Tangens (tg x) i cotangens (ctg x) - właściwości, wykresy, wzory

Dane referencyjne dla tangensu (tg x) i cotangensu (ctg x). Definicja geometryczna, właściwości, wykresy, wzory. Tabela stycznych i cotangensów, pochodnych, całek, rozwinięć szeregów. Wyrażenia poprzez zmienne zespolone. Powiązanie z funkcjami hiperbolicznymi.

Definicja geometryczna

|BD| - długość łuku okręgu, którego środek znajduje się w punkcie A.
α to kąt wyrażony w radianach.

Styczna ( tgα) jest funkcją trygonometryczną zależną od kąta α między przeciwprostokątną a ramieniem trójkąta prostokątnego, równą stosunkowi długości przeciwnej nogi |BC| do długości sąsiedniej nogi |AB| .

Cotangens ( ctgα) jest funkcją trygonometryczną zależną od kąta α między przeciwprostokątną a ramieniem trójkąta prostokątnego, równą stosunkowi długości sąsiedniej nogi |AB| do długości przeciwnej nogi |BC| .

Tangens

Gdzie N- cały.

W literaturze zachodniej tangens jest oznaczany w następujący sposób:
.
;
;
.

Wykres funkcji stycznej, y = tg x

Cotangens

Gdzie N- cały.

W literaturze zachodniej kotangens jest oznaczany w następujący sposób:
.
Przyjęto także następującą notację:
;
;
.

Wykres funkcji cotangens, y = ctg x

Własności tangensa i cotangensa

Okresowość

Funkcje y= tg x i y= ctg x są okresowe z okresem π.

Parytet

Funkcje tangens i cotangens są nieparzyste.

Dziedziny definicji i wartości, rosnąco, malejąco

Funkcje tangens i cotangens są ciągłe w swojej dziedzinie definicji (patrz dowód ciągłości). Główne właściwości stycznej i cotangens przedstawiono w tabeli ( N- liczba całkowita).

	y= tg x	y= ctg x
Zakres i ciągłość
Zakres wartości	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Rosnąco		-
Malejąco	-
Skrajności	-	-
Zera, y= 0
Punkty przecięcia z osią y, x = 0	y= 0	-

Formuły

Wyrażenia w postaci sinusa i cosinusa

; ;
; ;
;

Wzory na tangens i cotangens sumy i różnicy

Pozostałe wzory są łatwe do uzyskania np

Iloczyn stycznych

Wzór na sumę i różnicę stycznych

Ta tabela pokazuje wartości stycznych i cotangensów dla niektórych wartości argumentu.

Wyrażenia w postaci liczb zespolonych

Wyrażenia w postaci funkcji hiperbolicznych

;
;

Pochodne

; .

.
Pochodna n-tego rzędu po zmiennej x funkcji:
.
Wyprowadzenie wzorów na tangens > > > ; dla cotangens > > >

Całki

Rozszerzenia w serie

Aby otrzymać rozwinięcie tangensa w potęgach x, należy wziąć pod uwagę kilka wyrazów rozwinięcia szeregu potęgowego dla funkcji grzech x I bo x i podzielić te wielomiany między sobą , . W rezultacie powstają następujące formuły.

Na .

Na .
Gdzie B n- Liczby Bernoulliego. Wyznacza się je albo z relacji powtarzalności:
;
;
Gdzie .
Lub zgodnie ze wzorem Laplace'a:

Funkcje odwrotne

Funkcje odwrotne do stycznej i cotangens to odpowiednio arcustangens i arccotangens.

Arcus tangens, arctg

, Gdzie N- cały.

Arctgens, arcctg

, Gdzie N- cały.

Bibliografia:
W. Bronstein, KA Semendyaev, Podręcznik matematyki dla inżynierów i studentów szkół wyższych, Lan, 2009.
G. Korn, Podręcznik matematyki dla badaczy i inżynierów, 2012.