Proiectarea formală și evaluarea validității ca condiții pentru stabilirea unui efect experimental. Planificarea unui experiment psihologic Când a apărut planificarea unui experiment?

Planificarea experimentală este un domeniu al statisticii matematice care urmărește să selecteze numărul și condițiile de realizare a experimentelor care sunt necesare și suficiente pentru a rezolva o problemă cu acuratețea necesară, să dezvolte metode și tehnici de prelucrare matematică a rezultatelor experimentale și să ia anumite decizii pe baza acest.

Ce beneficii oferă planificarea experimentatorului? O atitudine fundamental diferită față de eroare. Randomizare. Experiment secvenţial. Utilizarea optimă a spațiului variabilelor independente. Reducerea informațiilor. Funcția etică a designului experimental. Design experimental și logica întrebărilor.

Care este strategia experimentală? 1. Recunoașterea existenței problemei și formularea acesteia. 2. Selectarea factorilor și a nivelurilor. 3. Selectarea variabilei răspuns. 4. Alegerea unui plan experimental. 5. Realizarea unui experiment. 6. Analiza datelor. 7. Concluzii și recomandări.

Analogie între experimentele de calcul și cele de laborator. Experiment de laborator Probă Experiment de calcul Model Dispozitiv Măsurare Program de calculator Testare program Calcul Analiza datelor Calibrare

PRELUCRAREA STATISTICĂ PRIMARĂ A DATELOR EXPERIMENTALE Media aritmetică Ma= y/m=(y 1+y 2+... +yi+... +ym)/m Media geometrică Mg=(yi)1/m=(y 1 y 2 . . . yi. . . ym)1/m Patrat mediu Ms=(yi 2/m)1/2=((y 12+y 22+. . . +yi 2+... +ym 2)/m ) 1/2 Media armonică Mgr=m(yi– 1)– 1 Mod Median Md=y(m+1)/2 Md=(ym/2+1)/2

Varianta de reproductibilitate Sj 2= (yij-yavj)2/(m-1)= =((y 1 j-yavj)2+(y 2 j-yavj)2+... +(ymj-yavj)2)/ (m-1) Abaterea standard Sj=(Sj 2)1/2=((Yij-Yavj)2/(m-1))1/2 Coeficient de variație V=Sj/Yavj · 100% Interval R=Ymaxj – Yminj Interval de încredere pentru medie B = yрj t Sj/((m)1/2)

Număr de măsurători repetate m=(V 2) (t 2)/(T 2) Coeficient de variație (V, %), Indicator de acuratețe (eroare relativă T, de obicei 5%), Indicator de fiabilitate (t - testul Student). m=(V 2) (t 2) (1 1/(2 m 1)1/2)2/(T 2) Limitele inferioare și superioare pentru varianță =m– 1; =95%; =5%

Eliminarea erorilor grosolane Conform criteriului Romanovsky |ym+1 –ysr| t" Sy După criteriul Q Q=|ym-ym-1|/|ym-y 1| Verificarea omogenității varianțelor F=S 21/S 22 – testul lui Fisher; G – testul lui Cochran B/C – testul lui Bartlett (prin χ2 )

Verificarea diferenței dintre medii eșantion mare eșantion mic Comparația mai multor medii folosind testul lui Duncan Mediile sunt clasate. Valoarea variației de reproductibilitate este calculată cu numărul de grade de libertate =n (m– 1).

Se calculează eroarea normalizată a mediei S=(Sa 2/m)0. 5 Valorile rangurilor semnificative (n–1) din tabelul Duncan sunt scrise cu numărul de grade de libertate, nivelul de semnificație și p=2, 3, …, n. Randamentele cel mai puțin semnificative (LSR) se calculează ca produs dintre ranguri și eroarea normalizată a mediei S. Se verifică diferențele dintre medii, începând cu cele extreme; se compară această diferență cu WIP la p=n, apoi se constată diferența dintre media maximă și prima care depășește minimul și se compară cu WIP la p=n– 1 etc.

SELECTAREA PARAMETRILOR ŞI FACTORILOR DE OPTIMIZARE Cerinţe de răspuns: 1. Răspunsul (parametrul de optimizare) trebuie să fie eficient în ceea ce priveşte atingerea scopului. 2. Răspunsul trebuie să fie universal, adică să reflecte în mod cuprinzător proprietățile procesului. 3. Răspunsul trebuie să fie cantitativ și exprimat într-un număr. 4. Răspunsul trebuie să fie eficient din punct de vedere statistic, adică să aibă o variație mică. 5. Este de dorit ca parametrul de optimizare să aibă o semnificație fizică, să fie simplu și ușor de calculat.

Cerințe pentru factori: 1. Factorii trebuie să fie controlabili, adică astfel încât în ​​domeniul definiției factorului să i se acorde orice valoare. 2. Factorii trebuie să fie compatibili. Aceasta înseamnă că poate fi implementată orice combinație de niveluri din domeniul de aplicare. Factorii sunt incompatibili dacă unele combinații de niveluri duc la oprirea procesului (de exemplu, ca urmare a unei explozii etc.). 3. Precizia nivelurilor de setare a factorilor trebuie să fie mai mare decât acuratețea fixării valorilor parametrului de optimizare.

IDENTIFICAREA VARIABILLOR SEMNIFICATIVE PE BAZĂ DE INFORMAȚII APRIORI Coeficientul de corelație a rangului lui Spearman =cov(x, y)/((S 2 x S 2 y)0. 5)=1– 6 ((xi–yi)2)/(n 3 - n ) Coeficientul de corelare a rangului Kendall

pătratul Youden 1 2 3 4 5 6 7 1 A B C D E F G 2 B C D E F G A 3 D E F G A B C 1 2 1 3 1 2 3 1 2 2 2 1 2 3 A B C D E F G Σ 5 6 9 3 7 8 4

METODE EXPERIMENTALE ȘI STATISTICE IDENTIFICAREA VARIABILELOR SEMNIFICATIVE Experiment factorial complet Tranziția de la scara naturală a unei variabile la o PFE condiționată 22 x1 x2 (1), a, b, ab -1 +1 -1 yр=b 0+b 1 x 1 +b 2 x 2 +b 12 x 1 x 2

+1 -1 -1 +1 Z= +1 +1 4 0 0 0 +1 +1 -1 -1 -1 +1 0 4 0 0 Z'= Z'Z= +1 -1 -1 -1 + 1 +1 0 0 4 0 +1 +1 +1 -1 -1 +1 0 0 0 4 b 0=(y 1+y 2+y 3+y 4)/4; b 2=(–y 1–y 2+y 3+y 4)/4; b 1=(–y 1+y 2–y 3+y 4)/4; b 12=(y 1–y 2–y 3+y 4)/4.

Organizarea experimentului și calculele sunt efectuate în următoarea secvență. 1. Selectarea nivelurilor de variație a factorilor. 2. Construirea planului experimental și a matricei de planificare. 3. Efectuarea măsurătorilor experimentale. 4. Calculul coeficienților modelului liniar. 5. Verificarea semnificaţiei coeficienţilor modelului. 6. Verificarea continutului modelului. 7. Verificarea adecvării modelului. 8. Verificarea capacităţii de predicţie în centrul planului. 9. Analiza reziduurilor. 10. Interpretarea (analiza) modelului. 11. Luarea deciziilor pe baza informațiilor primite

De ce este folosit un experiment factorial complet S 2 bi= S 2 ref / N +1 +1 4 0 0 -1 +1 0 4 0 -1 -1 +1 +1 0 0 4 +1 +1 4 0 0 -1 +1 0 0 0 2 0 0 0 +1 +1 0 0 2

PFE 23 x1 -1 +1 Plan x2 -1 -1 +1 +1 x3 -1 -1 +1 +1 Denumire (1) a b ab c ac bc abc

yр=b 0+b 1 x 1+b 2 x 2+b 3 x 3+b 12 x 1 x 2+b 13 x 1 x 3+b 23 x 2 x 3+b 123 x 1 x 2 x 3 + 1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 Z 1 = +1 -1 +1 +1 +1 -1 Z 2 = +1 +1 + 1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 +1

b 0=(y 1+y 2+y 3+y 4+y 5+y 6+y 7+y 8)/8; b 1=(-y 1+y 2 -y 3+y 4 -y 5+y 6 -y 7+y 8)/8; yuср = yu/N; b 2=(-y 1 -y 2+y 3+y 4 -y 5 -y 6+y 7+y 8)/8; b 3=(-y 1 -y 2 -y 3 -y 4+y 5+y 6+y 7+y 8)/8; S2R0= (yu-yур)2/(N-1); b 12=(y 1 -y 2 -y 3+y 4+y 5 -y 6 -y 7+y 8)/8; b 13=(y 1 -y 2+y 3 -y 4 -y 5+y 6 -y 7+y 8)/8; S2R = (yu-yucalc)2/(N-p); b 23=(y 1+y 2 -y 3 -y 4 -y 5 -y 6+y 7+y 8)/8; b 123=(-y 1+y 2+y 3 -y 4+y 5 -y 6 -y 7+y 8)/8; Continutul modelului: F=S 2 R 0/S 2 R Adecvarea modelului: F=S 2 R/S 2 play. Capacitatea predictivă a modelului: t=|b 0 -y 0 avg|/(S 2 play/m)0. 5

Replici fracționate DFE 2 3 -1 + + D=0 + + - + + + - D=256 + - - + + + Raport generator x 1 x 2=x 3 Definirea contrastului I=x 1 x 2 x 3 Sistem de amestecare b 1 1+ 23; b 2 2+ 13; b 3 3+ 12; b 0 0+ 123

TFE 24– 1 Relații generatoare x 4=x 1 x 2 și x 4=x 1 x 2 x 3 Planuri 1) d, a, b, abd, cd, ac, bc, abcd; 2) (1), ad, bd, ab, cd, ac, bc, abcd Definirea contrastelor I=x 1 x 2 x 4 și I=x 1 x 2 x 3 x 4. Sisteme de amestecare 1) b 1 1+ 24 ; b 2 2+ 14; b 3 3+ 1234; b 4 4+ 12; b 13 13+ 234; b 23 23+ 134; b 34 34+ 123; b 0 0+ 124. 2) b 1 1+ 234; b 2 2+ 134; b 3 3+ 124; b 4 4+ 123; b 12 12+ 34; b 13 13+ 24; b 14 14+ 23; b 0 0+ 1234

TFE 27– 4 y=b 0+b 1 x 1+b 2 x 2+b 3 x 3+b 4 x 4+b 5 x 5+b 6 x 6+b 7 x 7 GS: x4=x1 x2 , x5=x1·x3, x6=x2·x3 și x7=x1·x2·x3 Generalizarea OK include contrastele formate din aceste patru GS, precum și produsele contrastelor de doi, trei și patru. I=x1 x2 x4=x1 x3 x5=x2 x3 x6=x1 x2 x3 x7=x2 x3 x4 x5= =x1 x3 x4 x6=x3 x4 x7 =x1 x2 x5 x6=x2 x5 x7=x1 x6 x7= =x4 x5 x6=x1 x4 x5 x7=x2 x4 x6 x7=x3 x5 x6 x7= =x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7. Neglijând efectele de interacțiune, începând cu triple, obținem: b 0→β 0 (mai jos nu există triple) b 1→β 1+β 24+β 35+β 67 b 2→β 2+β 14+β 36+β 57 b 3 →β 3+β 15+β 26+β 47 b 4→β 4+β 12+β 37+β 56 b 5→β 5+β 13+β 27+β 46 b 6→β 6+β 23+β 17+β 45 b 7→β 7+β 34+β 25+β 16

Selectarea factorilor pe baza unui experiment de screening Design-uri Plackett-Burman n N Combinații de caractere 3 4 + - + 7 8 + + + - 11 12 + + - 15 16 + + - 19 20 + + - - - + + - - + - + - - + + - n – numărul de factori; N – numărul de experimente.

Planuri de echilibru aleatoriu Nr. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 Clasament 1 2 3 4 5 6 7 8 + + + + + + + + + - 8 3 6 7 4 5 2 1

Analiza diagramelor de dispersie x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 Md- 5. 0 4. 5 4. 0 3. 5 5. 5 6. 0 3. 0 4. 5 Md+ 4 0 4. 1 3. 0 5. 5 2. 5 3. 5 4. 5 3. 0 B -1. 0 -0. 5 -1. 5 2. 0 3. 0 -2. 5 1. 5 -1. 5 n 2 - - - 3 - - |p| 2. 0 1. 5 6. 0 - - - 7. 5 - - 3 4

ANALIZA VARIAȚEI Modelul ANOVA unidirecțional yij= + j+ ij, yij denotă i-a observație pe al j-lea nivel factor (i=1, 2, . . . , m; j=1, 2, …, n). Calcul y-ysr=y-50. 1 yij i ↓ 2 6 5 12 9 10 14 11 0 5 6 3 j→ -5 -4 -5 -11 -7 4 -8 -11 -5 -7 -9

Calculul sumelor valorilor răspunsului pe coloane. T. 1=6+5+12+9+10=42; T. 2=14+11+0+5+6=36; T. 3=-5-4-5-1-7=-32; T. 4=-8 -11 -5 -7 -9=-40. T. . =42+36– 32– 40=6. Calculați valorile medii de răspuns pentru fiecare nivel de factor. y 1 av=42/5=8. 4; y 2 av=36/5=7. 2; y 3 av=-32/5=-6. 4; y 4 av=-40/5=-8. 0. Calculul sumelor pătratelor valorilor răspunsului yij în rânduri și coloane. SS 1=62+52+122+92+102=386; SS 2=142+112+02+52+62=378; SS3=(-5)2+(-4)2+(-5)2+(-11)2+(-7)2 =236; SS4=(-8)2+(-11)2+(-5)2+(-7)2+(-9)2 =340; SS=386+378+236+340=1340. SStotal=1340 -62/(5×4)=1338. 2.

Calculul sumelor de pătrate care caracterizează influența factorului și a erorii. SSsp=422/5+362/5+(-32)2/5+(-40)2/5 -62/20=1135. 0; SSosh = 1338. 2– 1135. 0 = 203. 2. Calculul pătratelor medii (varianțe). νtot=5× 4– 1=19; νsp=4– 1=3; νosh=4×(5 – 1) = 16. MSsp =1135/3=378. 3; MSosh=203. 2/16=12. 7. Rezultatele analizei unidirecționale a varianței Sursa variabilității Suma pătratelor SS Numărul de grade de libertate ν Patrat mediu MS Criteriul Fisher F Factor 1135. 0 3 378. 3 29. 8 Eroarea 203. 2 16 12. 7 Total 1138 2 19

Analiza cu doi factori a varianței Model yij= + j+βj+ ij Calcul yij – 13 mm Marca anvelope auto A B C D T. j I 4 1 -1 0 4 II 1 1 -1 -2 -1 III 0 0 -3 -2 - 5 IV 0 -5 -4 -4 -13 T i. 5 -3 -9 -8 -15=T. . 17 27 27 24 95=

Calculul sumelor pătratelor SStot = 95 -(-15)2/16 = 80. 9; SSmar = ((5)2+(-3)2+(-9)2+ +(-8)2)/4 -(-15)2/16 = 30, 6; SSaut = ((4)2+(-1)2+(-5)2+ +(-13)2)/4 -(-15)2/16 = 38, 6; SSost=80. 9 -30. 6 -38. 6=11. 7. Calculul numărului de grade de libertate νtotal=n 1·n 2– 1; νmar=n 1 – 1; νaut=n 2 – 1; νres= νtotal–νmar–νaut. νtotal=4· 4– 1=15; νmar=4– 1=3; νaut=4– 1=3; νrest=15– 3– 3=9.

Calculul pătratelor medii. MSmar=SSmar/νmar; MSavt=SSavt/νavt; MSost=SSost/νrest. MSmar=30. 6/3=10. 2; MSaut=38. 6/3=12. 9; MSost=11. 7/9=1. 3. F=MSsp/MSrest. Fmar=10. 2/1. 3=7. 85; Faut=12. 9/1. 3=9. 92. Rezultatele analizei bifactoriale a varianței Sursa de variabilitate Suma Numărul de grade de pătrate SS libertate ν Patrat mediu MS Criteriul Fisher F Mărci de anvelope 30. 6 3 10. 2 7. 85 Mașini 38. 6 3 12. 9 9. 92 Rezidual 11. 7 9 1 3 TOTAL 80 9 15

Analiza multivariată a varianței Model yijk= + j+βj+ k + ijk A B C D Niveluri x1: a 1; a 2; a 3; a 4; B D A C Niveluri x2: b 1; b 2; b 3; b 4; C A D B D C B A Niveluri x3: A; B; C; D; Etape de calcul: 1. Calculul totalurilor (sumelor) și valorilor medii pentru rândurile Ai, coloanele Bj și literele latine Ck. 2. Calculul sumei pătratelor rezultatelor tuturor observațiilor: SS 1 = (Yijk)2. 3. Suma pătratelor totalurilor pe rând, împărțită la numărul de elemente din fiecare rând: SS 2 = Ai 2 / n. 4. Suma pătratelor totalurilor coloanei împărțită la numărul de elemente din fiecare coloană: SS 3 = Bj 2 / n. 5. Suma pătratelor totalurilor pentru literele latine, împărțită la numărul de elemente corespunzător fiecărei litere: SS 4 = Ck 2 / n.

6. Termen de corecție egal cu pătratul totalului, împărțit la numărul total de celule pătrate (la numărul de experimente): SS 5 = Yijk / (n 2). 7. Suma pătratelor pentru un rând: SSa=SS 2–SS 5. 8. Suma pătratelor pentru o coloană: SSb=SS 3 -SS 5. 9. Suma pătratelor pentru o literă latină: SSc=SS 4 -SS 5. 10. Suma totală a pătratelor: SStotal=SS 1 -SS 5. 11. Suma reziduală a pătratelor: SSost=SStot-(SSa+SSb+SSc). Analiza varianței pătrat latin Sursa variației Suma pătratelor SS Numărul de grade de libertate Patrat mediu MS Criteriul lui Fisher F Rânduri SSa=SS 2 -SS 5 a=n– 1 MSa=SSa/ a MSa / MSost Coloane SSb=SS 3 - SS 5 b =n– 1 MSb=SSb/ b MSb / MSrest Lat. litere SSc=SS 4 -SS 5 c=n– 1 MSc=SSc/ c MSс / MSost Rest SSost=SStotal – odihnă=(n-1) (n-2) MSost=SSrest/ odihnă – (SSa+SSb+SSc ) Total SStotal=SS 1–SS 5 total=n 2–1

Pătrat greco-latin S-a studiat influența factorilor de formulare asupra alungirii la rupere a compozițiilor pe bază de clorură de polivinil (PVC). x 1 – lot de polimer. Niveluri ale factorului x 1: a 1, a 2, a 3, a 4. x 2 – conținut de plastifiant. Nivele de factor x 2, greutate. h.: ​​​​b 1 – 20, b 2 – 30, b 3 – 40, b 4 – 50. x 3 – tip stabilizator. Nivele de factor x 3: A – ulei de soia, B – stearat de calciu, C – stearat de bariu și D – stearat de cadmiu. x 4 – tip dinamometru. Nivele de factor x 4: , β și. A B C Dβ C D Aβ B Bβ A D C D Cβ B A

Planul și rezultatele experimentului la studierea proprietăților PVC x 2 x 1 a 2 a 3 a 4 Aiср Ai 2 b 1 A (8. 2) B (10. 2) C (8. 3) Dβ (5. 9) ) 32. 6 8. 2 1063 b 2 C (15. 1) D (25. 8) Aβ (22. 3) B (21. 2) 84. 4 21. 1 7123 b 3 Bβ (48. 9) A (25. 7 ) D (49. 6) C (35. 2) 160. 4 39. 9 25408 b 4 D (74. 1) Cβ (69. 5) B (80. 9) A (57. 1) 281. 6 70 4 79299 Bj 146. 3 131. 2 161. 1 120. 4 G= =558. 0 Bjср 36,6 32,8 40,3 29,9 Bj 2 21404 17213 25953 14256

A B C D C k 113. 3 161. 2 128. 1 155. 4 Ckav 28. 3 Ck 2 12837 25985 16410 24149 40. 3 β 32. 0 38. 9 Dl 3 1145.0 . p 32 . 3 D l 2 16718 21492 22530 17424 36. 7 37. 8 33. 0

Calculul sumei pătratelor rezultatelor tuturor observațiilor. . . SS 1=8. 22+10. 22+8. 32+. . . +80. 92+57. 12 =28992. 54. Suma pătratelor rândului totalizează împărțită la numărul de elemente din fiecare rând. SS 2=(1063+7123+25408+79299) / 4 =28223. 25. Suma pătratelor coloanei totalizează împărțită la numărul de elemente din fiecare coloană. . SS 3=(21404+17213+25953+14256)/4=19706. 50. Suma pătratelor totalurilor pentru literele latine, împărțită la numărul de elemente corespunzător fiecărei litere. SS 4=(12837+25985+16410+24149) / 4 =19845. 25. Suma pătratelor literei grecești totalizează împărțită la numărul de elemente corespunzător fiecărei litere. SS 5=(16718+21492+22530+17424) / 4 =19541. 00.

Termenul de corecție este egal cu pătratul totalului general împărțit la numărul total de celule pătrate (la numărul de experimente). SS 6 = 558. 02/ 16 = 19460. 25. Suma pătratelor pentru o dreaptă. SSa=SS2-SS6; SSa=28223. 25 -19460. 25=8763. 00. Suma pătratelor pentru coloană. SSb=SS3-SS6; SSb=19706. 50 -19460. 25=246. 25. Suma pătratelor pentru o literă latină. SSc=SS4-SS6; SSc=19845. 25 -19460. 25=385. 00. Suma pătratelor pentru o literă grecească. SSd=SS5-SS6; SSd=19541. 00 -19460. 25=80. 75. Suma totală a pătratelor. SStot=SS 1 -SS 6; SStotal=28992. 54 -19460. 25=9532. 27. Suma reziduală a pătratelor. SSost=SStot-(SSa+SSb+SSc+SSd); SSost=9532. 27 -(8763,00+246,25+385,00+80,75)=57. 27.

Analiza varianței pătratului greco-latin 4 4. Sursa variabilității Suma pătratelor SS Numărul de grade de libertate ν Pătrat mediu MS Criteriul lui Fisher F Rânduri, x 2 8763. 00 3 2921. 0 152. 9 Coloane, x 1 246 25 3 82. 1 4 3 Lat. litere, x 3 385. 00 3 128. 3 6. 7 Greacă. litere, x 4 80. 75 3 26. 9 1. 4 Eroare 57. 27 3 19. 1 F(3; 3; 0. 05)=9. 28 și F(3; 3; 0, 1)=5. 39 Total 9532. 27 15

PLANIFICAREA UNUI EXPERIMENT ÎN CONDIȚII ALE DEVĂRII TIMPULUI Influența acestei derive a timpului asupra parametrilor descrierii matematice a procesului poate fi practic eliminată prin împărțirea unei serii de experimente în blocuri separate, astfel încât efectul derivei în timp să fie amestecat cu produsele de factori pentru care coeficienţii de regresie sunt suficient de mici. Să presupunem că este necesar să se elimine influența derivei timpului asupra parametrilor ecuației de regresie obținute ca rezultat al unui experiment complet cu trei factori. În acest scop, vom împărți experimentul în două blocuri și vom introduce o nouă variabilă independentă xd, care caracterizează deriva. Să punem xd=x1 x2 x3. Într-unul dintre blocuri vom selecta experimente pentru care xd = +1, iar în celălalt bloc - pentru care xd = – 1. Formal, această planificare poate fi considerată ca un experiment de tip 24-1 cu relația generatoare xd = x1 x2 x3.

Planificare în condiții de derive temporară Bloc x1 x2 x3 xd=x1 x2 x3 Răspuns 1 – 1 +1 – 1 – 1 +1 +1 +1 +1 +1 – 1 – 1 2 y 1+βd y 2+βd y 3 + βd y 4+βd ​​​​y 5–βd y 6–βd y 7–βd y 8–βd

Dacă se caută ecuația de regresie sub forma y=b 0+b 1 x 1+b 2 x 2+b 3 x 3+b 12 x 1 x 2+b 23 x 2 x 3+b 123 x 1 x 2 x 3, atunci coeficienții de regresie vor fi următoarele estimări: b 0→β 0; b1→p1; b2→p2; b3→p3; b12→p12; b13→p13; b23→p23; b123→p123+pd; Să calculăm, de exemplu, coeficienții b 1 și b 123: b 1=(–(y 1+βd)+(y 2+βd)–(y 3+βd)+(y 4+βd)–(y 5–βd) +(y 6– βd)–(y 7–βd)+(y 8–βd)))/8= =(–y 1+y 2–y 3+y 4–y 5+y 6– y 7+y 8)/8; b 123=((y 1+βd)+(y 2+βd)+(y 3+βd)+(y 4+βd)–(y 5–βd)–(y 6– βd)–(y 7– βd)–(y 8–βd))/8= =(y 1+y 2+y 3+y 4–y 5–y 6–y 7–y 8)/8+βd. În consecință, toți coeficienții de regresie, cu excepția b 123, nu conțin erori din cauza derivei în timp.

Analiza derivei timpului poate fi efectuată și folosind pătrate magice. Să fie necesar să se efectueze N experimente independente. Numerele de la 1 la N sunt niște parametri de timp, cum ar fi ore sau zile. Se sugerează că atunci când sunt efectuate N experimente, are loc o deviere în timp a datelor experimentale. Natura derivei este liniară. Luați în considerare un design care combină un pătrat magic cu un experiment factorial complet 24.

Să luăm în considerare rezultatele determinării dependenței durității cauciucului de temperatura de vulcanizare (= 180 o. C și = 140 o. C), durata procesului (= 17 min și = 5 min), dozarea acceleratorului (= 1,2 părți în masă și = 0. 4 părți în masă) și umplutură (= 30 părți în masă și = 10 părți în masă). A fost implementat un experiment factorial complet 24 Să presupunem că rulăm un experiment în fiecare zi, apoi toate experimentele vor fi efectuate în 16 zile. În acest timp, are loc o derivă liniară. Pentru a ne proteja împotriva acestei derive, vom impune un PFE 24 pe 4 4 ​​pătrat magic simetric, ale cărui elemente sunt numerele de șaisprezece experimente. Acest design este acceptabil dacă interacțiunile x1 x4 și x2 x3 sunt nesemnificative.

Experimentul factorial 24 combinat cu 4 4 pătrat magic x 1(+1) x 2(+1) x 4(+1) x 3(+1) x 1(– 1) x 2(+1) x 2(– 1) ) 16 72. 0 2 70. 0 3 73. 8 13 59. 8 x 4(– 1) 5 69. 8 11 57. 8 10 62. 7 8 54. 7 x 4(+1) x 3(– 1) ) 9 67. 5 7 59. 3 6 64. 4 12 52. 2 x 4(– 1) 4 62. 4 14 48. 3 15 52. 2 1 50. 2

« x 1=[-1; 1; -1; 1; -1; 1]; « x 2=[-1; -1; 1; 1; -1; 1; 1]; « x 3=[-1; -1; 1; 1; 1; 1]; « x 4=[-1; -1; 1; 1; 1]; « y=; « X=; « b=(inv(X"*X))*(X"*y) b=61. 0687 2. 3187 4. 5312 4. 0062 3. 8063 « Y=X*b; « max(abs(y-Y)) ans = 3. 7938 « [(y-Y). /y*100] ans = 7. 5573 « (64. 7 -61. 1)/15*2 ans=0. 4800 Ultima formulă compară valorile răspunsului înainte și după deriva. Daca nu ar exista derapaj, valoarea raspunsului la punctul zero ar fi de 64,7 unitati, iar ca urmare a derapajului (fiind intr-un mediu agresiv) ar scadea cu 3,6 unitati.

ANALIZA CORELATIEI O relatie intre doua marimi variabile se numeste statistica daca fiecare valoare a uneia dintre ele corespunde unui set de valori a celeilalte, dar numarul acestor valori nu este constant, iar valorile insele nu reflectă un anumit tipar. Să luăm în considerare observațiile bidimensionale, adică acele observații care dau valorile a două variabile aleatoare x și y. Folosim următoarea caracteristică statistică - covarianța sau al doilea moment central mixt (altfel - momentul de corelație) a valorilor x și y: Coeficientul de corelație

Sunt valabile următoarele relaţii: y=a+bx; x=a +׳ b ׳ y Astfel, obținem două ecuații de regresie care corespund la două formulări matematice diferite ale problemei: în primul caz, valoarea minimă este suma abaterilor pătrate luate paralel cu axa ordonatelor, în al doilea. caz - suma abaterilor pătrate luate pe axa paralelă a absciselor.

Când calculați coeficienții de regresie, puteți utiliza următoarele relații: β= +φ Când rxy = 1, tgφ = 0, prin urmare, în acest caz particular, ambele linii de regresie coincid. Fiecare dintre variabile devine funcție liniară o altă variabilă. Când rxy = 0, obținem două drepte reciproc perpendiculare, paralele cu axele de coordonate și care trec prin punctul cu coordonate.În acest caz, este evident că nu poate exista o relație statistică liniară între variabile.

y 1 – efort condiționat la 100% alungire, MPa; y 2 – efort condiționat la alungire de 200%, MPa; y 3 – efort condiționat la alungire de 300%, MPa; y 4 – rezistența la tracțiune condiționată, MPa; y 5 – alungirea relativă la rupere, %; y 6 – rezistența la rupere, k. N/m; y 7 – Duritate Shore A.

Reprezentarea corelațiilor folosind modelul cosinus Relația dintre caracteristicile de vulcanizare ν=877; r=0. 968; r=0. 935; r=0. 984; tgφ=– 0,0281.tgφ=– 0,0535 tgφ=– 0,0155.

OPTIMIZARE CĂUTARE UNIDIMENSIONALĂ Metoda dihotomiei secvenţiale presupune plasarea în fiecare etapă de experimentare a două puncte noi deodată, situate simetric faţă de mijlocul intervalului de incertitudine la o distanţă unul de celălalt. Iată cea mai mică valoare posibilă, limitată de jos de rezoluția suplimentară în măsurarea valorii x. Valoarea suplimentară este diferența minimă dintre observațiile învecinate x care poate fi detectată instrumental cu ajutorul instrumentelor de măsură la dispoziția experimentatorului.

Metoda de căutare Fibonacci se bazează pe utilizarea numerelor Fibonacci Fk, determinate de o relație de recurență de forma: Fk=Fk-1+Fk-2, k>1, F 0=F 1=1. N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 FN 1 2 3 5 8 13 21 34 55 Metoda secțiunii de aur este o versiune specială a metodei Fibonacci și diferă de aceasta doar prin aceea că în metoda secțiunii de aur nu este nevoie de o determinarea prealabilă obligatorie a numărului total de experimente N Coordonatele lui x(1) (primul punct din această metodă) se găsesc prin formula: x(1) = xmin + q L,

CĂUTAREA MULTIDIMENSIONALĂ Multidimensionalitatea face ca unimodalitatea să fie mai puțin probabilă Este imposibil să găsești o măsură a eficienței căutării care să nu depindă într-un fel de norocul experimentatorului. Percepția dimensiunii în spații multidimensionale. Există un număr mare de metode de căutare multidimensionale diferite. În cele ce urmează, vor fi luate în considerare doar unele dintre ele, care sunt cele mai utilizate pe scară largă în scopuri de optimizare experimentală. Aceste metode pot fi împărțite în două grupe mari: metode gradient și non-gradient pentru căutarea extremumului.

Metoda de căutare a coordonatelor, (metoda Gauss-Seidel) Metoda Gauss-Seidel este foarte simplă când implementare practică, destul de rezistent la zgomot. Cu toate acestea, este clar că traiectoria de căutare este puțin probabil să fie cea mai scurtă. De asemenea, metoda Gaussiană. Seidel are tendința de a opri în mod fals procedura dacă, în timpul mișcării, punctul de căutare ajunge pe o „creastă” îngustă.

PLANIFICAREA EXPERIMENTELOR EXTREME ÎN CONDIȚII INDUSTRIALE 1. Un experiment industrial trebuie să asigure, concomitent cu funcționarea normală a unității și producția de produse comerciale, primirea Informatii utile pentru a găsi condiţii optime pentru controlul obiectelor. 2. Pentru a extrage astfel de informații, puteți implementa o „swing” țintită a obiectului în jurul așa-numitului „mod de funcționare”, planificând etapele de încercare de variație pe factori controlați și izolând influența variabilelor studiate asupra răspunsului în condiții de zgomot folosind analiza de regresie. 3. În condiții de producție, față de condițiile de laborator, există un numar mare de factori necontrolați și incontrolați care influențează procesul. 4. Fluctuațiile aleatorii lente (în raport cu frecvența experimentelor) ale unor factori necontrolați și necontrolați ai unei instalații industriale determină o deplasare temporală neregulată a suprafeței de răspuns țintă în raport cu factorii controlați, adică o schimbare neregulată în timp a întreaga suprafață și, prin urmare, coordonatele punctului său extremum din spațiul lor. 5. În condiții industriale, nu există personal special de cercetători cu înaltă calificare care să implementeze optimizarea adaptivă, iar instalația de producție are personal de service destul de slab calificat. De asemenea, nu există o saturație a cercetării cu instrumente de măsurare, înregistrare și dispozitive de calcul care este inerente unui experiment de laborator. Prin urmare, planurile și algoritmii de calcul pentru procesarea observațiilor unui experiment industrial ar trebui să fie destul de simpli. 6. Optimizarea adaptativă a instalațiilor de producție presupune cercetarea și ajustarea constantă a obiectului, adică o perioadă de timp nelimitată pentru efectuarea unui experiment industrial și, prin urmare, un număr nelimitat de experimente.

PROGRAMARE LINEARĂ În multe situații care pot fi întâlnite în industrie, activitate economică este necesar să maximizeze sau să minimizeze o anumită valoare cantitativă sub anumite restricții. De exemplu, un om de afaceri vrea să-și maximizeze profitul, dar este limitat de numărul total de mașini pe care le are, de numărul de oameni pe care îi are, de capitalul pe care îl poate investi și de o serie de altele. factori economici. Exemplu. Există trei substanțe de compoziție complexă B 1, B 2 și B 3 de prețuri diferite. Fiecare dintre ele conține o anumită cantitate de ingrediente necesare Și 1, Și 2, Și 3 și Și 4 Se știe că în timpul zilei Și 1 este necesar - cel puțin 250, Și 2 - cel puțin 60, Și 3 - cel puțin 100 și Și 4 - nu mai puțin de 220. Este necesar să se minimizeze costurile de achiziție a acestor substanțe. Evident, cantitatea de substanțe achiziționate nu poate fi negativă.

Conținutul ingredientelor necesare în substanțe și prețurile acestor substanțe B 1 B 2 B 3 I 1 4 6 15 I 2 2 2 0 I 3 5 3 4 I 4 7 3 12 Preț 44 35 100

MATLAB include Instrument. Box Optimization, conceput pentru a rezolva acest tip de problemă. Se folosește funcția linprog. Primul argument al linprog este întotdeauna vectorul f (vector de coeficienți), urmat de matricea A și vectorul b. Soluţie. x 1, x 2 și x 3 sunt cantitățile necesare de substanțe. Funcția obiectivă: f. La x=44 x 1+35 x 2+100 x 3. În prezența constrângerilor sub formă de egalități, argumentele suplimentare pot fi Aeq și beq, iar în sfârșit, constrângerile cu două fețe sunt al șaselea și al șaptelea argument al linprog. Deoarece constrângerile liniare conțin „mai puțin sau egal cu” și cantitatea de ingrediente din produse nu trebuie să fie mai mică decât valorile specificate, semnele ambelor părți ale sistemului ar trebui schimbate. Pentru a rezolva problema, este compilat un fișier de program. Când se apelează linprog, în loc de argumente neutilizate (nu există restricții sub formă de egalități și nici o limită superioară pentru necunoscute), sunt date tablouri goale, notate cu .

Soluţie. Matricea A și vectorii b și lb: =linprog(f, A, b, , lb, ); p=1. 8118 e+003; R - cost total produse. Interpretare. Este interesant să înmulțiți A cu x, să determinați conținutul recomandat de ingrediente și să îl comparați cu minimul admis. A*x= [-250; -60: -142. 14; -220]; Comparând aceste numere cu vectorul b, putem afirma că conținutul celui de-al treilea ingredient este supraestimat. Acest lucru se datorează faptului că nu a fost introdusă o limită maximă de conținut.

OBSERVAȚII DE CONTROL Una dintre cele mai importante aplicații ale teoriei statistice este în metodele de control statistic, dintre care controlul calității este un exemplu binecunoscut. Controlul calității găsește cel mai mult aplicare largăîn industrie. Tehnicile de control al calității au două aplicații principale. Prima sa aplicație este în controlul procesului, în care un proces real, cum ar fi funcționarea unei mașini, este măsurat pentru a evalua progresul actual și, implicit, pentru a furniza date de referință pentru funcționarea în viitorul apropiat. A doua aplicație a acesteia este inspecția de recepție, care evaluează performanța trecută prin măsurarea calității mărfurilor produse. Prin urmare, această a doua aplicație se ocupă de totalitatea finită a lucrurilor care au fost deja produse, în timp ce controlul procesului urmărește să verifice însuși progresul producției reale. Acest lucru permite managementului să identifice defectele din proces aproape imediat ce apar și, prin urmare, să prevină eliberarea produselor defecte.

Metoda de control se bazează pe proprietățile curbei normale. Aproximativ 99,7% din toate valorile observate luate de la o populație distribuită normal se încadrează într-un interval de trei abateri standard de fiecare parte a mediei și, prin urmare, doar aproximativ trei din fiecare mie de citiri de observație se încadrează în afara acestor limite. Din aceasta, se poate construi o diagramă de control care arată valorile posibile pe axa verticală și o serie de numere întregi secvențiale reprezentând observații secvențiale de-a lungul axei orizontale. Linia orizontală este trasată la o înălțime corespunzătoare valorii medii; Liniile orizontale sunt de asemenea trasate la înălțimi reprezentând limite de control. Limita superioară de control este stabilită la o înălțime corespunzătoare valorii medii plus trei abateri standard (SD); Limita inferioară de control este setată la înălțimea corespunzătoare mediei minus trei abateri standard, astfel încât aproximativ 99,7% din toate citirile ar trebui să se încadreze în aceste limite.

Diagramele de control pot fi folosite: 1. Ca un semnal că a avut loc o schimbare într-un proces și ca o estimare a amplorii schimbării pentru care este necesară o corecție. 2. Pur ca un semnal că s-a produs o schimbare în proces, astfel încât operatorul să realizeze că procesul necesită atenția sa. 3. Să obțină estimări ale numărului de ori în trecut când au avut loc schimbări în proces și din acestea să se determine motivele care au determinat aceste modificări. 4. Ca măsură a calității produsului pentru clasificare pe perioade. În producție se folosesc cel mai des: 1) Diagramele de control Shewhart (cartele R și s - valori medii, interval și abatere standard); 2) hărți ale mediilor geometrice mobile (media ponderată exponențial în mișcare) și intervalelor mobile; 3) carduri cu sume acumulate; 4) diagrame de control multidimensionale.

Diagrame de control și R pentru caracteristicile de vulcanizare t 10, t 50 și t 90 Diagrama sumei cumulate

DESCRIEREA UNEI REGIUNI APROAPE STAȚIONARE Când se studiază o regiune aproape staționară, apar o serie de noi probleme complexe. Dacă vrem să descriem această parte a suprafeței de răspuns cu un polinom de ordinul doi, atunci variabilele trebuie variate la trei niveluri. Apare sarcina dificilă de a construi astfel de planuri. Aici, în primul rând, trebuie să alegeți un criteriu de optimitate destul de rezonabil. În orice caz, de la bun început a fost clar că planurile pentru un experiment factorial complet de tip 3 n (n este numărul de factori) sunt inacceptabile aici, deoarece ar necesita prea multe experimente. Dacă trei factori sunt 33=27, patru factori sunt 34=81. Lucrarea lui Box și Wilson (1951) a prezentat ideea de a construi planuri compoziționale, al căror nucleu este planurile liniare ortogonale. Se presupune că, odată ajuns într-o regiune aproape staționară, cercetătorul efectuează mai întâi experimente folosind modele liniare. Apoi, asigurându-se că ipoteza liniarității nu se aplică aici, completează planul liniar la un plan de ordinul doi; de unde şi denumirea în sine – plan compoziţional.

Să luăm în considerare următoarea situație: există doi factori, iar în prima etapă construim un experiment factorial complet (FFE) 22. În figură, punctele acestui plan sunt prezentate ca cercuri înnegrite. În continuare, se efectuează un experiment în centrul pătratului pentru a testa ipoteza de adecvare. Apoi punctele „stea” sunt implementate. Alegerea unui plan este întotdeauna o decizie de compromis luată ca urmare a dialogului. Anterior, era un dialog cu un catalog de referință de planuri, acum este un dialog cu un computer.

Ortogonalitatea planului. Un design se numește ortogonal dacă matricea de covarianță a desenului conține toate elementele zero, cu excepția elementelor diagonalei principale (matricea diagonală). Pentru planurile ortogonale, toate estimările coeficienților sunt independente: elipsoidul de împrăștiere este orientat astfel încât direcția axelor sale principale să coincidă cu direcția axelor de coordonate în spațiul coeficienților. Rotabilitatea planului. Proiectele rotative au o matrice de covarianță care este invariantă la rotația coordonată; ele permit obținerea aceleiași dispersii a valorilor prezise ale funcției de răspuns în toate punctele echidistante de centrul experimentului. Îndeplinirea acestei condiții face ca orice direcție din centrul experimentului să fie echivalentă în ceea ce privește precizia estimării suprafeței. Dacă contururile de informații ale planului sunt reprezentate ca suprafețe cu valori egale ale variației estimării suprafeței de răspuns, atunci pentru un plan rotativ aceste suprafețe vor fi sfere.

APLICAREA PRODUSELOR SOFTWARE MODERNE PENTRU ANALIZA REGIUNII APROAPE STAȚIONARE Grilă experimentală formată din linii întrerupte fără aproximare prin ecuație Suprafața de răspuns corespunzătoare cea mai mare valoare coeficient de determinare

APLICAREA PRODUSELOR SOFTWARE MODERNE PENTRU ANALIZA ZONEI APROAPE STATIONARE Suprafata de raspuns corespunzatoare modelului 310 conform catalogului de programe TC 3D Suprafata de raspuns corespunzatoare modelului 301 conform catalogului de programe TC 3D

CONSTRUCȚIA DIAGRAMELOR DE COMPOZIȚIE-PROPRIETĂȚI Un caz special de rezolvare a problemei descrierii unei regiuni aproape staționare este construcția de modele de regresie pentru sisteme care sunt amestecuri de două sau mai multe componente diferite. Variabilele xi ale unor astfel de sisteme sunt proporții (conținut relativ) ale mai multor (de exemplu, trei) componente ale amestecului și satisfac condiția xi = x 1 + x 2 + x 3 = 1 Locul geometric al punctelor care îndeplinesc condiția de normalizare a sumelor de variabile este un simplex (triunghi) bidimensional. Fiecare punct al simplexului corespunde unui amestec dintr-o anumită compoziție, iar orice combinație a conținutului relativ al celor trei componente corespunde unui anumit punct al simplexului. În situația pe care o luăm în considerare, vârfurile simplexului corespund 100% conținutului fiecărei componente; laturile triunghiului aflate opuse acestor vârfuri corespund conținutului zero al acestei componente; abundența relativă a fiecărei componente este reprezentată de-a lungul laturii corespunzătoare a triunghiului de compoziție. Compoziția poate fi exprimată în moli, fracțiuni de masă și volum sau ca procent.

Coborând înălțimea de la fiecare vârf al triunghiului, împărțind fiecare dintre ele în zece segmente de dimensiuni egale și trasând linii drepte paralele cu laturile triunghiului prin diviziunile rezultate, obținem o plasă triunghiulară.

Pentru a rezolva problema construirii unei diagrame „proprietate-compunere” pe un simplex, este recomandabil să luăm în considerare modelul y=y(x 1, x 2, x 3) (y este răspunsul) sub forma unui polinom redus. . Astfel de polinoame reduse pentru amestecuri ternare sunt prezentate mai jos. Model de ordinul doi pentru trei variabile: y = 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 12 x 1 x 2 + 13 x 1 x 3 + 23 x 2 x 3 Model cubic incomplet: y = 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 12 x 1 x 2 + 13 x 1 x 3 + 23 x 2 x 3 + 123 x 1 x 2 x 3 Model de ordinul trei: y = 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 12 x 1 x 2 + 13 x 1 x 3 + 23 x 2 x 3 + + 12(x 1 – x 2) + 13(x 1 – x 3) + 23(x 2 – x 3) + 123 x 1 x 2 x 3 Model de ordinul al patrulea: y = 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 12 x 1 x 2 + 13 x 1 x 3 + 23 x 2 x 3 + + 12(x 1 – x 2) + 13( x 1 – x 3) + 23(x 2 – x 3) + + 12 x 1 x 2(x 1 – x 2)2+ 13 x 1 x 3(x 1 – x 3)2+ 23 x 2 x 3 (x 2 – x 3)2+ 1123 x 12 x 2 x 3+ 1223 x 1 x 22 x 3+ 1233 x 1 x 2 x 32 Polinoamele de acest tip se obțin din polinoame obișnuite de gradul corespunzător prin introducerea relației xi = x 1 + x 2 + x 3 = 1

Deci, de exemplu, un polinom de gradul doi, în cazul general având forma y=b 0+b 1 x 1+b 2 x 2+b 3 x 3+b 12 x 1 x 2+b 13 x 1 x 3+b 23 x 2 x 3+b 11 x 12+b 22 x 22+b 33 x 32, în formă redusă ținând cont de condiția xi = x 1 + x 2 + x 3 = 1 va lua forma y = 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 12 x 1 x 2 + 13 x 1 x 3 + 23 x 2 x 3 Când trecem la forma redusă, termenul constant b 0 este eliminat din ecuație prin înmulțire ambele părți xi = x 1 + x 2 + x 3 = 1 prin b 0 b 0 x 1 + b 0 x 2 + b 0 x 3 = b 0 și înlocuind rezultatele obținute în ecuația y=(b 0+b 1 )x 1+(b 0+b 2)x 2+(b 0+ b 3)x 3+b 12 x 1 x 2+b 13 x 1 x 3+b 23 x 2 x 3+b 11 x 12+ b 22 x 22+b 33 x 32 Eliminarea termenilor patratici se poate realiza prin substituirea în ecuație a valorilor x 12, x 22 și x 32 x 12=x 1–x 1 x 2–x 1 x 3, x 22=x 2–x 1 x 2–x 2 x 3, x 32=x 3–x 1 x 3–x 2 x 3, format prin înmulțirea raportului xi = x 1 + x 2 + x 3 = 1, respectiv, prin x 1, x 2 și x 3 y=(b 0+b 11)x 1+(b 0+ b 22)x 2+(b 0+b 33)x 3+(b 12–b 11–b 22)x 1 x 2+ + (b 13–b 11–b 33)x 1 x 3 +(b 23 –b 22–b 33)x 2 x 3 Prin introducerea notației 1=b 0+b 11; 2=b0+b22; 3=b0+b33; 12=b 12–b 11–b 22; 13= b 13–b 11–b 33; 23=b 23–b 22–b 33, obținem forma redusă y = 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 12 x 1 x 2 + 13 x 1 x 3 + 23 x 2 x 3

Pentru a estima coeficienții polinoamelor reduse, au fost propuse modele simplex de rețea. Tabelul arată locația punctelor (matricea de planificare) și desemnarea răspunsurilor pentru cazul unui model de ordinul doi. Coordonatele punctului de răspuns Coordonatele punctului de răspuns x 1 x 2 x 3 y 1 1 0 0 y 12 1/2 0 y 2 0 1 0 y 13 1/2 0 1/2 y 3 0 0 1 y 23 0 1/2

Pentru a construi un model de ordinul doi, punctele sunt realizate la vârfurile triunghiului și la mijlocul laturilor sale. Schema de aranjare a punctelor experimentale în rețele simplex (3, 2) (3, 3)* (3, 3) (3, 4) (4, 2) (q, n)-rețele, q – numărul de componente ale amestecului, n – polinom de grad Formule de calcul a parametrilor unui model de ordinul doi 1=y 1; 2=y2; 3=y 3; 12=4 y 12– 2 y 1– 2 y 2; 13=4 y 13– 2 y 1– 2 y 3; 23=4 y 23– 2 y 2– 2 y 3.

Exemplu. Rezultatele unui studiu al rezistenței cauciucurilor poroase pe baza unei combinații de cauciucuri SKMS-30 RP și BS-45 K, care conține trei tipuri de agenți de formare a porilor x1 - N, N'-dinitrosopentametilen-tetramină (ChKhZ-18), x2 - azodicarbonamidă (ChKhZ-21), x3 – bicarbonat de sodiu. Coordonatele punctelor și rezultatele experimentului Coordonatele punctelor x 1 x 2 x 3 1 0 0 0 1 0 0 σ, MPa Coordonatele punctelor σ, MPa x 1 x 2 x 3 5. 6 5. 9 ½ 1/2 0 4. 4 4. 7 0 3. 2 1/2 0 1/2 5. 1 5. 4 1 6. 0 6. 3 0 1/2 3. 8 4. 0

Calculul coeficienților polinomului redus. σ = 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 12 x 1 x 2 + 13 x 1 x 3 + 23 x 2 x 3, xi. 1= σ1; 2= ​​σ2; 3= σ3; 12=4σ12– 2σ1– 2σ2; 13=4σ13– 2σ1– 2σ3; 23=4σ23– 2σ2– 2σ3. β 1=(5. 6+5. 9)/2=5. 75; β 2=(3. 0+3. 2)/2=3. 10; β 3=(6. 0+6. 3)/2=6. 15; β 12=4(4. 4+4. 7)/2 -2(5. 6+5. 9)/2 -2(3. 0+3. 2)/2=0. 50; β 13=4(5. 1+5. 4)/2 -2(5. 6+5. 9)/2 -2(6. 0+6. 3)/2=-2. 80; β 23=4(3. 8+4. 0)/2 -2(3. 0+3. 2)/2 -2(6. 0+6. 3)/2=-2. 90. Ecuația de regresie este: σ = 5. 75 x 1 + 3. 10 x 2 + 6. 15 x 3 + 0. 50 x 1 x 2 - 2. 80 x 1 x 3 - 2. 90 x 2 x 3 Verificarea omogenității varianțelor. Criteriul Cochran: G=S 2 max/ Σ S 2 j. Valori medii: 5,75; 3,10; 6,15; 4,55; 5,25; 3,90 Varianta: 0,045; 0,020; 0,045; 0. 020. Condiție de omogenitate a dispersiilor: G

Calculul variației de reproductibilitate. N=6; S 2 E =(0. 045+0. 020+0. 045+0. 020)/6=0. 037. Valori de răspuns la punctul de testare 4. 1; 4. 3. σ0 av=4. 20 MPa Verificarea adecvării modelului. =a 12+a 22+a 32+a 122+a 132+a 232; ai=xi(2 xi-1); aij=4 xixj. t= σ·(r/(S 2 E (1+))1/2, = p(r-1), y=|σcalc-σav| – modulul diferenței dintre răspunsul calculat prin ecuație și media răspuns determinat experimental la punctul de testare pe baza r observații repetate.a 1=a 2=a 3=1/3·(2· 1/3 -1)=-1/9;a 12=a 13=a 23= 4· 1/3 =4/9; =3(-1/9)2+3(4/9)2=0,630. Valori de rezistență în centrul planului: σ0 calc=5,75/3+3,10/ 3+6. 15/3+ 0. 50/9 -2. 80/9 -2. 90/9=4. 42 MPa. t=|4. 42 -4. 20|·(2/(0. 037) (1+0 630)) 1/2 = 1,27 = 6 (2 -1) = 6 = 5% t(6; 0,05) = 2,45.

Condiție de adecvare: tcalc

Exemplu. Influența compoziției matricei polimerice asupra efectului termic al vulcanizării. Toate formulările au conținut 15 gr. % cauciuc SKMS 30 RP și 30 gr. % amestec de polimeri: cauciuc SKD (x1), polistiren (x2) și cauciuc SKMS-30 RP (x3) în diferite proporții. Toate sistemele au conținut agenți de suflare. Pentru construirea diagramelor a fost folosit un program din sistemul MATLAB. Dar au fost făcute anumite ajustări, ceea ce a făcut posibilă implementarea procedurii în următoarea secvență. Folosind programul Table Curve 3D, se formează un model care include doi factori x1 și x2. Apoi este compilată o coloană cu valorile parametrilor modelului rezultat b. această coloană este introdusă în fereastra de comandă MATLAB. Apoi se deschide modulul de program pentru desenarea diagramelor. Ecuațiile posibile sunt pre-introduse în acest program. Această abordare face posibilă calcularea mai multor modele concurente și evaluarea caracteristicilor statistice ale acestora. În cazul luat în considerare s-au obţinut următoarele modele: 310 z=a+bx+cy+dx^2+ey^2+fxy+gx^3+hy^3+ixy^2+jx^2 y; 1301 z=(a+cx+ey+gx^2+iy^2+kxy)/(1+bx+dy+fx^2+hy^2+jxy); 301 z=a+bx+cy+dx^2+ey^2+fxy; 65 z=a+bx+cx^2+dx^3+ex^4+fx^5+gy+hy^2+iy^3+jy^4+ky^5; 50 z=a+bx+cx^2+dx^3+ex^4+fy+gy^2+hy^3+iy^4+jy^5.

În figura din stânga, liniile continue arată izoliniile obținute folosind modelul de ordinul trei (310), iar liniile punctate arată modelul de ordinul doi. În dreapta sunt izoliniile (solide) în raport cu modelele 65 și 50. Sunt aproape identice. Linia punctată arată izolinii pentru modelul 1301 conform catalogului TC 3D.

1. Istoria planificării experimentale

Designul experimental este un produs al timpului nostru, dar originile sale se pierd în negura vremurilor.

Originile planificării experimentale datează din cele mai vechi timpuri și sunt asociate cu misticismul numeric, profețiile și superstițiile.

De fapt, aceasta nu este planificarea unui experiment fizic, ci planificarea unui experiment numeric, de exemplu. aranjarea numerelor astfel încât să fie îndeplinite anumite condiții stricte, de exemplu, egalitatea sumelor de-a lungul rândurilor, coloanelor și diagonalelor unui tabel pătrat, ale cărui celule sunt umplute cu numere din seria naturală.

Astfel de condiții sunt îndeplinite în pătratele magice, care, aparent, au întâietate în planificarea experimentului.

Potrivit unei legende, în jurul anului 2200 î.Hr. Împăratul chinez Yu a efectuat calcule mistice folosind un pătrat magic, care a fost înfățișat pe coaja unei țestoase divine.

Piața împăratului Yu

Celulele acestui pătrat sunt umplute cu numere de la 1 la 9, iar suma numerelor din rânduri, coloane și diagonale principale este 15.

În 1514, artistul german Albrecht Durer a descris un pătrat magic în colțul din dreapta al celebrei sale gravuri alegorice „Melancolie”. Cele două numere din rândul orizontal inferior A5 și 14) reprezintă anul în care a fost creată gravura. Acesta a fost un fel de „aplicare” a pătratului magic.

Piața Durer

Timp de câteva secole, construcția pătratelor magice a ocupat mințile matematicienilor indieni, arabi, germani și francezi.

În prezent, pătratele magice sunt folosite la planificarea unui experiment în condiții de derive liniară, la planificarea calculelor economice și la pregătirea rațiilor alimentare, în teoria codificării etc.

Construirea pătratelor magice este o sarcină de analiză combinatorie, ale cărei baze în înțelegerea sa modernă au fost puse de G. Leibniz. Nu numai că a examinat și rezolvat probleme combinatorii de bază, dar a subliniat și marea aplicație practică a analizei combinatorii: la codificare și decodare, la jocuri și statistici, la logica invențiilor și logica geometriei, la arta războiului, la gramatică. , medicină, drept, tehnologie etc. combinații de observații. Ultima zonă de aplicare este cea mai apropiată de designul experimental.

Una dintre problemele combinatorii, care este direct legată de planificarea unui experiment, a fost studiată de celebrul matematician din Sankt Petersburg L. Euler. În 1779, el a propus problema celor 36 de ofițeri ca un fel de curiozitate matematică.

El și-a pus întrebarea dacă este posibil să se aleagă 36 de ofițeri de 6 grade din 6 regimente, câte un ofițer de fiecare grad din fiecare regiment și să-i aranjeze într-un pătrat astfel încât în ​​fiecare rând și în fiecare grad să fie câte un ofițer din fiecare. grad si cate unul din fiecare regiment . Problema este echivalentă cu construirea perechilor de pătrate ortogonale de 6x6. S-a dovedit că această problemă nu poate fi rezolvată. Euler a sugerat că nu există o pereche de pătrate ortogonale de ordinul n=1 (mod 4).

Mulți matematicieni au studiat ulterior problema lui Euler, în special, și pătratele latine în general, dar aproape niciunul dintre ei nu s-a gândit la aplicație practică pătrate latine.

În prezent, pătratele latine sunt una dintre cele mai populare metode de limitare a randomizării în prezența surselor de neomogenitate de tip discret în designul experimental. Gruparea elementelor unui pătrat latin, datorită proprietăților sale (fiecare element apare o dată și o singură dată în fiecare rând și în fiecare coloană a pătratului), vă permite să protejați efectele principale de influența sursei neomogenităților. Pătratele latine sunt, de asemenea, utilizate pe scară largă ca mijloc de reducere a enumerației în probleme combinatorii.

Apariția metodelor statistice moderne de planificare a experimentelor este asociată cu numele de R. Fisher.

În 1918, și-a început celebra serie de lucrări la Stația Agrobiologică Rochemsted din Anglia. În 1935, a apărut monografia sa „Design of Experiments”, care a dat numele întregii direcții.

Printre metodele de planificare, prima a fost analiza varianței (apropo, Fisher a inventat și termenul de „varianță”). Fisher a creat baza acestei metode prin descrierea clasificărilor ANOVA complete (experimente univariate și multivariate) și clasificări ANOVA parțiale fără restricții și cu restricții privind randomizarea. În același timp, a folosit pe scară largă pătratele și organigramele latine. Împreună cu F. Yates, el a descris proprietățile lor statistice. În 1942, A. Kishen a luat în considerare planificarea folosind cuburi latine, care a fost o dezvoltare ulterioară a teoriei pătratelor latine.

Apoi R. Fischer a publicat independent informații despre cuburi și hipercuburi hiper-grecolatine ortogonale. Curând după 1946–1947) R. Rao a examinat proprietățile lor combinatorii. Dezvoltare în continuare Teoria pătratelor latine este dedicată lucrărilor lui X. Mann (A947–1950).

Cercetările lui R. Fischer, realizate în legătură cu lucrările de agrobiologie, marchează începutul primei etape în dezvoltarea metodelor de proiectare experimentală. Fisher a dezvoltat metoda de planificare factorială. Yeggs a propus o schemă de calcul simplă pentru această metodă. Planificarea factorială a devenit larg răspândită. O caracteristică a unui experiment factorial complet este necesitatea de a efectua un număr mare de experimente simultan.

În 1945, D. Finney a introdus replici fracționate din experimentul factorial. Acest lucru a permis o reducere drastică a numărului de experimente și a deschis calea pentru aplicații de planificare tehnică. O altă posibilitate de reducere a numărului necesar de experimente a fost arătată în 1946 de R. Plackett și D. Berman, care au introdus modele factoriale saturate.

În 1951, a început munca oamenilor de știință americani J. Box și K. Wilson noua etapa dezvoltarea planificării experimentale.

Această lucrare le-a rezumat pe cele precedente. Ea articulează și comunică clar recomandari practice ideea determinării experimentale secvențiale a condițiilor optime pentru desfășurarea proceselor folosind estimarea coeficienților expansiunilor de putere folosind metoda celor mai mici pătrate, mișcarea de-a lungul unui gradient și găsirea unui polinom de interpolare (seria de putere) în regiunea extremum a funcției de răspuns regiune („aproape staționară”).

În 1954–1955 J. Box, apoi J. Box și P. Yule au arătat că proiectarea experimentală poate fi utilizată în studiul mecanismelor fizico-chimice ale proceselor dacă una sau mai multe ipoteze posibile sunt formulate a priori. Aici, designul experimental s-a intersectat cu studiile cineticii chimice. Este interesant de observat că cinetica poate fi considerată ca o metodă de descriere a unui proces folosind ecuații diferențiale, ale căror tradiții se întorc la I. Newton. Descrierea unui proces prin ecuații diferențiale, numită deterministă, este adesea contrastată cu modelele statistice.

Box și J. Hunter au formulat principiul rotativității pentru a descrie câmpul „aproape staționar”, care acum se dezvoltă într-o ramură importantă a teoriei designului experimental. Aceeași lucrare arată posibilitatea de planificare cu compartimentare în blocuri ortogonale, indicată anterior independent de de Baun.

O dezvoltare ulterioară a acestei idei a fost planificarea, ortogonală la deriva temporală necontrolată, care ar trebui considerată o descoperire importantă în tehnologia experimentală - o creștere semnificativă a capacităților experimentatorului.

2. Planificarea matematică a experimentelor în cercetarea științifică

2.1 Concepte și definiții de bază

Prin experiment înțelegem un ansamblu de operații efectuate asupra unui obiect de studiu pentru a obține informații despre proprietățile acestuia. Un experiment în care cercetătorul, la discreția sa, poate schimba condițiile de desfășurare a acestuia se numește experiment activ. Dacă cercetătorul nu poate schimba în mod independent condițiile de conduită, ci doar le înregistrează, atunci acesta este un experiment pasiv.

Cea mai importantă sarcină a metodelor de procesare a informațiilor obținute în timpul unui experiment este sarcina de a construi un model matematic al fenomenului, procesului sau obiectului studiat. Poate fi utilizat în analiza proceselor și proiectarea obiectelor. Este posibil să se obțină un model matematic bine aproximat dacă un experiment activ este utilizat în mod intenționat. O altă sarcină de prelucrare a informațiilor obținute în timpul experimentului este problema de optimizare, adică. găsirea unei astfel de combinații de influențare a variabilelor independente încât indicatorul de optimitate selectat să ia o valoare extremă.

Experiența este o parte experimentală separată.

Plan experimental – un set de date care determină numărul, condițiile și ordinea experimentelor.

Planificarea experimentală este selectarea unui plan experimental care îndeplinește cerințele specificate, un set de acțiuni care vizează dezvoltarea unei strategii de experimentare (de la obținerea de informații a priori până la obținerea unui model matematic funcțional sau determinarea condițiilor optime). Acesta este controlul intenționat al unui experiment, implementat în condiții de cunoaștere incompletă a mecanismului fenomenului studiat.

În procesul de măsurători, prelucrarea ulterioară a datelor, precum și formalizarea rezultatelor sub forma unui model matematic, apar erori și o parte din informațiile conținute în datele originale se pierd. Utilizarea metodelor de planificare experimentală face posibilă determinarea erorii modelului matematic și evaluarea adecvării acestuia. Dacă acuratețea modelului se dovedește a fi insuficientă, atunci utilizarea metodelor de planificare experimentală face posibilă modernizarea modelului matematic cu experimente suplimentare fără a pierde informațiile anterioare și cu costuri minime.

Scopul planificării unui experiment este de a găsi astfel de condiții și reguli pentru efectuarea experimentelor în care este posibil să se obțină informații fiabile și de încredere despre obiect cu cea mai mică cantitate de muncă, precum și să prezinte aceste informații într-o formă compactă și convenabilă. cu evaluare cantitativă precizie.

Lăsați proprietatea care ne interesează (Y) obiectul depinde de mai multe ( n) variabile independente ( X 1, X 2, …, X n) și vrem să aflăm natura acestei dependențe - Y=F(X 1, X 2, …, X n), despre care avem doar ideea generala. Magnitudinea Y– se numește „răspuns”, iar dependența în sine Y=F(X 1, X 2, …, X n)– „funcție de răspuns”.

Răspunsul trebuie cuantificat. Cu toate acestea, pot exista și semne calitative Y. În acest caz, este posibil să utilizați abordarea rank. Un exemplu de abordare a clasamentului este o evaluare în cadrul unui examen, când un set complex de informații obținute despre cunoștințele unui student este evaluat cu un singur număr.

Variabile independente X 1, X 2, …, X n– altfel trebuie cuantificati si factorii. Dacă sunt utilizați factori calitativi, atunci fiecărui nivel ar trebui să i se aloce un număr. Este important să selectați doar variabile independente ca factori, de ex. numai cele care pot fi modificate fără a afecta alți factori. Factorii trebuie să fie clari. Pentru a construi un model matematic eficient, este recomandabil să se efectueze o analiză preliminară a semnificației factorilor (gradul de influență asupra funcției), clasarea acestora și eliminarea factorilor neimportanti.

Intervalele de modificare a factorilor determină zona de definiție Y. Dacă presupunem că fiecare factor are o axă de coordonate corespunzătoare, atunci spațiul rezultat se numește spațiu factor. Pentru n=2, domeniul de definire a lui Y este un dreptunghi, pentru n=3 este un cub, iar pentru n >3 este un hipercub.

La alegerea intervalelor pentru modificarea factorilor, trebuie luată în considerare compatibilitatea acestora, adică controlați ca în aceste intervale orice combinații de factori să fie fezabile în experimente și să nu conducă la absurd. Pentru fiecare factor sunt indicate valori limită

, i =1,… n .

Analiza de regresie a funcției de răspuns are scopul de a obține modelul său matematic sub forma unei ecuații de regresie

Unde V 1, …, V m– unii coeficienți; e– eroare.

Printre principalele metode de planificare utilizate în diferitele etape ale studiului se numără:

· planificarea unui experiment de screening, a cărui semnificație principală este selecția din întregul set de factori a unui grup de factori semnificativi care sunt supuși unui studiu mai detaliat;

· proiectarea unui experiment pentru analiza varianței, de ex. întocmirea de planuri pentru obiecte cu factori calitativi;

· planificarea unui experiment de regresie care să permită obţinerea unor modele de regresie (polinom şi altele);

· planificarea unui experiment extrem în care sarcina principală este optimizarea experimentală a obiectului de cercetare;

· planificarea la studierea proceselor dinamice etc.

Inițiatorul utilizării designului experimental este Ronald A. Fisher, un alt autor al unor celebre lucrări timpurii este Frank Yates. Mai mult, idei pentru planificarea unui experiment s-au format în lucrările lui J. Box și J. Kiefer. La noi - în lucrările lui G.K. Kruga, E.V. Markova și alții.

În prezent, metodele de planificare experimentală sunt cuprinse în pachete specializate disponibile pe scară largă pe piață. produse software, de exemplu: StatGrapfics, Statistica, SPSS, SYSTAT etc.

2.2 Prezentarea rezultatelor experimentale

Atunci când utilizați metode de proiectare experimentală, este necesar să găsiți răspunsuri la 4 întrebări:

· Ce combinații de factori și câte astfel de combinații trebuie luate pentru a determina funcția de răspuns?

· Cum să găsiți cote V 0, V 1, …, B m ?

· Cum se evaluează acuratețea reprezentării funcției de răspuns?

· Cum să utilizați reprezentarea rezultată pentru a găsi valori optime Y ?

Reprezentarea geometrică a funcției de răspuns în spațiul factorilor X 1, X 2, …, X n numită suprafață de răspuns (Fig. 1).

Orez. 1. Suprafața de răspuns

Dacă influenţa asupra Y un singur factor X 1, atunci găsirea funcției de răspuns este o sarcină destul de simplă. După ce au dat mai multe valori ale acestui factor, în urma experimentelor obținem valorile corespunzătoare Y si program Y =F(X)(Fig. 2).

Orez. 2. Construirea funcției de răspuns a unei variabile folosind date experimentale

Pe baza aspectului său, se poate selecta o expresie matematică pentru funcția de răspuns. Dacă nu suntem siguri că experimentele sunt bine reproduse, atunci de obicei experimentele sunt repetate de mai multe ori și se obține o dependență ținând cont de împrăștierea datelor experimentale.

Dacă există doi factori, atunci este necesar să se efectueze experimente cu rapoarte diferite ale acestor factori. Funcția de răspuns rezultată în spațiul tridimensional (Fig. 1) poate fi analizată prin efectuarea unei serii de secțiuni cu valori fixe ale unuia dintre factori (Fig. 3). Graficele cu secțiuni transversale izolate pot fi aproximate printr-un set de expresii matematice.

Orez. 3. Secțiuni ale suprafeței de răspuns pentru răspunsuri fixe (a) și răspunsuri variabile (b, c)

Cu trei sau mai mulți factori, problema devine practic de nerezolvat. Chiar dacă se găsesc soluții, este destul de dificil să folosești un set de expresii, și adesea nu este realist.

2.3 Aplicarea planificării experimentale matematice în cercetarea științifică

În teoria matematică modernă a planificării experimentale optime, există 2 secțiuni principale:

1. planificarea unui experiment pentru studiul mecanismelor proceselor complexe și proprietăților sistemelor multicomponente.

2. planificarea unui experiment de optimizare a proceselor și proprietăților tehnologice ale sistemelor multicomponente.

Planificarea experimentului - Aceasta este alegerea numărului de experimente și a condițiilor de desfășurare a acestora necesare și suficiente pentru a rezolva problema cu acuratețea necesară.

Se numește un experiment care este configurat pentru a rezolva probleme de optimizare extrem. Exemple de probleme de optimizare sunt alegerea compoziției optime a amestecurilor multicomponente, creșterea productivității unei instalații existente, îmbunătățirea calității produsului și reducerea costurilor de obținere a acestuia. Înainte de a planifica un experiment, este necesar să se formuleze scopul studiului. Succesul studiului depinde de formularea precisă a scopului. De asemenea, este necesar să se asigure că obiectul de cercetare îndeplinește cerințele impuse acestuia. În cercetarea tehnologică, scopul cercetării la optimizarea unui proces este cel mai adesea de a crește randamentul produsului, de a îmbunătăți calitatea și de a reduce costurile.

Experimentul poate fi efectuat direct pe obiect sau pe modelul acestuia. Un model diferă de un obiect nu numai prin scară, ci uneori prin natură. Dacă modelul descrie cu exactitate obiectul, atunci experimentul asupra obiectului poate fi transferat pe model. Pentru a descrie conceptul de „obiect de cercetare”, puteți folosi ideea unui sistem cibernetic, care se numește cutie neagră.

Săgețile din dreapta descriu caracteristicile numerice ale obiectivelor cercetării și sunt numite parametrii de ieșire ( y ) sau parametrii de optimizare .

Pentru a efectua un experiment, este necesar să se influențeze comportamentul cutiei negre. Toate metodele de influență sunt notate cu „x” și sunt numite parametrii sau factorii de intrare . Fiecare factor poate lua una dintre mai multe valori din experiență și astfel de valori sunt numite niveluri . Un set fix de niveluri și factori determină una dintre stările posibile ale cutiei negre; în același timp, ele sunt condițiile pentru efectuarea unuia dintre experimentele posibile. Rezultatele experimentului sunt folosite pentru a obține un model matematic al obiectului de cercetare. Folosirea fiecărui experiment posibil pe un obiect are ca rezultat experimente absurd de mari. În acest sens, experimentele trebuie planificate.

Sarcina planificării este de a selecta experimentele necesare experimentului, metodele de prelucrare matematică a rezultatelor acestora și luarea deciziilor. Un caz special al acestei probleme este planificarea unui experiment extrem. Adică un experiment realizat cu scopul de a găsi condiții optime pentru funcționarea unui obiect. Astfel, planificarea unui experiment extrem este alegerea numărului și condițiilor de experimente care sunt minim necesare pentru a găsi condiții optime. La planificarea unui experiment, obiectul de cercetare trebuie să aibă următoarele proprietăți obligatorii:

1.controlat

2.rezultatele experimentului trebuie să fie reproductibile .

Experimentul se numește reproductibilă , dacă în condiții experimentale fixe se obține același randament într-o eroare experimentală relativ mică dată (2% -5%). Experimentul se realizează prin selectarea anumitor niveluri pentru toți factorii, apoi se repetă la intervale neregulate. Și se compară valorile parametrilor de optimizare. Răspândirea acestor parametri caracterizează reproductibilitatea rezultatelor. Dacă nu depășește o valoare predeterminată, atunci obiectul satisface cerința de reproductibilitate a rezultatelor.

La proiectarea unui experiment, intervenția activă implică un proces și capacitatea de a selecta în fiecare experiment acei factori care prezintă interes. Un studiu experimental al influenței parametrilor de intrare (factori) asupra parametrilor de ieșire poate fi efectuat folosind metoda experimentului pasiv sau activ. Dacă un experiment se reduce la obținerea rezultatelor observării comportamentului unui sistem cu modificări aleatorii ale parametrilor de intrare, atunci se numește pasiv . Dacă, în timpul unui experiment, parametrii de intrare se modifică conform unui plan predeterminat, atunci se numește un astfel de experiment activ. Se numește un obiect pe care este posibil un experiment activ gestionabil. În practică, nu există obiecte absolut gestionate. Un obiect real este de obicei afectat atât de factori controlabili, cât și de necontrolați. Factorii necontrolați afectează reproductibilitatea experimentului. Dacă toți factorii sunt incontrolabili, se pune sarcina de a stabili o conexiune între parametrul de optimizare și factorii pe baza rezultatelor observațiilor sau a rezultatelor unui experiment pasiv. De asemenea, este posibilă reproductibilitatea slabă a modificărilor factorilor în timp.

3. Parametrii de optimizare

3.1 Tipuri de parametri de optimizare

Parametru de optimizare– acesta este un semn prin care dorim să optimizăm procesul. Trebuie să fie cantitativ, dat prin număr. Setul de valori pe care le poate lua un parametru de optimizare se numește domeniul său de definire. Zonele de definire pot fi continue și discrete, limitate și nelimitate. De exemplu, rezultatul unei reacții este un parametru de optimizare cu un domeniu limitat continuu. Poate varia de la 0 la 100%. Numărul de produse defecte, numărul de celule sanguine dintr-o probă de sânge sunt exemple de parametri cu un interval de definiție discret limitat de mai jos.

În funcție de obiectul și scopul studiului, parametrii de optimizare pot fi foarte diverși (Fig. 1).

Să comentăm câteva elemente ale schemei. Parametrii de optimizare economică, cum ar fi profitul, costul și rentabilitatea, sunt utilizați de obicei atunci când se studiază instalațiile industriale existente, în timp ce este logic să se evalueze costurile unui experiment în orice cercetare, inclusiv în cele de laborator. Dacă prețul experimentelor este același, costurile experimentului sunt proporționale cu numărul de experimente care trebuie efectuate pentru a rezolva o anumită problemă. Acest lucru determină în mare măsură alegerea designului experimental.

Dintre parametrii tehnici și economici, productivitatea este cea mai răspândită. Parametri precum durabilitatea, fiabilitatea și stabilitatea sunt asociați cu observațiile pe termen lung. Există o anumită experiență în utilizarea lor în studiul obiectelor scumpe, critice, cum ar fi echipamentele electronice.

Aproape toate studiile trebuie să țină cont de cantitatea și calitatea produsului rezultat. Randamentul, de exemplu, procentul din randamentul produsului finit, este utilizat ca măsură a cantității de produs.

Indicatorii de calitate sunt extrem de variați. În schema noastră, acestea sunt grupate după tipul de proprietate. Caracteristicile cantității și calității produsului formează un grup de parametri tehnici și tehnologici.

Grupul „celălalt” grupează diverși parametri care sunt mai puțin obișnuiți, dar nu mai puțin importanți. Aceasta include parametrii statistici utilizați pentru a îmbunătăți caracteristicile variabilelor aleatoare sau ale funcțiilor aleatoare.

3.2 Cerințe pentru parametrul de optimizare

Un parametru de optimizare este un semn prin care dorim să optimizam procesul. Trebuie să fie cantitativ, dat prin număr. Trebuie să putem măsura pentru orice combinație posibilă de niveluri ale factorilor selectați. Setul de valori pe care le poate lua un parametru de optimizare va fi numit domeniul său de definire. Zonele de definire pot fi continue și discrete, limitate și nelimitate. De exemplu, rezultatul unei reacții este un parametru de optimizare cu un domeniu limitat continuu. Poate varia de la 0 la 100%. Numărul de produse defecte, numărul de boabe pe o secțiune subțire a unui aliaj, numărul de celule sanguine dintr-o probă de sânge - acestea sunt exemple de parametri cu un interval de definiție discret limitat de mai jos.

A putea măsura un parametru de optimizare înseamnă a avea un instrument adecvat. În unele cazuri, un astfel de dispozitiv poate să nu existe sau să fie prea scump. Dacă nu există nicio modalitate de a cuantifica rezultatul, atunci trebuie să utilizați o tehnică numită clasare (abordarea rangului). În acest caz, parametrilor de optimizare li se atribuie evaluări - ranguri pe o scară preselectată: două puncte, cinci puncte etc. Parametrul de rang are un domeniu limitat de definiție. În cel mai simplu caz, zona conține două valori (da, nu; bine, rău). Acest lucru poate corespunde, de exemplu, produselor bune și produselor defecte.

Rangul este o evaluare cantitativă a unui parametru de optimizare, dar este de natură condiționată (subiectivă). Ne potrivim semn calitativ un număr este un rang. Pentru fiecare parametru de optimizare măsurat fizic, se poate construi un analog de rang. Necesitatea construirii unui astfel de analog apare dacă caracteristicile numerice disponibile cercetătorului sunt inexacte sau metoda de construire a estimărilor numerice satisfăcătoare este necunoscută. În afară de asta condiţii egale Măsurarea fizică ar trebui să fie întotdeauna preferată, deoarece abordarea rangului este mai puțin sensibilă și este dificil să studiezi efectele subtile cu ajutorul ei.

Exemplu: a dezvoltat un tehnolog noul fel produs. Trebuie să optimizați acest proces.

Scopul procesului este obținerea unui produs gustos, dar o astfel de formulare a scopului nu face încă posibilă începerea optimizării: este necesar să se selecteze un criteriu cantitativ care să caracterizeze gradul de realizare a obiectivului. Puteți lua următoarea decizie: un produs foarte gustos primește nota 5, un produs pur și simplu gustos primește nota 4 etc.

Este posibil să trecem la optimizarea proceselor după o astfel de decizie? Este important pentru noi să cuantificăm rezultatul optimizării. Marcarea rezolvă această problemă? Desigur, pentru că, așa cum am convenit, nota 5 corespunde unui produs foarte gustos etc. Un alt lucru este că această abordare, numită abordarea rangului, se dovedește adesea a fi nepoliticos și insensibil. Dar posibilitatea unei astfel de evaluări cantitative a rezultatelor nu ar trebui să ridice îndoieli.

Următoarea cerință: parametrul de optimizare trebuie exprimat ca un singur număr. De exemplu: înregistrarea citirilor instrumentului.

O altă cerință legată de natura cantitativă a parametrului de optimizare este lipsa de ambiguitate în sens statistic. Un anumit set de valori ale factorilor trebuie să corespundă unei valori ale parametrului de optimizare, cu precizie în cadrul erorii experimentale. (Cu toate acestea, inversul nu este adevărat: seturi diferite de valori ale factorilor pot corespunde aceleiași valori ale parametrului.)

Pentru a atinge cu succes scopul cercetării, este necesar ca parametrul de optimizare să evalueze cu adevărat eficiența sistemului într-un sens preselectat. Această cerință este principala care determină corectitudinea enunțului problemei.

Percepțiile asupra eficacității nu rămân constante pe parcursul studiului. Se modifică pe măsură ce informațiile se acumulează și în funcție de rezultatele obținute. Acest lucru duce la o abordare consecventă atunci când alegeți un parametru de optimizare. De exemplu, în primele etape ale cercetării procesului, randamentul produsului este adesea folosit ca parametru de optimizare. Cu toate acestea, în viitor, când s-a epuizat posibilitatea de creștere a randamentului, începem să fim interesați de parametri precum costul, puritatea produsului etc.

Când vorbim despre evaluarea eficienței unui sistem, este important să ne amintim că vorbim despre sistem ca întreg. Adesea, un sistem constă dintr-un număr de subsisteme, fiecare dintre acestea putând fi evaluat prin propriul parametru local de optimizare.

Următoarea cerință pentru un parametru de optimizare este cerința de universalitate sau completitudine. Universalitatea unui parametru de optimizare este înțeleasă ca capacitatea sa de a caracteriza în mod cuprinzător un obiect. În special, parametrii de optimizare tehnologică nu sunt suficient de universali: nu iau în considerare aspectele economice. De exemplu, parametrii generalizați de optimizare, care sunt construiți ca funcții ale mai multor parametri particulari, sunt universali.

Este de dorit ca parametrul de optimizare să aibă o semnificație fizică, să fie simplu și ușor de calculat.

Cerința de semnificație fizică este asociată cu interpretarea ulterioară a rezultatelor experimentale.

Deci parametrul de optimizare ar trebui să fie:

– eficient în ceea ce privește atingerea scopului;

- universal;

– cantitativ și exprimat într-un număr;

– eficient statistic;

– având un sens fizic, simplu și ușor de calculat.

În cazurile în care apar dificultăți cu evaluarea cantitativă a parametrilor de optimizare, trebuie să apelăm la abordarea rank. Pe parcursul studiului, ideile a priori despre obiectul de studiu se pot schimba, ceea ce duce la o abordare consistentă la alegerea unui parametru de optimizare.

Dintre numeroșii parametri care caracterizează obiectul de studiu, doar unul, adesea generalizat, poate servi ca parametru de optimizare. Restul sunt considerate restricții.

4. Factori de optimizare

4.1 Definiția factorului

factor este o variabilă măsurată care capătă o anumită valoare la un moment dat în timp. Factorii corespund modalităţilor de influenţare a obiectului de studiu.

La fel ca și parametrul de optimizare, fiecare factor are un domeniu de definiție. Un factor este considerat dat dacă aria definiției sale este indicată împreună cu numele său.

Sub domeniul definirii este înțeles ca totalitatea tuturor valorilor pe care un anumit factor le poate lua, în principiu.

Setul de valori ale factorilor care este utilizat în experiment este un subset al setului de valori care formează domeniul de definiție. Domeniul de definire poate fi continuu sau discret. Cu toate acestea, în general, în problemele de planificare experimentală, sunt utilizate domenii discrete de definiție. Astfel, pentru factorii cu un domeniu continuu de definire, cum ar fi temperatura, timpul, cantitatea de substanță etc., se selectează întotdeauna seturi discrete de niveluri.

În problemele practice, domeniul de aplicare al factorilor determinanți este de obicei limitat. Restricțiile pot fi de natură fundamentală sau tehnică.

Factorii sunt clasificați în funcție de faptul dacă factorul este o valoare variabilă care poate fi evaluată cantitativ: măsurată, cântărită, titrată etc., sau dacă este o variabilă caracterizată prin proprietăți calitative.

Factorii sunt împărțiți în cantitativi și calitativi.

Factori calitativi– acestea sunt substanțe diferite, metode tehnologice diferite, dispozitive, performeri etc.

Deși factorii calitativi nu corespund unei scale numerice în sensul înțeles pentru factorii cantitativi, este posibil să se construiască o scală ordinală condiționată care să potrivească nivelurile factorului calitativ cu numerele din seria naturală, adică. face codarea. Ordinea nivelurilor poate fi arbitrară, dar după codificare este fixă.

Factorii calitativi nu au o scară numerică, iar ordinea nivelurilor factorilor nu contează.

Timpul de reacție, temperatura, concentrația reactanților, viteza de alimentare a substanțelor, valoarea pH-ului sunt exemple ale factorilor cantitativi cel mai frecvent întâlniți. Diferiți reactivi, adsorbanți, agenți de vulcanizare, acizi, metale sunt exemple ale nivelurilor factorilor de calitate.

4.2 Cerințe pentru factori la planificarea unui experiment

La proiectarea unui experiment, factorii trebuie să fie controlabili. Aceasta înseamnă că experimentatorul, după ce a ales valoarea dorită a factorului, o poate menține constantă pe tot parcursul experimentului, adică. poate controla factorul. Un experiment poate fi planificat numai dacă nivelurile factorilor sunt supuse voinței experimentatorului.

Exemplu: studiezi procesul de sinteza a amoniacului. Coloana de sinteză este instalată într-o zonă deschisă. Este temperatura aerului un factor care poate fi inclus în proiectarea experimentală?

Temperatura aerului este un factor de necontrolat. Încă nu am învățat cum să facem vremea la comandă. Și numai acei factori care pot fi controlați pot participa la planificare - stabiliți și menținuți la un nivel selectat în timpul experimentului sau modificați conform unui program dat. Temperatura mediu inconjuratorîn acest caz este imposibil de controlat. Poate fi doar controlat.

Pentru a determina cu precizie un factor, trebuie să indicați succesiunea acțiunilor (operațiilor) prin care sunt stabilite valorile (nivelurile) specifice ale acestuia. Vom numi această definiție a unui factor operațional. Astfel, dacă factorul este presiunea din anumite aparate, atunci este absolut necesar să se indice în ce punct și cu ce instrument se măsoară și cum este setat. Introducerea unei definiții operaționale oferă o înțelegere clară a factorului.

Definiția operațională este asociată cu alegerea dimensiunii factorului și cu acuratețea înregistrării acestuia.

Precizia măsurării factorului ar trebui să fie cât mai mare posibil. Gradul de precizie este determinat de gama de modificări ale factorilor. Când studiezi un proces care durează zeci de ore, nu este nevoie să ții cont de fracțiuni de minut, dar în procesele rapide este necesar să se țină cont, poate, de fracțiuni de secundă.

Factorii trebuie să fie impacturi directe asupra obiectului. Factorii trebuie să fie clari. Este dificil să controlezi un factor care pare să fie o funcție a altor factori. Dar factorii complecși pot fi implicați în planificare, cum ar fi relațiile dintre componente, logaritmii acestora etc.

La proiectarea unui experiment, mai mulți factori sunt de obicei modificați simultan. Prin urmare, este foarte important să se formuleze cerințele care se aplică unei combinații de factori. În primul rând, este prezentată cerința de compatibilitate. Compatibilitatea factorilor înseamnă că toate combinațiile lor sunt fezabile și sigure. Aceasta este o cerință foarte importantă.

Atunci când planificați un experiment, independența factorilor este importantă, de exemplu. capacitatea de a stabili un factor la orice nivel, indiferent de nivelurile altor factori. Dacă această condiție nu este îndeplinită, atunci este imposibil să planificați experimentul.

Astfel, s-a stabilit că factorii sunt cantități variabile corespunzătoare modurilor în care mediul extern influențează un obiect.

Ele definesc atât obiectul în sine, cât și starea acestuia. Cerințe pentru factori: controlabilitate și lipsă de ambiguitate.

A controla un factor înseamnă a seta valoarea dorită și a o menține constantă în timpul experimentului sau a o modifica conform unui program dat. Aceasta este particularitatea experimentului „activ”. Un experiment poate fi planificat numai dacă nivelurile factorilor sunt supuse voinței experimentatorului.

Factorii trebuie să afecteze direct obiectul de studiu.

Cerințe pentru un set de factori: compatibilitate și lipsa corelației liniare. Setul de factori selectat ar trebui să fie suficient de complet. Dacă se omite vreun factor esențial, va duce la determinarea incorectă a condițiilor optime sau la o eroare experimentală mare. Factorii pot fi cantitativi sau calitativi.

5. Erori experimentale

Este imposibil să se studieze simultan toți factorii care influențează obiectul studiat; prin urmare, experimentul ia în considerare un număr limitat dintre aceștia. Factorii activi rămași se stabilizează, de exemplu. sunt stabilite la unele niveluri care sunt aceleași pentru toate experimentele.

Unii factori nu pot fi asigurați de sistemele de stabilizare (de exemplu, condițiile meteorologice, bunăstarea operatorului etc.), în timp ce alții sunt stabilizați cu o anumită eroare (de exemplu, conținutul unei componente din mediu depinde de eroarea la luare). proba și prepararea soluției). Având în vedere de asemenea că măsurarea parametrului la efectuat de un dispozitiv care are un fel de eroare în funcție de clasa de precizie a dispozitivului, putem ajunge la concluzia că rezultatele repetărilor aceluiași experiment y k vor fi aproximative și trebuie să difere unele de altele și de valoarea reală a rezultatului procesului. Modificări necontrolate, aleatorii și mulți alți factori care influențează cauza procesului Aleatoriu abateri ale valorii măsurate y k din adevăratul său sens – o eroare de experiență.

Fiecare experiment conține un element de incertitudine din cauza materialului experimental limitat. Efectuarea de experimente repetate (sau paralele) nu dă rezultate complet identice, deoarece există întotdeauna o eroare experimentală (eroare de reproductibilitate). Această eroare trebuie evaluată folosind experimente paralele. Pentru a face acest lucru, experimentul este reprodus, dacă este posibil, în aceleași condiții de mai multe ori și apoi se ia media aritmetică a tuturor rezultatelor. Media aritmetică y este egală cu suma tuturor n rezultate individuale împărțită la numărul de experimente paralele n:

Abaterea rezultatului oricărui experiment de la media aritmetică poate fi reprezentată ca diferența y 2 – , unde y 2 este rezultatul unui experiment separat. Prezența unei abateri indică variabilitate, variație a valorilor experimentelor repetate. Varianta este cel mai adesea folosită pentru a măsura această variabilitate.

Dispersia este valoarea medie a abaterii pătrate a unei valori de la valoarea sa medie. Varianta se notează cu s 2 și se exprimă prin formula:

unde (n-1) este numărul de grade de libertate egal cu numărul de experimente minus unu. Pentru a calcula media este utilizat un grad de libertate.

Rădăcina pătrată a varianței, luată cu semn pozitiv, se numește abatere standard, eroare standard sau pătrată:

Eroarea experimentală este o valoare totală, rezultatul multor erori: erori în factori de măsurare, erori în măsurarea parametrilor de optimizare etc. Fiecare dintre aceste erori poate fi, la rândul său, împărțită în componente.

Toate erorile sunt de obicei împărțite în două clase: sistematice și aleatorii (Figura 1).

Erorile sistematice sunt generate de cauze care acţionează regulat într-o anumită direcţie. De cele mai multe ori, aceste erori pot fi studiate și cuantificate. Eroare sistematică – aceasta este o eroare care rămâne constantă sau se modifică în mod natural cu măsurători repetate ale aceleiași mărimi. Aceste erori apar din cauza funcționării defectuoase a instrumentelor, a inexactității metodei de măsurare, a unor omisiuni din partea experimentatorului sau a utilizării datelor inexacte pentru calcule. Detectarea erorilor sistematice și eliminarea acestora în multe cazuri nu este ușoară. Este necesară o analiză amănunțită a metodelor de analiză, verificarea strictă a tuturor instrumentelor de măsurare și implementarea necondiționată a regulilor de lucru experimental dezvoltate de practică. Dacă erorile sistematice sunt cauzate de cauze cunoscute, atunci acestea pot fi identificate. Astfel de erori pot fi eliminate prin introducerea de corecții.

Erorile sistematice sunt găsite prin calibrarea instrumentelor de măsurare și compararea datelor experimentale cu condițiile externe în schimbare (de exemplu, la calibrarea unui termocuplu folosind puncte de referință, la compararea cu un dispozitiv de referință). Dacă erorile sistematice sunt cauzate de condiții externe (temperatura variabilă, materii prime etc.), influența lor trebuie compensată.

Aleatoriu Erorile sunt cele care apar neregulat, ale căror cauze sunt necunoscute și care nu pot fi luate în considerare în prealabil. Erorile aleatorii sunt cauzate atât de motive obiective, cât și subiective. De exemplu, imperfecțiunea instrumentelor, iluminarea acestora, locația, schimbările de temperatură în timpul măsurătorilor, contaminarea reactivilor, modificările curent electricîn lanț. Când eroarea aleatorie este mai mare decât eroarea instrumentului, este necesar să se repete aceeași măsurătoare de mai multe ori. Acest lucru permite ca eroarea aleatorie să fie comparabilă cu eroarea introdusă de dispozitiv. Dacă este mai mică decât eroarea instrumentului, atunci nu are rost să o reducem. Astfel de erori au semnificații care diferă în măsurătorile individuale. Acestea. valorile lor pot să nu fie aceleași pentru măsurătorile efectuate chiar și în aceleași condiții. Deoarece motivele care conduc la erori aleatoare nu sunt aceleași în fiecare experiment și nu pot fi luate în considerare, de aceea erorile aleatoare nu pot fi excluse, se pot estima doar valorile acestora. Când determinați orice indicator de mai multe ori, puteți întâlni rezultate care diferă semnificativ de alte rezultate din aceeași serie. Ele pot fi rezultatul unei erori grave cauzate de neatenția experimentatorului.

Erorile sistematice și aleatorii constau din multe erori elementare. Pentru a exclude erorile instrumentale, instrumentele trebuie verificate înainte de experiment, uneori în timpul experimentului și întotdeauna după experiment. Erorile în timpul experimentului în sine apar din cauza încălzirii neuniforme a mediului de reacție, căi diferite amestecare etc.

La repetarea experimentelor, astfel de erori pot provoca o împrăștiere mare de rezultate experimentale.

Este foarte important să excludem din datele experimentale erorile brute, așa-numitele defecte în experimentele repetate. Greșeli grosolane usor de detectat. Pentru a identifica erorile, este necesar să faceți măsurători în alte condiții sau să repetați măsurătorile după un timp. Pentru a preveni erorile grosolane, trebuie să fii atent în notele tale, minuțios în munca ta și înregistrarea rezultatelor experimentului. Eroarea grosieră trebuie exclusă din datele experimentale. Există anumite reguli pentru eliminarea datelor eronate.

De exemplu, se utilizează criteriul t Student t(P; f): Experimentul este considerat defect dacă valoarea experimentală a criteriului t este mai mare în valoare absolută decât valoarea tabelată t(P; f).

Dacă cercetătorul are la dispoziție o estimare experimentală a varianței S 2 (y k) cu un număr finit mic de grade de libertate, atunci erorile de încredere se calculează folosind criteriul Student t t(P; f):

ε() = t (P; f)* S(y k)/ = t (P; f)* S()

ε(y k) = t(Р; f)* S(y k)

6. Rezultatul măsurării directe este o variabilă aleatoare care respectă legea distribuției normale

Rezultatele care se obțin dintr-un studiu experimental al oricărei proces tehnologic, depind de o serie de factori. Prin urmare, rezultatul studiului este o variabilă aleatoare distribuită conform legii distribuției normale. Se numește normală, deoarece această distribuție pentru o variabilă aleatoare este obișnuită și este numită Gausian sau Laplacian. Sub distribuția unei variabile aleatoare înțelegeți setul tuturor valorilor posibile ale unei variabile aleatoare și probabilitățile lor corespunzătoare.

Legea distribuției unei variabile aleatoare este orice relație care stabilește o legătură între valorile posibile ale unei variabile aleatoare și probabilitățile corespunzătoare acestora.

Într-un studiu experimental al oricărui proces tehnologic, rezultatul măsurat al acestuia din urmă este o variabilă aleatorie, care este influențată de un număr mare de factori (modificări ale condițiilor meteorologice, bunăstarea operatorului, eterogenitatea materiilor prime, influența uzurii echipamente de măsurare și stabilizare etc., etc.) . De aceea, rezultatul studiului este o variabilă aleatoare distribuită după o lege normală. Cu toate acestea, dacă cercetătorul nu a observat niciun factor activ sau l-a clasificat ca inactiv, iar o modificare necontrolată a acestui factor poate provoca o schimbare disproporționat de mare a eficienței procesului și a parametrului care caracterizează această eficiență, atunci distribuția probabilității acestuia din urmă. poate să nu se supună legii normale.

În același mod, prezența unor erori grosolane în matricea de date experimentale va duce la o încălcare a normalității legii distribuției. De aceea, în primul rând, se efectuează o analiză pentru prezența unor erori grosolane în datele experimentale cu probabilitatea de încredere acceptată.

O variabilă aleatoare va fi distribuită normal dacă este suma unui număr foarte mare de variabile aleatoare reciproc dependente, influența fiecăreia fiind neglijabilă. Dacă măsurătorile valorii dorite y sunt efectuate de mai multe ori, atunci rezultatul poate fi vizualizat prin construirea unei diagrame care să arate cât de des au fost obținute anumite valori. Această diagramă se numește histogramă. Pentru a construi o histogramă, trebuie să împărțiți întregul interval de valori măsurate în intervale egale. Și numărați de câte ori fiecare valoare se încadrează în fiecare interval.

Dacă măsurătorile sunt continuate până când numărul de valori măsurate n devine foarte mare, atunci lățimea intervalului poate fi redusă. Histograma se va transforma într-o linie continuă, care se numește curba de distributie .

Teoria erorii aleatoare se bazează pe două ipoteze:

1.cu un număr mare de măsurători, erorile aleatorii sunt la fel de mari, dar cu semne diferite apar la fel de des;

2.mare (de valoare absolută) erorile sunt mai puțin frecvente decât cele mici. Adică, probabilitatea apariției unei erori scade pe măsură ce valoarea acesteia crește.

Conform legii numerelor mari, cu un număr infinit de măsurători n, valoarea adevărată a mărimii măsurate y este egală cu media aritmetică a tuturor rezultatelor măsurătorilor ỹ

Pentru toate m-repetițiile putem scrie:

Împărțind această ecuație la numărul de repetări m, obținem după înlocuire:

Pentru evaluarea experimentală a valorii adevărate (aşteptări matematice) a criteriului de optimitate la admis estimarea mediei aritmetice rezultate ale tuturor T repetari:

Dacă numărul m este mare (m→∞), atunci egalitatea va fi adevărată:

Astfel, cu un număr infinit de măsurători, valoarea adevărată a mărimii măsurate y este egală cu valoarea medie aritmetică ỹ a tuturor rezultatelor măsurătorilor efectuate: y═ỹ, cu m→∞.

Cu un număr limitat de măsurători (m≠∞), valoarea medie aritmetică y va diferi de valoarea adevărată, adică egalitatea y═ỹ va fi inexactă, dar aproximativă: y≈ỹ și amploarea acestei discrepanțe trebuie estimată.

Dacă cercetătorul are la dispoziție doar un singur rezultat de măsurare y k, atunci aprecierea valorii adevărate a mărimii măsurate va fi mai puțin precisă. decât estimarea mediei aritmetice pentru orice număr de repetări: |y─ỹ|<|y-yk|.

Apariția uneia sau a altei valori yk în timpul procesului de măsurare este un eveniment aleatoriu. Funcția de densitate a distribuției normale a unei variabile aleatoare este caracterizată de doi parametri:

· valoarea adevărată a lui y;

· abaterea standard σ.

Figura – 1a – curba densității distribuției normale; 1b – curba de densitate de probabilitate a unei variabile aleatoare distribuite normal cu varianțe diferite

Densitatea normală de distribuție (Fig. 1a) este simetrică față de y și atinge valoarea sa maximă la yk= y, tinzând spre 0 pe măsură ce crește.

Pătratul abaterii standard se numește dispersia unei variabile aleatoare și este o caracteristică cantitativă a răspândirii rezultatelor în jurul valorii adevărate a lui y. Măsura de dispersie a rezultatelor măsurătorilor individuale yk din valoarea medie ỹ trebuie exprimată în aceleași unități ca și valoarea mărimii măsurate. În acest sens, valoarea σ este mult mai des folosită ca indicator al împrăștierii:

Valorile acestei mărimi determină forma curbei de distribuție py. Zonele de sub cele trei curbe sunt aceleași, dar pentru valori mici ale σ curbele sunt mai abrupte și au o valoare mai mare a py. Pe măsură ce σ crește, valoarea lui py scade și curba de distribuție se întinde de-a lungul axei y. Acea. curba 1 caracterizează densitatea de distribuție a unei variabile aleatoare, a cărei reproductibilitate în măsurători repetate este mai bună decât reproductibilitatea variabilelor aleatoare cu o densitate de distribuție de 2, 4. În practică, nu este posibil să se facă prea multe măsurători. Prin urmare, o distribuție normală nu poate fi construită pentru a determina cu exactitate valoarea adevărată a lui y. În acest caz, ỹ poate fi considerată o bună aproximare a valorii adevărate, iar o estimare suficient de precisă a erorii este varianța eșantionului ρ²n, care decurge din legea distribuției, dar se referă la un număr finit de măsurători. Acest nume pentru cantitatea ρ²n se explică prin faptul că din întregul set de valori posibile ale lui yk, adică. Din populația generală, se selectează doar un număr finit de valori egal cu m, numit eșantion, care se caracterizează printr-o medie a eșantionului și o varianță a eșantionului.

7. Estimări experimentale ale valorilor adevărate ale variabilei aleatoare măsurate și abaterea standard a acesteia

Dacă cercetătorul are la dispoziție un număr finit de rezultate independente de repetare a aceluiași experiment, atunci el poate obține doar estimări experimentale ale valorii adevărate și ale varianței rezultatului experimental.

Evaluările trebuie să aibă următoarele proprietăți:

1. Nepărtinire, manifestată prin faptul că media teoretică coincide cu valoarea adevărată a parametrului măsurat.

2. Consecvența, când estimările cu o creștere nelimitată a numărului de măsurători pot avea un interval de încredere arbitrar mic cu o probabilitate de încredere.

3. Eficiență, manifestată prin faptul că dintre toate estimările nemixte, această estimare va avea cea mai mică dispersie (dispersie).

Estimarea experimentală a abaterii standard se notează S cu simbolul mărimii analizate indicat între paranteze, i.e.

S (yk) – abaterea standard a unui singur rezultat.

S (y) – abaterea standard a rezultatului mediu.

Pătratul estimării experimentale a abaterii standard S² este estimarea experimentală a dispersiei:

Pentru a procesa rezultatele observației, puteți utiliza următoarea schemă:

Determinarea valorii medii a rezultatelor obţinute:

Determinarea abaterii de la valoarea medie pentru fiecare rezultat:

Aceste abateri caracterizează eroarea absolută de determinare. Erorile aleatorii au semne diferite; atunci când valoarea rezultatului experimentului depășește valoarea medie, eroarea experimentului este considerată pozitivă; atunci când valoarea rezultatului experimentului este mai mică decât valoarea medie, eroarea este considerată negativă.

Cu cât măsurătorile sunt mai precise, cu atât rezultatele individuale sunt mai aproape de valoarea medie.

Dacă conform m Pe baza rezultatelor, se calculează o estimare a valorii adevărate și apoi, folosind aceleași rezultate, se calculează estimări ale abaterilor absolute:

atunci estimarea dispersiei unui singur rezultat se găsește din relația:

Diferența dintre număr T rezultate independente y k și se numește numărul de ecuații în care aceste rezultate au fost deja utilizate pentru a calcula estimări necunoscute numărul de grade de libertate f :

Pentru a estima varianța procesului de referință f=m.

Pentru că estimarea medie este mai precisă decât estimarea unică Regatul Unit, dispersia mediilor va fi de m ori mai mică decât dispersia rezultatelor individuale dacă este calculată pentru toate m rezultate unice y k :

Dacă cercetătorul are la dispoziție o estimare experimentală a dispersiei S 2 (y k) cu un număr finit mic de grade de libertate, atunci erorile de încredere se calculează folosind Testul t al elevului t(P; f):

,

unde P – probabilitatea de încredere (P=1-q, q – nivelul de semnificație).

Verificarea fiabilității rezultatelor obținute cu ajutorul testului Student pentru numărul de experimente m efectuate cu nivelul de încredere (fiabilitatea) selectat P = 0,95; 0,99. Aceasta înseamnă că 95% sau 99% din abaterile absolute ale rezultatelor se află în limitele specificate. Criteriul t(P; f) cu probabilitatea de încredere P arată de câte ori mărimea diferenței dintre valoarea adevărată a unei anumite valori y și valoarea medie ỹ este mai mare decât abaterea standard a rezultatului mediu.

8. Determinarea erorilor brute dintre rezultatele experimentelor repetate

Atunci când se analizează statistic datele experimentale pentru procese, al căror rezultat negativ nu creează situații periculoase pentru viața umană sau pierderea unor bunuri materiale mari, probabilitatea de încredere este de obicei considerată egală cu P = 0,95.

Printre rezultatele yk repetiții ale experimentului, pot exista rezultate care diferă semnificativ de altele. Acest lucru se poate datora fie unui fel de eroare grosolană, fie influenței aleatorii inevitabile a unor factori necontabiliați asupra rezultatului unei repetari date a experimentului.

Un semn al prezenței unui rezultat „remarcat” printre altele este o abatere mare │▲y k │= y k – yˉ.

Dacă ▲y k >y înainte, atunci astfel de rezultate sunt considerate erori grave. Abaterea maximă absolută este determinată în funcție de situația actuală diverse metode. Dacă, de exemplu, se efectuează o analiză statistică a datelor experimentale dintr-un experiment cu un proces de referință (se cunoaște adevărata valoare a rezultatului experimentului și ▲y k =y k -y) și dacă cercetătorul are la dispoziție un estimarea dispersiei S 2 (y k) cu un număr atât de mare de grade de libertate, atunci el poate accepta f→∞ și S 2 (y k)=σ 2, apoi pentru a determina erorile brute puteți aplica regula 2-sigma: toate rezultatele ale căror abateri absolute în mărime depășesc două abateri standard cu o fiabilitate de 0,95 sunt considerate erori brute și sunt excluse din matricea de date experimentale (probabilitatea excluderii rezultatelor fiabile este egală cu nivelul de semnificație q = 0,05).

Dacă probabilitatea de încredere diferă de 0,95, atunci utilizați regula „one sigma”.(P=0,68) sau regula „trei sigma”.(P=0,997), sau folosind o probabilitate dată P=2Ф(t) – 1, găsiți Ф(t) din datele de referință și parametrul t, prin care se calculează abaterea absolută:

Dacă cercetătorul are la dispoziție doar o estimare aproximativă a varianței cu un număr mic (finit) de grade de libertate, atunci aplicarea regulii sigma poate duce fie la excluderea nejustificată a rezultatelor fiabile, fie la reținerea nejustificată a rezultatelor eronate. .

În această situație, pentru a determina erorile grave, puteți utiliza criteriul abaterii maxime r max (P, m), luate din tabelele corespunzătoare. Pentru a face acest lucru, r max este comparat cu valoarea r egală cu

(22)

Dacă r > r max, atunci acest rezultat ar trebui excluse din analize ulterioare, estimarea y ˉ trebuie recalculată, abaterile absolute ▲y k și, în consecință, estimarea dispersiei S 2 (y k) și S 2 (yˉ) se modifică. Analiza erorilor brute se repetă cu noi valori ale estimărilor yˉ și S 2 (y k), se oprește la r<= r max .

Când se utilizează formula (22), ar trebui să se utilizeze o estimare a dispersiei obținute din rezultatele experimentelor repetate, printre care există un rezultat dubios.

Există și alte metode de determinare a erorilor grosolane, dintre care cea mai rapidă este metoda "în vedere", pe baza unei evaluări a diferențelor maxime în rezultatele obținute. Analiza folosind această metodă se efectuează în următoarea secvență:

1) aranjați rezultatele y k într-un rând ordonat, în care rezultatului maxim i se atribuie numărul unu (y1), iar rezultatului maxim i se atribuie cel mai mare număr (y m).

2) Dacă rezultatul îndoielnic este y m, calculați raportul

(23)

dacă rezultatul îndoielnic este y 1 – relaţie

3) pentru un nivel de semnificație dat q și un număr cunoscut de repetări m, folosind Anexa 6, găsiți valoarea tabelară a criteriului α T.

4) dacă α > α T, atunci rezultatul suspectat este eronat și ar trebui exclus.

După eliminarea erorilor brute, se găsește o nouă valoare a α T din tabel și se decide soarta următorului rezultat „suspectat” comparând α T și α calculat pentru acesta.

Dacă există motive să presupunem că cele 2 rezultate mai mari (2 cele mai mici) sunt „rătăciri”, atunci acestea pot fi identificate într-un singur pas, folosind coloana corespunzătoare din tabelul din Anexa 6 pentru a determina α T și calculând α folosind formula:

(25)

Estimări ale variației medii ponderate. Analiza omogenității estimărilor inițiale ale variației

Dacă experimentatorul are la dispoziție rezultatele măsurătorilor repetate ale valorilor criteriului de optimitate în experimente la conditii diferite efectuând procesul, atunci devine posibil să se calculeze estimarea varianței medii ponderate un singur rezultat, același pentru toate experimentele din experiment.

În fiecare dintre N experimente (numărul experienței Și = 1+ N ) estimarea varianței pentru un singur rezultat este

unde m și este numărul de repetări ale experimentului i.

Estimarea medie ponderată a dispersiei unui singur rezultat este calculată din toate estimările dispersiei unui singur rezultat al experimentelor:

a) pentru diferite t si

Unde - numărul de grade de libertate a estimării medii ponderate a varianței; t si – 1 = f u – „greutatea” estimării varianței i-a corespunzătoare, egală cu numărul de grade de libertate f u ;

b) când t u = t = const

unde N(m-1)=f– număr grade de libertate ale estimării varianței medii ponderate.

Înainte de a utiliza relațiile (28) și (29) pentru a calcula estimările dispersiei rafinate medii ponderate (cu cât este mai mare numărul de grade de libertate, cu atât estimarea dispersiei va fi mai precisă), este necesar să se dovedească omogenitatea estimărilor originale de dispersie.

Definiția „omogen” în statistică înseamnă „a fi o estimare a aceluiași parametru” (în acest caz, varianța σ 2).

Dacă variabila aleatoare măsurată IR distribuite conform legii normale pe întregul interval studiat, apoi indiferent de valori Și varianța σ nu își va modifica valoarea și estimările acestei variații ar trebui să fie omogene. Omogenitatea acestor estimări se manifestă prin faptul că ele pot diferi doar puțin unele de altele, în limite în funcție de probabilitatea acceptată și de volumul datelor experimentale.

Dacă t u = t u f = const, atunci omogenitatea estimărilor de varianță poate fi analizată folosind criteriul lui Cochran G kp . Calculați raportul de varianță maxim S 2 ( da uk ) max la suma tuturor varianţelor

și comparați acest raport cu valoarea criteriului Cochran G kp ( P ; f ; N ). Dacă G < Gkp , atunci estimările sunt omogene.

Tabelul de valori al criteriului Cochran în funcție de numărul de grade de libertate al numărătorului f u , numărul de varianțe comparate N și nivelul de semnificație acceptat q = 1 – R este dat în anexă.

Dacă numărul de repetări în experimente este diferit ( flt ≠ const), omogenitatea estimărilor de varianță poate fi analizată folosind Testul Fisher F T. Pentru a face asta de la N Se aleg 2 estimări de dispersie: maximul S 2 (y uk) max și minimul S 2 (y uk) min . Dacă valoarea calculată F relația lor este mai mică Ft ,

asta e tot N estimările de varianță vor fi omogene.

Valorile testului Fisher F T sunt date în Anexă în funcție de nivelul de semnificație acceptat qși numărul de grade de libertate f 1 Și f 2 estimează S 2 (y uk) max și, respectiv, S 2 (y uk) min.

Dacă estimări ale varianţei parametrului măsurat direct la s-a dovedit a fi eterogen, adică estimări ale diferitelor variații, atunci nu se poate calcula o medie ponderată. Și în plus, cantitățile y k nu mai poate fi considerată a se supune legii normale, în temeiul căreia dispersia nu poate fi decât una și neschimbată pentru oricare u.

Motivul încălcării legii distribuției normale poate fi prezența erorilor grosolane rămase (analiza erorilor grosolane fie nu a fost efectuată, fie nu a fost efectuată suficient de atent).

Un alt motiv poate fi prezența unui factor activ, greșit clasificat de către cercetător drept inactiv și nedotat cu un sistem de stabilizare. Pe măsură ce condițiile s-au schimbat, acest factor a început să influențeze semnificativ procesul.

9. Planificarea și prelucrarea rezultatelor experimentelor cu un singur factor

9.1 Formalizarea datelor experimentale folosind metoda celor mai mici pătrate

Influența oricărui factor asupra rezultatului procesului poate fi exprimată prin dependență la= f(C). Dacă o anumită valoare C și se potrivește cu o singură valoare y si, atunci se numește o astfel de dependență funcţional. Această dependență se obține prin dovezi logice stricte care nu necesită verificare experimentală. De exemplu, aria unui pătrat ω poate fi reprezentată ca o dependență funcțională de dimensiunea laturii pătratului A: ω = a 2.

Dacă y si rămâne neschimbată în timp ce C și schimbari, atunci la nu depinde de CU. De exemplu, unghiul la vârful unui pătrat este egal cu π/2, nu depinde de dimensiunea laturii un i.

Dacă pentru a estima cantitățile y siȘi C și sunt utilizate date de observație și valori aleatorii, atunci nu poate exista o relație funcțională între ele.

Măsurând latura separat Ași aria ω a pătratului, se poate convinge că rezultatele obținute nu pot fi reprezentate cu acuratețe absolută prin dependența ω = A 2 .

Spre formalizarea datelor experimentale, i.e. Folosindu-le pentru a construi o dependență care descrie procesul, cercetătorul recurge atunci când nu poate întocmi model matematic euristic (determinist). din cauza înțelegerii insuficiente a mecanismului procesului sau a complexității sale excesive.

Obținut ca urmare a formalizării datelor experimentale model matematic empiric are o valoare mai mică decât un model matematic euristic care reflectă mecanismul procesului, care poate prezice comportamentul unui obiect în afara intervalului studiat de modificări ale variabilelor.

La începerea unui experiment pentru a obține un model matematic empiric, cercetătorul trebuie să determine cantitatea necesară de date experimentale, ținând cont de numărul de factori acceptați pentru studiu, de reproductibilitatea procesului, de structura așteptată a modelului și de posibilitatea verificării adecvării ecuaţiei.

Dacă, pe baza rezultatelor unui experiment constând din două experimente, se obține o ecuație liniară cu un singur factor y = b 0 + b 1 CU, atunci linia dreaptă construită folosind această ecuație va trece cu siguranță prin aceste puncte experimentale. Prin urmare, pentru a verifica cât de bine descrie această dependență acest proces, trebuie să experimentăm cel puțin încă un moment. Această experiență suplimentară face posibilă efectuarea unei proceduri corecte de verificare a adecvării ecuației. Cu toate acestea, verificarea se efectuează de obicei nu asupra unui punct suplimentar care nu a participat la determinarea coeficienților ecuației, ci asupra tuturor punctelor experimentale, al căror număr (N) trebuie să depășească numărul de coeficienți ai ecuației (N "). )

Deoarece N> N ", rezolvarea unui astfel de sistem necesită o abordare specială.

9.2 Proiectarea simetrică și uniformă a unui experiment cu un singur factor

Sarcină în într-o mare măsură Se va simplifica dacă, la planificarea unui experiment, este posibil să se asigure următoarea condiție:

Cu o dimensiune naturală a factorilor, este imposibil de îndeplinit condiția ΣC u =0, deoarece în acest caz valoarea factorului trebuie să aibă atât valori pozitive, cât și negative.

Dacă punctul de pornire al valorii factorului este mutat la mijlocul intervalului de modificare a factorului (centrul experimentului)

atunci devine posibilă îndeplinirea condiției în forma , unde C " u = C u – C 0.

Pentru un plan uniform С u – С (u -1) = λ = const,

unde λ este intervalul de variație a factorului.

Condiția poate fi îndeplinită dacă sunt folosite expresii fără dimensiune pentru a indica mărimea factorului:

de aici este ușor de observat că condiția este echivalentă cu condiția și astfel de planuri se numesc simetrice.

La întocmirea unui plan, intervalul factorului este aproximativ limitat de valorile C min și C max, atribuite după studierea literaturii de specialitate pe tema de cercetare. De la experiment la experiment, este prevăzută o astfel de modificare a valorii factorului care ar face posibilă surprinderea în mod fiabil a modificării rezultatului procesului folosind instrumentele de care dispune cercetătorul.

Luând în considerare valoarea lui λ și intervalul (C max – C min), se determină numărul de experimente, rotunjindu-l la un N impar:

.

Apoi se determină valorile factorilor din fiecare dintre experimentele N și se clarifică intervalul studiat al factorului C N – C 1:

=,

unde x u este o expresie adimensională a factorului, similară cu cea obținută din relație

Pentru a calcula coeficienții ecuației, folosim formula:

luăm factorii a ju și numitorul l j din anexă.

Numărul de experimente poate fi par sau impar și, de regulă, trebuie să fie mai mare decât numărul de coeficienți N" ai ecuației.

Cu cât diferența (N – N”) este mai mare, cu atât mai precis este posibil să se obțină estimări ale coeficienților unei ecuații date și cu atât aceste estimări vor fi mai eliberate de influența unor factori aleatori nespecificați.

Crearea unui model este un act necesar în analiză și sinteză sisteme complexe, dar departe de a fi definitiv. Un model nu este scopul unui cercetător, ci doar un instrument de realizare a cercetării, un instrument experimental. În primele subiecte, am dezvăluit destul de pe deplin aforismul: „Un model este un obiect și un mijloc de experiment”.

Experimentul trebuie să fie informativ, adică trebuie să ofere toate informațiile necesare, care trebuie să fie complete, exacte și de încredere. Dar trebuie să fie obținut într-un mod acceptabil. Aceasta înseamnă că metoda trebuie să satisfacă constrângeri economice, de timp și eventual alte constrângeri. Această contradicție este rezolvată cu ajutorul planificării experimentale raționale (optimale).

Teoria designului experimental s-a dezvoltat în anii șaizeci ai secolului al XX-lea datorită lucrării remarcabilului matematician, biolog și statistician englez Ronald Aylmer Fisher (1890-1962). Una dintre primele publicații interne: Fedorov V.V. Teoria experimentului optim. 1971 Ceva mai târziu, a apărut teoria și practica planificării experimentelor de simulare, ale căror elemente sunt discutate în acest subiect.

4.1. Esența și obiectivele planificării experimentului

Deci, după cum știm deja, este creat un model pentru a efectua experimente pe acesta. Vom presupune că experimentul constă în observatii, iar fiecare observație este de la aleargă (implementari) modele.

Următoarele sunt cele mai importante pentru organizarea experimentelor.

Experiment cu calculatorul model de simulare are avantaje față de experimentul natural în toate aceste poziții.

Ce este un experiment pe computer (mașină)?

Experiment pe calculator este procesul de utilizare a unui model pentru a obține și analiza informații de interes pentru cercetător despre proprietățile sistemului modelat.

Experimentul necesită forță de muncă și timp și, în consecință, costuri financiare. Cu cât dorim să obținem mai multe informații dintr-un experiment, cu atât este mai scump.

Mijloacele de realizare a unui compromis acceptabil între informația maximă și cheltuielile minime cu resurse este un design experimental.

Plan experimental defineste:

• cantitatea de calcul pe computer;
• procedura de efectuare a calculelor pe computer;
• metode de acumulare şi prelucrare statistică a rezultatelor modelării.

Proiectarea experimentelor are următoarele obiective:

• reducerea timpului total de modelare, îndeplinind în același timp cerințele de acuratețe și fiabilitate a rezultatelor;
• creșterea conținutului informațional al fiecărei observații;
• crearea unei baze structurale pentru procesul de cercetare.

Astfel, un proiect experimental computerizat este o metodă de obținere a informațiilor necesare printr-un experiment.

Desigur, este posibil să se efectueze cercetări conform acestui plan: să se studieze modelul în toate modurile posibile, cu toate combinațiile posibile de exterior și parametri interni, repetați fiecare experiment de zeci de mii de ori - cu cât mai mult, cu atât mai precis!

Evident, un astfel de experiment are puține beneficii; datele obținute sunt greu de revizuit și analizat. În plus, costurile resurselor vor fi mari și sunt întotdeauna limitate.

Întregul complex de acțiuni pentru planificarea unui experiment este împărțit în două părți funcționale independente:

• planificare strategica;
• planificare tactică.

Planificare strategica- dezvoltarea condiţiilor experimentale, determinarea modurilor care oferă cel mai mare conţinut informaţional al experimentului.

Planificare tactică asigură atingerea preciziei specificate și a fiabilității rezultatelor.

4.2. Elemente de proiectare experimentală strategică

Formarea unui plan strategic se realizează în așa-numitul spațiu factorial. Spațiu factorial- acesta este un set de extern și parametri interni, valorile cărora cercetătorul le poate controla în timpul pregătirii și desfășurării experimentului.

Obiecte planificare strategica sunt:

• variabile de ieșire (răspunsuri, reacții, variabile exogene);
• variabilele de intrare (factori, variabile endogene);
• nivelurile factorilor.

Metodele matematice de planificare a experimentelor se bazează pe așa-numita reprezentare cibernetică a procesului de realizare a unui experiment (Fig. 4.1).

Orez. 4.1.

- variabile de intrare, factori;

- variabilă de ieşire (reacţie, răspuns);

Eroare, interferență cauzată de prezența unor factori aleatori;

Operator simulând acțiune sistem real, care determină dependența variabilei de ieșire de factori

În caz contrar: - un model al procesului care are loc în sistem.

Prima problema, rezolvată în timpul planificării strategice, este alegerea răspunsului (reacției), adică determinarea ce cantități trebuie măsurate în timpul experimentului pentru a obține răspunsurile dorite. Desigur, alegerea răspunsului depinde de scopul studiului.

De exemplu, atunci când modelează un sistem de regăsire a informațiilor, un cercetător poate fi interesat de timpul de răspuns al sistemului la o solicitare. Dar este posibil să fiți interesat de un astfel de indicator precum numărul maxim de solicitări servite într-un interval de timp. Sau poate ambele. Pot exista multe răspunsuri măsurate: în cele ce urmează vom vorbi despre un răspuns

A doua problemă planificarea strategică este selectarea (determinarea) factorilor semnificativi și combinațiile acestora care influențează funcționarea obiectului modelat. Factorii pot include tensiunea de alimentare, temperatura, umiditatea, ritmul alimentării componentelor și multe altele. De obicei, numărul de factori este mare și cu cât suntem mai puțin familiarizați cu sistemul care se modelează, cu atât mai mare, ni se pare, numărul acestora influențează funcționarea sistemului. În teoria sistemelor, așa-numitul principiu Pareto este dat:

• 20% dintre factori determină 80% din proprietățile unui sistem;
• 80% dintre factori determină 20% din proprietățile sistemului. Prin urmare, trebuie să fii capabil să identifici factorii semnificativi. A

acest lucru se realizează printr-un studiu destul de aprofundat al obiectului modelat și al proceselor care au loc în acesta.

Factorii pot fi cantitativi și/sau calitativi.

Factori cantitativi- acestea sunt cele ale căror valori sunt numere. De exemplu, intensitatea fluxurilor de intrare și a fluxurilor de servicii, capacitatea tampon, numărul de canale din QS, procentul de defecte la fabricarea pieselor etc.

Factori calitativi- discipline de întreținere (LIFO, FIFO etc.) în CMO, „ansamblu alb”, „ansamblu galben” echipamente radio-electronice, calificare personalului etc.

Factorul trebuie să fie gestionabil. Controlabilitatea factorilor- aceasta este capacitatea de a seta și menține valoarea factorului constantă sau modificată în conformitate cu planul experimental. Sunt posibili și factori necontrolați, de exemplu, influența mediului extern.

Există două cerințe principale pentru setul de factori de influență:

• compatibilitate;
• independenţă.

Compatibilitatea factorilorînseamnă că toate combinațiile de valori ale factorilor sunt fezabile.

Independenta factorilor determină posibilitatea stabilirii valorii unui factor la orice nivel, indiferent de nivelurile altor factori.

În planurile strategice, factorii sunt desemnați prin litera latină, unde indexul indică numărul (tipul) factorului. Există, de asemenea, astfel de denumiri de factori: etc.

A treia problemă planificarea strategică este alegerea valorilor pentru fiecare factor, numit nivelurile factorilor.

Numărul de niveluri poate fi două, trei sau mai multe. De exemplu, dacă temperatura este unul dintre factori, atunci nivelurile pot fi: 80 o C, 100 o C, 120 o C.

Pentru comoditate și, prin urmare, pentru a reduce costul experimentului, numărul de niveluri ar trebui ales mai puțin, dar suficient pentru a satisface acuratețea și fiabilitatea experimentului. Numărul minim de niveluri este de două.

Din punctul de vedere al confortului planificării experimentului, este recomandabil să se stabilească același număr de niveluri pentru toți factorii. Acest tip de planificare se numește simetric.

Analiza datelor experimentale este mult simplificată dacă atribuiți niveluri de factori care sunt distanțate egal unul de celălalt. Acest plan se numește ortogonală. Ortogonalitatea planului se realizează de obicei în acest fel: cele două puncte extreme ale zonei de schimbare a factorului sunt alese ca două niveluri, iar nivelurile rămase sunt plasate astfel încât să împartă segmentul rezultat în două părți.

De exemplu, intervalul de tensiune de alimentare de 30...50 V va fi împărțit în cinci niveluri, după cum urmează: 30 V, 35 V, 40 V, 45 V, 50 V.

Se numește un experiment în care se realizează toate combinațiile de niveluri ale tuturor factorilor experiment factorial complet(PFE).

Planul PFE este extrem de informativ, dar poate necesita resurse inacceptabile.

Dacă ignorăm implementarea computerizată a planului experimental, atunci numărul de măsurători ale răspunsurilor (reacțiilor) modelului în timpul PFE este egal cu:

unde este numărul de niveluri ale factorului, ; - numărul de factori experimentali.

Fiabilitate și acuratețe în cercetare, pentru a oferi nuanțe care sunt dificil de urmărit în timpul „experimentării spontane” de zi cu zi. Adesea, pentru a ajusta planul, experimentatorii efectuează un așa-numit studiu pilot, sau de probă, care poate fi considerat ca o „schiță” a unui viitor experiment științific.

YouTube enciclopedic

1 / 5

Psihologie experimentală

Proiectare compozită centrală (Design experimental DOE)

Psihologie sociala. Fascismul modern în experimentul „Al treilea val” al lui Jones

Conținutul psihologic al semnelor Augustinavichiute-Reinin. Ce a arătat experimentul (și mai mult)

BBC - El și ea - Secretele relațiilor. Partea 1

Subtitrări

Întrebări de bază la care se răspunde printr-un proiect experimental

Un design experimental este creat pentru a răspunde la întrebările de bază despre:

Una dintre cele mai importante întrebări la care trebuie să răspundă un design experimental este de a determina în ce secvență ar trebui să apară modificările stimulilor luați în considerare (variabile independente) care afectează variabila dependentă. Un astfel de efect poate varia de la o schemă simplă „A 1 -A 2”, unde A 1 este prima valoare a stimulului, A 2 este a doua valoare a stimulului, până la cele mai complexe, cum ar fi „A 1 -A 2 -A 1 -A 2” etc. Secvența de prezentare a stimulilor este o problemă foarte importantă care se referă direct la menținerea validității studiului: de exemplu, dacă unei persoane i se prezintă în mod constant același stimul, acesta poate deveni mai puțin susceptibil la aceasta.

Etape de planificare

Planificarea include două etape:

1. Planificarea conținutului experimentului:
   • Determinarea unui număr de prevederi teoretice și experimentale care formează baza teoretica cercetare.
   • Formularea ipotezelor de cercetare teoretică și experimentală.
   • Selectarea metodei experimentale necesare.
   • Soluție la problema subiecților eșantionați:
     • Determinarea compoziției probei.
     • Determinarea dimensiunii eșantionului.
     • Determinarea metodei de eșantionare.
2. Planificare experimentală formală:
   • Obținerea capacității de a compara rezultatele.
   • Realizarea posibilitatii de discutare a datelor obtinute.
   • Asigurarea faptului că cercetarea este efectuată în mod eficient din punct de vedere al costurilor.

Scopul principal al planificării formale este de a elimina numărul maxim posibil de motive pentru denaturarea rezultatelor.

Tipuri de planuri

Planuri simple

Planuri simple, sau un singur factor, implică studierea influenței unei singure variabile independente asupra variabilei dependente. Avantajul unor astfel de proiecte este eficacitatea lor în stabilirea influenței variabilei independente, precum și ușurința analizei și interpretării rezultatelor. Dezavantajul este incapacitatea de a trage o concluzie despre relația funcțională dintre variabilele independente și dependente.

Experimente cu condiții reproductibile

Modele pentru experimente pe mai multe niveluri

Atunci când experimentele folosesc o variabilă independentă, o situație în care doar două dintre valorile sale sunt studiate este considerată o excepție mai degrabă decât o regulă. În majoritatea studiilor univariate există trei sau mai multe valori ale variabilei independente, aceste modele sunt adesea numite un singur factor multinivel. Astfel de proiecte pot fi utilizate atât pentru studiul efectelor neliniare (adică cazurile în care variabila independentă ia mai mult de două valori), cât și pentru a testa ipoteze alternative. Avantajul unor astfel de planuri este capacitatea de a determina tipul de relație funcțională dintre variabilele independente și dependente. Dezavantajul, însă, este că necesită timp și necesită mai mulți participanți.

Proiecte factoriale

Proiecte factoriale implică utilizarea mai multor variabile independente. Pot exista orice număr de astfel de variabile sau factori, dar de obicei se limitează la utilizarea a două, trei sau mai rar patru.

Proiectele factoriale sunt descrise folosind un sistem de numerotare care arată numărul de variabile independente și numărul de valori (nivele) pe care le ia fiecare variabilă. De exemplu, un proiect factorial 2x3 ("două câte trei") are două variabile independente (factori), prima dintre ele ia două valori ("2"), iar a doua are trei valori ("3") ; Proiectul factorial 3x4x5 are trei variabile independente, luând valori „3”, „4” și, respectiv, „5”.

Într-un experiment efectuat folosind un proiect factorial 2x2, să presupunem că un factor, A, poate lua două valori - A 1 și A 2, iar un alt factor, B, poate lua valorile B 1 și B 2. În timpul experimentului, conform planului 2x2, ar trebui efectuate patru experimente:

1. A 1 B 1
2. A 1 B 2
3. A 2 B 1
4. A 2 B 2

Ordinea experimentelor poate fi diferită în funcție de oportunitatea determinată de sarcinile și condițiile fiecărui experiment specific.

Proiecte cvasi-experimentale

Proiecte cvasi-experimentale- proiecte pentru experimente în care, din cauza controlului incomplet al variabilelor, este imposibil să se tragă concluzii despre existența unei relații cauză-efect. Conceptul de design cvasi-experimental a fost introdus de Campbell și Stanley în Proiecte experimentale și cvasi-experimentale pentru cercetare (Cambell, D. T. & Stanley, J. C., ). Acest lucru a fost făcut pentru a depăși unele dintre problemele cu care se confruntă psihologii care doreau să efectueze cercetări într-un cadru mai puțin restrictiv decât laboratorul. Modelele cvasi-experimentale sunt adesea folosite în psihologia aplicată.

Tipuri de desene cvasi-experimentale:

1. Proiecte experimentale pentru grupuri neechivalente

2. Planuri de serii temporale discrete.

Tipuri:

1. Experiment de proiectare a seriilor temporale

2. Planul serii de mostre de timp

3. Planul serii de impacturi echivalente

4. Proiectare cu grup de control neechivalent

5. Planuri echilibrate.

Planuri ex post facto

Studii în care datele sunt colectate și analizate după ce evenimentul a avut deja loc, numite cercetare ex post facto , mulți experți le clasifică drept cvasi-experimentale. Astfel de cercetări sunt adesea efectuate în sociologie, pedagogie, psihologie clinică și neuropsihologie. Esența studiului ex post facto constă în faptul că experimentatorul însuși nu influențează subiecții: influența este un eveniment real din viața lor.

În neuropsihologie, de exemplu, pentru o lungă perioadă de timp (și chiar și astăzi) cercetările s-au bazat pe paradigma localizării, care se exprimă în abordarea „locus - funcție” și afirmă că leziunile anumitor structuri fac posibilă identificarea localizării funcțiile mentale - substratul material specific în care „se află.””, în creier [vezi A. R. Luria, „Leziunile cerebrale și localizarea cerebrală a funcțiilor superioare”; Astfel de studii pot fi clasificate ca studii ex post facto.

Când planificați un studiu ex post facto simulează un design experimental riguros cu egalizarea sau randomizarea grupurilor și testarea post-expunere.

Small N Designs experimentale

Planuri N mici numite și „proiecte cu un singur subiect” deoarece comportamentul fiecărui subiect este considerat individual. Unul dintre principalele motive pentru utilizarea experimentelor cu N mic este considerat a fi imposibilitatea în unele cazuri de a aplica rezultatele obținute din generalizări la grupuri mari persoane, nu unuia dintre participanți în mod individual (ducând astfel la o încălcare a validității individuale).

Studiu de corelare- cercetări efectuate pentru a confirma sau infirma o ipoteză despre o relație statistică (corelație) între mai multe (două sau mai multe) variabile. Designul unui astfel de studiu diferă de unul cvasi-experimental prin faptul că îi lipsește o influență controlată asupra obiectului de studiu.

Într-un studiu de corelație, omul de știință emite ipoteza existenței unei legături statistice între mai multe proprietăți mentale ale unui individ sau între anumite niveluri externe și stări mentale, în timp ce ipotezele despre dependența cauzală nu sunt discutate. Subiecții trebuie să fie în condiții echivalente nealterate. În termeni generali, designul unui astfel de studiu poate fi descris ca PxO („subiecți” x „măsurători”).

Tipuri de studii de corelare

• Comparația a două grupuri
• Studiu unidimensional
• Studiu de corelație a grupurilor echivalente în perechi
• Studiu de corelație multivariată
• Studiu de corelație structurală
• Studiu de corelație longitudinală *

* Cercetarea longitudinală este considerată o opțiune intermediară între cvasi-experiment și cercetarea corelațională.

Designul experimental este un produs al timpului nostru, dar originile sale se pierd în negura vremurilor.

Originile planificării experimentale datează din cele mai vechi timpuri și sunt asociate cu misticismul numeric, profețiile și superstițiile.

De fapt, aceasta nu este planificarea unui experiment fizic, ci planificarea unui experiment numeric, de exemplu. aranjarea numerelor astfel încât să fie îndeplinite anumite condiții stricte, de exemplu, egalitatea sumelor de-a lungul rândurilor, coloanelor și diagonalelor unui tabel pătrat, ale cărui celule sunt umplute cu numere din seria naturală.

Astfel de condiții sunt îndeplinite în pătratele magice, care, aparent, au întâietate în planificarea experimentului.

Potrivit unei legende, în jurul anului 2200 î.Hr. Împăratul chinez Yu a efectuat calcule mistice folosind un pătrat magic, care a fost înfățișat pe coaja unei țestoase divine.

Piața împăratului Yu

Celulele acestui pătrat sunt umplute cu numere de la 1 la 9, iar suma numerelor din rânduri, coloane și diagonale principale este 15.

În 1514, artistul german Albrecht Durer a descris un pătrat magic în colțul din dreapta al celebrei sale gravuri alegorice „Melancolie”. Cele două numere din rândul orizontal inferior A5 și 14) reprezintă anul în care a fost creată gravura. Acesta a fost un fel de „aplicare” a pătratului magic.

Piața Durer

Timp de câteva secole, construcția pătratelor magice a ocupat mințile matematicienilor indieni, arabi, germani și francezi.

În prezent, pătratele magice sunt folosite la planificarea unui experiment în condiții de derive liniară, la planificarea calculelor economice și la pregătirea rațiilor alimentare, în teoria codificării etc.

Construirea pătratelor magice este o sarcină de analiză combinatorie, ale cărei baze în înțelegerea sa modernă au fost puse de G. Leibniz. Nu numai că a examinat și rezolvat probleme combinatorii de bază, dar a subliniat și marea aplicație practică a analizei combinatorii: la codificare și decodare, la jocuri și statistici, la logica invențiilor și logica geometriei, la arta războiului, la gramatică. , medicină, drept, tehnologie etc. combinații de observații. Ultima zonă de aplicare este cea mai apropiată de designul experimental.

Una dintre problemele combinatorii, care este direct legată de planificarea unui experiment, a fost studiată de celebrul matematician din Sankt Petersburg L. Euler. În 1779, el a propus problema celor 36 de ofițeri ca un fel de curiozitate matematică.

El și-a pus întrebarea dacă este posibil să se aleagă 36 de ofițeri de 6 grade din 6 regimente, câte un ofițer de fiecare grad din fiecare regiment și să-i aranjeze într-un pătrat astfel încât în ​​fiecare rând și în fiecare grad să fie câte un ofițer din fiecare. grad si cate unul din fiecare regiment . Problema este echivalentă cu construirea perechilor de pătrate ortogonale de 6x6. S-a dovedit că această problemă nu poate fi rezolvată. Euler a sugerat că nu există o pereche de pătrate ortogonale de ordinul n=1 (mod 4).

Mulți matematicieni au studiat ulterior problema lui Euler, în special, și pătratele latine în general, dar aproape niciunul dintre ei nu s-a gândit la aplicarea practică a pătratelor latine.

În prezent, pătratele latine sunt una dintre cele mai populare metode de limitare a randomizării în prezența surselor de neomogenitate de tip discret în designul experimental. Gruparea elementelor unui pătrat latin, datorită proprietăților sale (fiecare element apare o dată și o singură dată în fiecare rând și în fiecare coloană a pătratului), vă permite să protejați efectele principale de influența sursei neomogenităților. Pătratele latine sunt, de asemenea, utilizate pe scară largă ca mijloc de reducere a enumerației în probleme combinatorii.

Apariția metodelor statistice moderne de planificare a experimentelor este asociată cu numele de R. Fisher.

În 1918, și-a început celebra serie de lucrări la Stația Agrobiologică Rochemsted din Anglia. În 1935, a apărut monografia sa „Design of Experiments”, care a dat numele întregii direcții.

Printre metodele de planificare, prima a fost analiza varianței (apropo, Fisher a inventat și termenul de „varianță”). Fisher a creat baza acestei metode prin descrierea clasificărilor ANOVA complete (experimente univariate și multivariate) și clasificări ANOVA parțiale fără restricții și cu restricții privind randomizarea. În același timp, a folosit pe scară largă pătratele și organigramele latine. Împreună cu F. Yates, el a descris proprietățile lor statistice. În 1942, A. Kishen a luat în considerare planificarea folosind cuburi latine, care a fost o dezvoltare ulterioară a teoriei pătratelor latine.

Apoi R. Fischer a publicat independent informații despre cuburi și hipercuburi hiper-grecolatine ortogonale. Curând după (1946-1947) R. Rao a examinat proprietățile lor combinatorii. Lucrările lui X. Mann A947-1950 sunt dedicate dezvoltării ulterioare a teoriei pătratelor latine.

Cercetările lui R. Fischer, realizate în legătură cu lucrările de agrobiologie, marchează începutul primei etape în dezvoltarea metodelor de proiectare experimentală. Fisher a dezvoltat metoda de planificare factorială. Yeggs a propus o schemă de calcul simplă pentru această metodă. Planificarea factorială a devenit larg răspândită. O caracteristică a unui experiment factorial complet este necesitatea de a efectua un număr mare de experimente simultan.

În 1945, D. Finney a introdus replici fracționate din experimentul factorial. Acest lucru a permis o reducere drastică a numărului de experimente și a deschis calea pentru aplicații de planificare tehnică. O altă posibilitate de reducere a numărului necesar de experimente a fost arătată în 1946 de R. Plackett și D. Berman, care au introdus modele factoriale saturate.

În 1951, munca oamenilor de știință americani J. Box și K. Wilson a început o nouă etapă în dezvoltarea planificării experimentale.

Această lucrare le-a rezumat pe cele precedente. A formulat clar și a adus la recomandări practice ideea determinării experimentale secvențiale a condițiilor optime pentru desfășurarea proceselor folosind estimarea coeficienților expansiunilor legii puterii folosind metoda celor mai mici pătrate, mișcarea de-a lungul unui gradient și găsirea unui polinom de interpolare (putere). serie) în regiunea extremului funcției de răspuns (regiune „aproape staționară”) .

În 1954-1955 J. Box, apoi J. Box și P. Yule au arătat că proiectarea experimentală poate fi utilizată în studiul mecanismelor fizico-chimice ale proceselor dacă una sau mai multe ipoteze posibile sunt formulate a priori. Aici, designul experimental s-a intersectat cu studiile cineticii chimice. Este interesant de observat că cinetica poate fi considerată ca o metodă de descriere a unui proces folosind ecuații diferențiale, ale căror tradiții se întorc la I. Newton. Descrierea unui proces prin ecuații diferențiale, numită deterministă, este adesea contrastată cu modelele statistice.

Box și J. Hunter au formulat principiul rotativității pentru a descrie câmpul „aproape staționar”, care acum se dezvoltă într-o ramură importantă a teoriei designului experimental. Aceeași lucrare arată posibilitatea de planificare cu compartimentare în blocuri ortogonale, indicată anterior independent de de Baun.

O dezvoltare ulterioară a acestei idei a fost planificarea, ortogonală la deriva necontrolată a timpului, care ar trebui considerată o descoperire importantă în tehnologia experimentală - o creștere semnificativă a capacităților experimentatorului.