Тангенс (tg x) и котангенс (ctg x) – свойства, графики, формули

Референтни данни за тангенс (tg x) и котангенс (ctg x). Геометрична дефиниция, свойства, графики, формули. Таблица на тангенси и котангенси, производни, интеграли, разширения на редове. Изрази чрез комплексни променливи. Връзка с хиперболични функции.

Геометрична дефиниция

|BD| - дължина на дъгата от окръжност с център в точка А.
α е ъгълът, изразен в радиани.

Тангенса ( тен α) е тригонометрична функция, зависеща от ъгъла α между хипотенузата и катета на правоъгълен триъгълник, равен на отношението на дължината на срещуположния катет |BC| до дължината на съседния катет |AB| .

Котангенс ( ctg α) е тригонометрична функция, зависеща от ъгъла α между хипотенузата и катета на правоъгълен триъгълник, равен на отношението на дължината на съседния катет |AB| до дължината на срещуположния катет |BC| .

Допирателна

Където н- цяло.

В западната литература тангенсът се обозначава по следния начин:
.
;
;
.

Графика на функцията тангенс, y = tan x

Котангенс

Където н- цяло.

В западната литература котангенсът се означава по следния начин:
.
Приемат се и следните нотации:
;
;
.

Графика на функцията котангенс, y = ctg x

Свойства на тангенса и котангенса

Периодичност

Функции y = tg xи y = ctg xса периодични с период π.

Паритет

Функциите тангенс и котангенс са нечетни.

Области на дефиниране и стойности, нарастващи, намаляващи

Функциите тангенс и котангенс са непрекъснати в тяхната област на дефиниция (вижте доказателство за непрекъснатост). Основните свойства на тангенса и котангенса са представени в таблицата ( н- цяло).

	y = tg x	y = ctg x
Обхват и приемственост
Диапазон от стойности	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Повишаване на		-
Спускане	-
Крайности	-	-
Нули, y = 0
Пресечете точки с ординатната ос, x = 0	y = 0	-

Формули

Изрази, използващи синус и косинус

; ;
; ;
;

Формули за тангенс и котангенс от сбор и разлика

Останалите формули са лесни за получаване, например

Произведение на допирателните

Формула за сбор и разлика на тангенси

Тази таблица представя стойностите на тангенсите и котангенсите за определени стойности на аргумента.

Изрази, използващи комплексни числа

Изразяване чрез хиперболични функции

;
;

Деривати

; .

.
Производна от n-ти ред по отношение на променливата x на функцията:
.
Извеждане на формули за тангенс >>>; за котангенс >>>

Интеграли

Разширения на сериите

За да получите разширение на тангенса по степени на x, трябва да вземете няколко члена на разширението в степенен ред за функциите грях хИ cos xи разделяме тези полиноми един на друг, . Това произвежда следните формули.

В .

при .
Където Bn- Числата на Бернули. Те се определят или от рекурентната връзка:
;
;
Където .
Или според формулата на Лаплас:

Обратни функции

Обратните функции на тангенса и котангенса са съответно арктангенс и арккотангенс.

Арктангенс, arctg

, Където н- цяло.

Аркотангенс, arcctg

, Където н- цяло.

Препратки:
И.Н. Бронщайн, К.А. Семендяев, Наръчник по математика за инженери и студенти, “Лан”, 2009 г.
Г. Корн, Наръчник по математика за учени и инженери, 2012 г.