้างตัวแปรมักจะสร้างในรูปแบบต่อไปนี้:

(2)

ที่ไหน - สมการของพื้นผิวสวิตชิ่ง (เลื่อน) ในพื้นที่สถานะ ร nซึ่งมีพิกัดเฟสของวัตถุ x 1 ,…x n. ตามเนื้อผ้า ระบบลำดับที่สองจะได้รับการพิจารณา ซึ่งในกรณีนี้พื้นที่สถานะจะเสื่อมลงเป็นระนาบเฟส และพื้นผิวการสลับเป็นเส้นการสลับ สมการพื้นผิวสวิตชิ่ง (เส้น) อาจเป็นได้ทั้งแบบเชิงเส้นหรือไม่เชิงเส้น ในกรณีที่ง่ายที่สุด เส้นสวิตชิ่งจะเป็นเส้นตรง ในกรณีนี้ พื้นผิวสวิตชิ่งจะถูกระบุโดยเวกเตอร์ของพารามิเตอร์บางตัว ค ขนาด (n x 1) โดยที่ n- ลำดับของระบบ คุณลักษณะเฉพาะของระบบโครงสร้างตัวแปร (VSS) คือการมีอยู่ของโหมดเลื่อนที่เรียกว่า โหมดเลื่อนเป็นโหมดไดนามิกพิเศษของระบบซึ่งมีการเคลื่อนไหวเกิดขึ้นตามพื้นผิวสวิตช์ ส= 0 สร้างขึ้นในพื้นที่เฟส ร n(รูปที่ 1)

ภาพที่ 1. โหมดเลื่อนใน SPS

เงื่อนไขหลักสำหรับการมีอยู่ของโหมดเลื่อนมีการกำหนดดังนี้:

ในโหมดเลื่อน ระบบจะทำงานในโหมดสวิตชิ่งที่เกิดขึ้นตามทฤษฎีด้วยความถี่สูงอย่างไม่สิ้นสุด วิถีของระบบถูกกำหนดในทางทฤษฎีโดยสมการของเส้นสวิตชิ่งเท่านั้นซึ่งไม่ได้ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ของระบบ (ตัวอย่างเช่นบนโหลดที่แปรผัน) กระบวนการชั่วคราวในโหมดเลื่อนมีความเสถียรและซ้ำซาก เพื่อให้แน่ใจว่าคุณสมบัติไดนามิกที่ยอมรับได้ของระบบ จำเป็นต้องมีการปรับพารามิเตอร์เริ่มต้น ซึ่งปกติจะใช้วิธี minimax: เวกเตอร์พารามิเตอร์ คถูกเลือกเพื่อให้เงื่อนไขเริ่มต้นใดๆ เป็นไปตามเงื่อนไขของการมีอยู่ของโหมดเลื่อน (3) กล่าวอีกนัยหนึ่งค่าของสัมประสิทธิ์สายการสลับจะถูกเลือกโดยคำนึงถึงค่าสูงสุดของพารามิเตอร์ที่เปลี่ยนแปลง พี ฉัน สูงสุด(1) สิ่งนี้ทำให้สามารถรับประกันได้ว่าจะมีโหมดเลื่อนเกิดขึ้นภายใต้เงื่อนไขเริ่มต้นใดๆ ในเวลาเดียวกันประสิทธิภาพของระบบ (ซึ่งถูกกำหนดโดยค่าขององค์ประกอบของเวกเตอร์ด้วย ค) มีค่าต่ำ นี่เป็นหนึ่งในข้อเสียเปรียบหลักของ SPS แบบดั้งเดิม เพื่อเพิ่มประสิทธิภาพ จะใช้การปรับตามพารามิเตอร์โหมดเลื่อน อัลกอริธึมการปรับตัวสำหรับการปรับค่าสัมประสิทธิ์สายสวิตชิ่ง c มีรูปแบบดังต่อไปนี้:

(4)

ที่ไหน เค c คือค่าสัมประสิทธิ์สัดส่วน m, m d คือค่าปัจจุบันและค่าอ้างอิงของพารามิเตอร์การเลื่อนตามลำดับ

งานนี้ตรวจสอบการควบคุมแบบปรับตัวของการขับเคลื่อนของหุ่นยนต์ควบคุม แผนภาพบล็อกของระบบควบคุมอัตโนมัติแสดงไว้ในรูปที่ 1 2.

การวาดภาพ 2 . บล็อกไดอะแกรมของระดับระบบควบคุมการเคลื่อนที่แบบเคลื่อนที่

ในการใช้หลักการของความแปรปรวนของโครงสร้าง จะใช้การควบคุมรีเลย์ในการทำงาน:

ในทางกลับกัน

, (6)

ที่ไหน ค- ค่าสัมประสิทธิ์ของระนาบเลื่อน (สวิตชิ่ง)

สำหรับการจำลอง มีการใช้แพ็คเกจ Simulink ที่รวมอยู่ใน Matlab ผลการจำลองในรูปแบบของวิถีเฟสสามมิติของระบบแสดงไว้ในรูปที่ 1 3.

รูปที่ 3 วิถีเฟสและกระบวนการเวลาของระบบลำดับที่สาม: 1 - ไม่มีการปรับตัว 2 - พร้อมการปรับตัว

การจำลองแสดงให้เห็นถึงการปรับปรุงประสิทธิภาพที่สำคัญเมื่อใช้การควบคุมแบบปรับเปลี่ยนได้ นอกจากนี้ยังมีการปรับปรุงที่สำคัญในตัวบ่งชี้คุณภาพไดนามิกเมื่อเปรียบเทียบกับอัลกอริธึมการควบคุมแบบดั้งเดิม

ทิศทางเพิ่มเติมของการวิจัยคือเพื่อให้แน่ใจว่าอัลกอริธึมการควบคุมมีความแข็งแกร่งยิ่งขึ้นโดยสัมพันธ์กับพารามิเตอร์ของวัตถุและตัวควบคุม ดังนั้น อัลกอริธึมสำหรับการควบคุมวัตถุไดนามิกลำดับสูงที่ซับซ้อนภายใต้เงื่อนไขของความไม่แน่นอนของพารามิเตอร์ที่มีนัยสำคัญจึงได้รับการพัฒนา ตามอัลกอริธึมที่นำเสนอ ระบบควบคุมแบบปรับเปลี่ยนได้ถูกสังเคราะห์ขึ้น มีการทดลองเชิงตัวเลขซึ่งแสดงให้เห็นถึงประสิทธิภาพสูงของโซลูชันที่นำเสนอ

บรรณานุกรม:

1. ไดดา เอ.เอ., มาร์กิน วี.อี. ระบบควบคุมที่มีโครงสร้างแปรผันพร้อมพื้นผิวสวิตชิ่งที่เปลี่ยนรูปเป็นคู่และไม่เชิงเส้น // ปัญหาการจัดการ - พ.ศ. 2548 ฉบับที่ 1 หน้า 22-25

2.มาคิน วี.อี. การควบคุมความเร็วต่ำกว่าประสิทธิภาพของวัตถุไดนามิกที่ซับซ้อนภายใต้สภาวะที่ไม่แน่นอน / การดำเนินการของ XIII Baikal International School-สัมมนาเกี่ยวกับวิธีการเพิ่มประสิทธิภาพ ต. 2 - อีร์คุตสค์ 2548 หน้า 177-181

3.ทฤษฎีระบบที่มีโครงสร้างแปรผัน / เอ็ด. เอส.วี. Emelyanova - M.: Nauka, กองบรรณาธิการหลักของวรรณคดีกายภาพและคณิตศาสตร์, 1970 - 592 p.

4. อุตคิน วี.ไอ. โหมดเลื่อนในปัญหาการปรับให้เหมาะสมและการควบคุม - M: Nauka กองบรรณาธิการหลักของวรรณกรรมเชิงฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ พ.ศ. 2524 - 368 หน้า

5.ไดดา เอ.เอ. การออกแบบอัลกอริธึม Adaptive VSS สำหรับการควบคุมหุ่นยนต์ Manipulator โปรค ของการประชุมควบคุมเอเชียครั้งแรก โตเกียว 27-30 กรกฎาคม 1994 หน้า 1077-1080